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1、第七 章 定积分1 定积分的概念和可积条件定积分的概念和可积条件2 定积分的基本性质定积分的基本性质3 微积分基本定理微积分基本定理4 定积分的应用定积分的应用 1、给出了定积分的概念和可积条件。给出了定积分的概念和可积条件。2、给出了定积分的基本性质。给出了定积分的基本性质。3、给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法。教学内容：教学内容：4、给出了定积分的应用给出了定积分的应用。教学重点教学重点:变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。要求要求:1、理解变限函数与定积分的定义。理解变限函数与定积分的定义。2、熟
2、练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决熟练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决实际问题。实际问题。3、了解达布（了解达布（DarbouxDarboux）和及可积条件。）和及可积条件。本章内容、要求及重点本章内容、要求及重点第一节第一节 定积分的概念和可积定积分的概念和可积条件条件 一、问题的提出 二、二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义几何意义 五、小结abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、问题的提出一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多
3、，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时
4、间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解
5、解例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得故故五、小结五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限 作业：作业：P285 1(1);2;6.思考题思考题将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答原式原式练练 习习 题题练习题答案练习题答案附：可附：可积条件积条
6、件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的的主要问题。一、可积的必要条件1.1.思路与方案思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法 及介点 无关的条件。方案:定义上和 和下和 ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件.2.2.达布和达布和:由达布和定义可知，达布和未必是积分和.但达布 和由分法 唯一确定.则显然有：定理4说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。思考题：1、闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积？2、闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积？3、闭区间上的单调函数是否必可积？例2