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1、进进 入入 学案学案1 1 不等式的概念与性质不等式的概念与性质名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 1.不等式的基本性质对于任意的实数对于任意的实数a,b,有有a-b0 ;a-b=0 ;a-bb,bc .(2)ab,cd .(3)ab,c0 .(4)ab,cb a=b ac a+cb+d acbc acb0,cd0 .(6)ab0,nR+.双向性：双向性：(1)ab .(2)ab,cR .3.算术平均数与几何平均数（1）如果）如果a1,a2,anR+,且且n1，nN*,那么那么 叫做这叫做这n个正数的个正数的 ，叫做这叫做这n个正数的个正数的 .（2）定理如果）定理如果a,bR，那么，那么a
2、2+b2 （当且仅当（当且仅当 时取时取“=”号）号）.推论如果推论如果a,b是正数，那么是正数，那么 （当且（当且仅仅 当当 时取时取“=”号）号）.acbd anbn bb+c 算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数 2ab a=b a=b 名师伴你行返回目录返回目录 考点一考点一 不等式的基本性质不等式的基本性质 【例【例1】对于实数对于实数a,b,c，判断下列命题的真假，判断下列命题的真假.（1）若）若ab，则，则acbc;（2）若）若ab，则，则ac2bc2;（3）若）若ababb2;（4）若）若ab0,则则 ;（5）若）若abbc2，则，则ab，命题是真命题，命题是真命题.（3
3、）ab,aab;ab,bb2，命题是真命题，命题是真命题.名师伴你行返回目录返回目录【评析】【评析】不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理解不等式解不等式.（4）由性质定理）由性质定理ab0 ，命题是真命题，命题是真命题.（5）假如）假如-3-2-b0 0 ab-b0名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练适当增加不等式条件使下列命题成立适当增
4、加不等式条件使下列命题成立:(1)若若ab,则则acbc;(2)若若ac2bc2,则则a2b2;(3)若若ab,则则lg(a+1)lg(b+1);(4)若若ab,cd,则则 .名师伴你行返回目录返回目录（1）原命题改为：若）原命题改为：若ab且且c0,则则acbc,即增加条件即增加条件“c0”.（2）由）由ac2bc2可得可得ab,但只有但只有b0时，才有时，才有a2b2,即增加条件即增加条件“b0”.（3）由）由ab,可得可得a+1b+1，但作为真数，应有，但作为真数，应有b+10,故应增加条件故应增加条件“b-1”.（4）成立的条件有多种（如成立的条件有多种（如ab0,cd0）,与定理与定
5、理4推论推论1相关的一个是相关的一个是ab0,cd0,因此，因此，可可 增加条件增加条件“b0,d0”.名师伴你行返回目录返回目录 考点二考点二 利用均值不等式证明不等式利用均值不等式证明不等式 【例【例2】设设a，b，c都是正数，求证：都是正数，求证：【分析】【分析】将左边变为将左边变为把每组连用两次均值定理，相加把每组连用两次均值定理，相加.名师伴你行返回目录返回目录【评析】【评析】运用均值不等式证明不等式时，不等式所具备的运用均值不等式证明不等式时，不等式所具备的结构特征是结构特征是“和和”与与“积积”的关系，项数特征是一边项数的关系，项数特征是一边项数为另一边项数的二倍关系，如该例中左
6、边可分为为另一边项数的二倍关系，如该例中左边可分为6项，右边项，右边3项项.【证明】【证明】a,b,c都是正数，都是正数，同理可证同理可证 ,三式相加得三式相加得 当当a=b=c时取等号时取等号.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练已知已知0ab0,b0，.a b,又又a2+b22ab,2(a2+b2)2ab+a2+b2=(a+b)2,.又又0ab2,0 2cos cos cos .名师伴你行返回目录返回目录 考点三考点三 利用均值不等式求最值利用均值不等式求最值【例【例3】（1）已知）已知x0,y0，且，且 =1，求，求x+y的最的最 小小 值值;（3）已知）已知a,
7、b为实常数，求函数为实常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小的最小值值.名师伴你行返回目录返回目录【分析】【分析】（1）因为）因为4x-50，所以首先要，所以首先要“调整调整”符号，符号，又又(4x-2)不是常数，所以对不是常数，所以对4x-2要进行拆（添）项要进行拆（添）项“配凑配凑”.（2）本题的困难在于如何使用条件）本题的困难在于如何使用条件 ，如果，如果从中解出从中解出x或或y，再代入，再代入x+y转化为一元函数的最值问题，转化为一元函数的最值问题，显然是比较复杂的，这时，我们可设法整体地使用条件显然是比较复杂的，这时，我们可设法整体地使用条件.（3）从函数解析式的特点看，本
8、题可化为关于）从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函的二次函数，再通过配方求其最小值（留给读者去完成）数，再通过配方求其最小值（留给读者去完成）.但若注但若注意到意到(x-a)+(b-x)为定值，则用变形不等式为定值，则用变形不等式 更简捷更简捷.名师伴你行返回目录返回目录【解析】【解析】（1）x0,y=4x-2+=-（5-4x+）+3-2+3=1.当且仅当当且仅当5-4x=，即，即x=1时，上式等号成立时，上式等号成立.故当故当x=1时，时，ymax=1.名师伴你行返回目录返回目录（2）解法一解法一：x0,y0,且且 ，x+y=（）(x+y)=+106+10=16,当且仅当当且仅当
9、，又，又 ,即即x=4，y=12时，上式等号成立时，上式等号成立.故当故当x=4,y=12时，时，(x+y)min=16.解法二解法二：由：由 ，得，得(x-1)(y-9)=9(定值定值)，又知，又知x1,y9，当且仅当当且仅当x-1=y-9=3，即，即x=4,y=12时，时，(x+y)min=16.名师伴你行返回目录返回目录【评析】【评析】在应用均值不等式求最值时，要保证条件都满足，在应用均值不等式求最值时，要保证条件都满足，即做到即做到“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”.（3）y=(x-a)2+(x-b)2=(x-a)2+(b-x)2当且仅当当且仅当x-a=b-x，即，即x=时，上式
10、等号成立时，上式等号成立.当当x=时时,ymin=.名师伴你行返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练若若x,y是正数，则是正数，则 的最的最小值是（小值是（）A.3 B.C.4 D.C名师伴你行返回目录返回目录 当且仅当当且仅当x=y=时等号成立取得时等号成立取得C最小值最小值.故应选故应选C.)名师伴你行返回目录返回目录 1.不等式的性质是解不等式的性质是解(证证)不等式的基础不等式的基础,对于不等式的性质对于不等式的性质,关键是正确理解和运用关键是正确理解和运用,要弄清每一个性质的条件和结论要弄清每一个性质的条件和结论,注意条件的加强或减弱注意条件的加强或减弱,条件与结论之间的
11、相互联系条件与结论之间的相互联系.2.不等式的性质应用于证明不等式不等式的性质应用于证明不等式,往往是从条件推出结往往是从条件推出结论的变换关系论的变换关系,而解不等式则要求等价变形而解不等式则要求等价变形.3.判定不等式是否成立判定不等式是否成立,常利用不等式的基本性质、函数常利用不等式的基本性质、函数的单调性和特殊值等方法的单调性和特殊值等方法.4.应用均值不等式时熟练掌握定理成立的条件、重要不等应用均值不等式时熟练掌握定理成立的条件、重要不等式的变形式的变形 ，在运用重要不等式证明不等式或求，在运用重要不等式证明不等式或求 最最 值时，值时，注意掌握注意掌握“凑凑”（凑项、凑因式）的技巧，其目的一是（凑项、凑因式）的技巧，其目的一是 创造一个应用重要不等式的情境；二是使等号成立的条件创造一个应用重要不等式的情境；二是使等号成立的条件.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行