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1、第四章 解线性方程组的迭代法23 二月 2023 主讲 韩光朋24.1 4.1 三种基本的迭代法三种基本的迭代法 4.1.1 Jacobi 4.1.1 Jacobi迭代法迭代法 (1.公式的推导公式的推导,2.Jacobi迭代法的矩阵形式迭代法的矩阵形式,3.Jacobi迭代法的缺陷迭代法的缺陷)1.1.公式的推导公式的推导23 二月 2023 主讲 韩光朋323 二月 2023 主讲 韩光朋4 对于n阶方程组Ax=b,假定系数矩阵A的对角元 (i=1,2,n)时，类似于(4.3)式的推导，可得雅可比迭代格式为：23 二月 2023 主讲 韩光朋5 在一定条件下，对任意初始向量 ，按迭代公式(
2、4.4)求出的向量序列的极限存在且等于方程的解。这种用迭代格式(4.4)求线性代数方程组近似解的方法称为雅可比迭代法雅可比迭代法，也称简单迭代法简单迭代法。23 二月 2023 主讲 韩光朋62.Jacobi2.Jacobi迭代法的矩阵形式迭代法的矩阵形式23 二月 2023 主讲 韩光朋723 二月 2023 主讲 韩光朋83.Jacobi3.Jacobi迭代法的缺陷迭代法的缺陷23 二月 2023 主讲 韩光朋94.1.2 4.1.2 高斯赛德尔高斯赛德尔(Gauss Seidel)(Gauss Seidel)迭代法迭代法1.迭代公式迭代公式（将（将4.3式作一点改进，得到下式：）式作一点
3、改进，得到下式：）23 二月 2023 主讲 韩光朋102.2.用矩阵形式表示用矩阵形式表示23 二月 2023 主讲 韩光朋11（重点）（重点）23 二月 2023 主讲 韩光朋1223 二月 2023 主讲 韩光朋1323 二月 2023 主讲 韩光朋143.3.程序框图程序框图23 二月 2023 主讲 韩光朋15（参看（参看4.84.8式）式）4.1.3 4.1.3 超松弛迭代法超松弛迭代法(SOR(SOR方法方法)（要求了解）（要求了解）（预算一次）（预算一次）23 二月 2023 主讲 韩光朋16（重算一次）（重算一次）（将两步并为一步）（将两步并为一步）23 二月 2023 主讲
4、 韩光朋172.2.用矩阵形式表示用矩阵形式表示23 二月 2023 主讲 韩光朋183.SOR3.SOR方法的程序框图方法的程序框图23 二月 2023 主讲 韩光朋19（略）（略）23 二月 2023 主讲 韩光朋2023 二月 2023 主讲 韩光朋214.2 4.2 迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件23 二月 2023 主讲 韩光朋224.2.1 4.2.1 迭代法收敛的概念迭代法收敛的概念23 二月 2023 主讲 韩光朋233.3.用范数来讨论迭代法的收敛条件用范数来讨论迭代法的收敛条件23 二月 2023 主讲 韩光朋244.2.2 4.2.2 迭代法收敛性的判定定理迭代法收敛性
5、的判定定理23 二月 2023 主讲 韩光朋2523 二月 2023 主讲 韩光朋2623 二月 2023 主讲 韩光朋27 定理定理4.14.1只是用作理论研究，实际计算时仍用各自方法的迭代格式。只是用作理论研究，实际计算时仍用各自方法的迭代格式。23 二月 2023 主讲 韩光朋2823 二月 2023 主讲 韩光朋2923 二月 2023 主讲 韩光朋3023 二月 2023 主讲 韩光朋31（证明略（证明略）有了有了定理定理4.24.2，对于某些方程组，可直接用系数，对于某些方程组，可直接用系数矩阵来判定使用雅可比迭代法和矩阵来判定使用雅可比迭代法和G-SG-S迭代法求解是迭代法求解是
6、否收敛。重新考察例否收敛。重新考察例3 3，由于系数矩阵，由于系数矩阵 ，可知矩阵，可知矩阵A A按行严格对角占优。因此，按行严格对角占优。因此，由定理由定理4.2,4.2,采用雅可比迭代法和采用雅可比迭代法和G-SG-S迭代法求解例迭代法求解例3 3的方程组收敛。的方程组收敛。23 二月 2023 主讲 韩光朋32 注：注：引理引理4.14.1的证明涉及到线性代数中的约当标准型和约当矩阵的有关知识，的证明涉及到线性代数中的约当标准型和约当矩阵的有关知识，对引理对引理4.14.1的证明感兴趣的读者可参看张徳荣、王新民、高安民编，的证明感兴趣的读者可参看张徳荣、王新民、高安民编，计算方法计算方法
7、与算法语言与算法语言第第102102面引理面引理4 4。23 二月 2023 主讲 韩光朋3323 二月 2023 主讲 韩光朋3423 二月 2023 主讲 韩光朋3523 二月 2023 主讲 韩光朋3623 二月 2023 主讲 韩光朋3723 二月 2023 主讲 韩光朋38 利用定理利用定理4.34.3可以证明松弛迭代法收敛的可以证明松弛迭代法收敛的一个充分条件。一个充分条件。定理定理4.44.4 设方程组设方程组Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A A为为实实对称正定阵对称正定阵，且，且0w20w2，则松弛迭代法，则松弛迭代法收敛收敛。（证明略）（证明略）23 二月 2023 主讲 韩光朋3923 二月 2023 主讲 韩光朋40