《计算机图形学ppt课件第八章自由曲线曲面.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机图形学ppt课件第八章自由曲线曲面.ppt（45页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第八章第八章 自由曲线曲面自由曲线曲面8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n n位置矢量位置矢量空间一点空间一点A A，从原点，从原点OO到到A A的连线的连线OAOA表示的矢量。表示的矢量。n n曲线的表示形式曲线的表示形式空间一点的位置矢量有空间一点的位置矢量有3 3个坐标分量，而空间曲线则是个坐标分量，而空间曲线则是空间动点运动的轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢量曲空间动点运动的轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢量曲线，矢量方程为线，矢量方程为参数方程为参数方程为8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n n曲线的参数表示优点曲线的参数表示优点n n有更大的自由度来控制曲线或曲面形状有
2、更大的自由度来控制曲线或曲面形状n n可对参数曲线曲面方程直接进行几何变换，而不需要可对参数曲线曲面方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面每个数据点进行几何变换对曲线曲面每个数据点进行几何变换n n可处理斜率无穷大的情况可处理斜率无穷大的情况n n对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间到高维空间n n便于采用规格化的参数变量便于采用规格化的参数变量n n易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算 8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n n曲线的矢函数求导曲线的矢函数求导又设r(u)=x(u)
3、,y(u),z(u)，因为8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示所以所以 矢函数的导矢也是一矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。当个矢函数，因此也有方向和模。当 ,c(u)/c(u)/u u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。n n曲线的自然参数方程曲线的自然参数方程设在空间曲线设在空间曲线c(u)c(u)上任取一点上任取一点M0(x0,y0,z0)M0(x0,y0,z0)作为计算作为计算弧长起点，曲线上其他点弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)M(x,y,z)到到M0M0的弧长的弧长s s作为作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数
4、曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数。方程，弧长则称为自然参数。8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n n曲线的法矢量曲线的法矢量设曲线自然参数方程为设曲线自然参数方程为c=c(s)c=c(s)，曲线的切矢为单位矢量，记，曲线的切矢为单位矢量，记为为 因为因为(T(s)(T(s)2 2=1=1，对左式求导，得到，对左式求导，得到说明说明T(s)T(s)与与 垂直，由于垂直，由于 不是单位矢量，可以认为不是单位矢量，可以认为其中单位矢量其中单位矢量N(s)N(s)为主法线单位矢量，简称为主法矢，为主法线单位矢量，简称为主法矢，N(s)N(s)总总是指向曲线凹入
5、的方向。是指向曲线凹入的方向。K(s)K(s)为一标量系数，称为曲线的曲为一标量系数，称为曲线的曲率，而率，而 称为曲率矢量，其模就是曲线曲率称为曲率矢量，其模就是曲线曲率8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示记记 称为曲率半径。称为曲率半径。设垂直于设垂直于T T和和NN的单位矢量为的单位矢量为B B，称，称B B为法线单位矢量或副法线单为法线单位矢量或副法线单位矢量位矢量由切线和主法线确定的平面称为密切平面，有主法线和副法线由切线和主法线确定的平面称为密切平面，有主法线和副法线组成的平面称为法平面，由切线和副法线构成的平面称为从组成的平面称为法平面，由切线和副法线构成的平面称为从切面。切
6、面。8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n曲面的切矢和法矢 空间曲面采用双参数表示：当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空间曲线，称它为v线，同理v为常数时，则称为u线。将矢函数S(u,v)对u求导，得切矢量切矢的方向指向参数u增长的方向，同理可求对v的切矢量。8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示经过曲面上某点M(u,v)的切平面的法矢量为8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n插值、逼近和拟合型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述几何形状的数据点。控制点 指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点。插值和逼近 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型严格通过已知
7、的每一个型点。而逼近设计方法只是近似的接近已知的型值点。拟合 指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。8.1 曲线和曲面的表示曲线和曲面的表示n曲线段间的连续性定义C0连续（0阶参数连续）前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。C1连续（一阶参数连续）两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数。C2连续（二阶参数连续）两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数和二阶导数。8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线1、Bezier曲线定义给定空间n+1个点P0,P1,Pn，称下列参数曲线为n次的Bezier 曲线。其中 是Bernstein基函数8.2 贝叶斯
8、（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线一般称折线P0、P1Pn为C(u)的控制多边形，称P0、P1Pn各点为C(U)的控制顶点。控制多边形是C(u)的大致勾画，C(u)是P0、P1Pn的逼近。P0P3P1P2图8.1 Bezier曲线8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线n nBernsteinBernstein基函数性质基函数性质非负性非负性规范性规范性对称性对称性递推性递推性端点性端点性最大性最大性可导性可导性升阶公式升阶公式分割性分割性积分性积分性8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线n nBezier曲线性质端点性端点性端点切矢量端点切矢量端点曲率端点曲率对称性对称性几
9、何不变性几何不变性凸包性凸包性变差缩减性变差缩减性8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线n nBezierBezier曲线矩阵表示曲线矩阵表示一次一次BezierBezier曲线曲线 P1 P0 u图8.2 一次Bezier曲线8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线n nBezierBezier曲线矩阵表示曲线矩阵表示二次二次BezierBezier曲线曲线 P2 P0图8.3 二次Bezier曲线 P(u)Q2 P1 Q18.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线n nBezierBezier曲线矩阵表示曲线矩阵表示三次三次BezierBezier曲线曲线 P3 P
10、0图8.3 三次Bezier曲线 P(u)P1 P28.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线BezierBezier曲线的曲线的De CasteliauDe Casteliau算法算法给定三维空间点给定三维空间点P0P0、P1PnP1Pn以及一维标量参数以及一维标量参数u,u,假定：假定：并且 那么 即为Bezier曲线上参数u处的点：8.2 贝叶斯（贝叶斯（Bezier）曲线）曲线BezierBezier曲线的曲线的De CasteliauDe Casteliau算法算法DeCasteljau(P,n,u,C)/*Compute point on a Bezier curve usi
11、ng DeCasteljau algorithm*/*input:P,n,u*/*Output:C(a point)*/For(i=0;i=n;i+)Qi=Pi;For(k=1;k=n;k+)For(i=0;i0，Ni,p(u)是两个（p-1）次基函数的线性组合；3、计算一系列的基函数，需要指定节点矢量U和次数P；4、Ni,p(u)是一分段多项式，仅仅在u0,um区间对其感兴趣；5、ui,ui+1)称为第i个节点区段，其长度可以为0；6、若 ，则称上式中除tj-1,tj+k以外的每一个节点为U的k重节点。8.4 B样条曲线样条曲线n nB样条基函数的性质n n局部性局部性n n非负性非负性n
12、n规范性规范性n n分段多项式分段多项式n n连续性连续性n n可微分性可微分性8.4 B样条曲线样条曲线n nB B样条曲线定义样条曲线定义设设P P0 0,P,P1 1,P,Pn n为给定空间的为给定空间的n+1n+1个控制点，个控制点，U=uU=u0 0,u,u1 1,u,umm 是是m+1m+1个节点矢量，称下列参数曲个节点矢量，称下列参数曲线为线为P P次的次的B B样条曲线，折线样条曲线，折线P P0 0,P,P1 1,P,Pn n为为B B样条曲线样条曲线的控制多边形。的控制多边形。次数p，控制顶点个数n+1，节点个数m+1具有下列关系m=n+p+18.4 B样条曲线样条曲线n
13、nB样条曲线性质n n严格凸包性严格凸包性n n分段参数多项式分段参数多项式n n可微性或连续性可微性或连续性n n几何不变性几何不变性n n局部可调性局部可调性n n近似性近似性n n变差缩减性变差缩减性8.4 B样条曲线样条曲线例题：给定控制顶点例题：给定控制顶点Pi(i=0,8),Pi(i=0,8),定义一条三次定义一条三次B B样条曲线，这样条曲线，这说明说明n=8,p=3,n=8,p=3,各种关系如下确定：各种关系如下确定：1 1、节点矢量、节点矢量2 2、曲线定义域、曲线定义域3 3、当定义域、当定义域uu3 3,u,u9 9)内不含重节点时，曲线段数内不含重节点时，曲线段数=n-
14、p+1=6=n-p+1=64 4、当、当 时，曲线时，曲线C(u)C(u)由由PPi-pi-p,P,Pi i)=P)=P3 3,P,P6 6)4)4个个控制顶点定义，与其他顶点无关。控制顶点定义，与其他顶点无关。5 5、移动、移动P P3 3时，将至多影响到定义在时，将至多影响到定义在uui i,u,ui+p+1i+p+1)=u)=u3 3,u,u7 7)区间上区间上的那些曲线段的形状。的那些曲线段的形状。6 6、在、在uu6 6,u,u7 7)上的三次上的三次B B样条基及计算定义在样条基及计算定义在uu6 6,u,u7 7)上那段三上那段三次次B B样条曲线将涉及到样条曲线将涉及到u ui
15、-p+1i-p+1=u=u4 4,u,ui+pi+p=u=u9 9共共6 6个节点。个节点。8.4 B样条曲线样条曲线n n重节点对重节点对B B样条曲线的影响样条曲线的影响节点的非均匀或非等距分布包含两层含义：节点的非均匀或非等距分布包含两层含义：1 1、节点区间长度不等；、节点区间长度不等；2 2、重节、重节点，即节点区间长度为点，即节点区间长度为0 01 1、重节点的重复度每增加、重节点的重复度每增加1 1，曲线段数就减，曲线段数就减1 1，同时样条曲线在该重节点处的，同时样条曲线在该重节点处的可微性或参数连续阶降可微性或参数连续阶降1 12 2、当定义域端点节点重复度为、当定义域端点节
16、点重复度为p p时，时，p p次次B B样条曲线的端点将与相应的控制多样条曲线的端点将与相应的控制多边形的顶点重合，在端点处与控制多边形相切。边形的顶点重合，在端点处与控制多边形相切。3 3、当端节点重复度为、当端节点重复度为p p时，时，p p次次B B样条曲线插值于相应的控制多边形顶点。样条曲线插值于相应的控制多边形顶点。4 4、当端节点重复度为、当端节点重复度为p+1p+1时，时，p p次次B B样条曲线就具有和样条曲线就具有和p p次次BezierBezier曲线相同的端曲线相同的端点几何性质。点几何性质。5 5、p p次次B B样条曲线若在定义域内相邻两节点都具有重复度样条曲线若在定
17、义域内相邻两节点都具有重复度p p，可以生成定义在，可以生成定义在该节点区间内上那段该节点区间内上那段B B样条曲线的样条曲线的BezierBezier点。点。6 6、当端点节点重复度为、当端点节点重复度为p+1p+1的的p p次次B B样条曲线的定义域仅有一个非零节点区间，样条曲线的定义域仅有一个非零节点区间，则所定义的该则所定义的该p p次次B B样条曲线就是样条曲线就是p p次次BezierBezier曲线曲线8.4 B样条曲线样条曲线n n均匀B样条曲线n n非均匀B样条曲线8.5 B样条曲面样条曲面本节自学8.6 NURBS曲线曲线非均匀有理非均匀有理B B样条曲线和曲面（样条曲线和曲面（NonUniform Rational NonUniform Rational B-SplineB-Spline）简称为）简称为NURBSNURBS曲线曲线定义：定义：p p 次次NURBSNURBS曲线为曲线为8.6 NURBS曲线曲线n n 性质性质n n非负性非负性n n规范性规范性n n局部性局部性n n可微性可微性n n权因子特例性权因子特例性8.6 NURBS曲线曲线n nNURBS曲线性质n n端点性质n n仿射不变性n n严格的保凸性n n可微性n n变差递减性n n局部性n n一般性