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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 6 6 立体几何第立体几何第 2626 练完美破解立体练完美破解立体几何的证明问题文几何的证明问题文题型分析高考展望 立体几何证明题是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型，特别是垂直关系尤为重要掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分体验高考体验高考1(2015福建)若 l，m 是两条不
2、同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm”是“l”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 m 垂直于平面 ，当 l 时，也满足 lm，但直线 l 与平面 不平行，充分性不成立，反之，l，一定有 lm，必要性成立故选 B.2(2016山东)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )2 / 17A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交；若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或
3、异面或相交，故选 A.3(2016课标全国甲)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H，将DEF沿 EF 折到DEF 的位置(1)证明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥 DABCFE 的体积(1)证明 由已知得 ACBD，ADCD，又由 AECF 得，故ACEF，由此得 EFHD，折后 EF 与 HD 保持垂直关系，即EFHD，所以 ACHD.(2)解 由 EFAC 得.由 AB5，AC6 得 DOBO4，所以 OH1，DHDH3，于是 OD2OH2(2)2129DH2，故 ODO
4、H.由(1)知 ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD，又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.3 / 17又由得 EF.五边形 ABCFE 的面积 S683.所以五棱锥 DABCFE 的体积 V2.4(2016四川)如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由；(2)证明：平面 PAB平面 PBD.(1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下：因为 ADBC，BCAD，所以 BCAM，且 B
5、CAM.所以四边形 AMCB 是平行四边形，所以 CMAB.又 AB平面 PAB，CM平面 PAB.所以 CM平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PAAB，PACD.因为 ADBC，BCAD，所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA平面 ABCD，所以 PABD.因为 ADBC，BCAD，M 为 AD 的中点，连接 BM，所以 BCMD，且 BCMD.所以四边形 BCDM 是平行四边形，所以 BMCDAD，所以 BDAB.又 ABAPA，所以 BD平面 PAB.又 BD平面 PBD，4 / 17所以平面 PAB平面 PBD
6、.5(2016课标全国丙)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明：MN平面 PAB；(2)求四面体 NBCM 的体积(1)证明 由已知得 AMAD2.如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TNBC2.又 ADBC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)解 因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距
7、离为 PA.如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC，AE.由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为，故 SBCM42.所以四面体 NBCM 的体积VNBCMSBCM.高考必会题型高考必会题型题型一 空间中的平行问题例 1 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点，求证：5 / 17(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明 (1)如图，连接 SB，E、G 分别是 BC、SC 的中点，EGSB.又SB平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1，直线 EG平
8、面 BDD1B1.(2)连接 SD，F、G 分别是 DC、SC 的中点，FGSD.又SD平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，由(1)知，EG平面 BDD1B1，且 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFGG，平面 EFG平面 BDD1B1.点评 证明平行关系的方法(1)证明线线平行的常用方法：利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；利用平行四边形进行转换；利用三角形中位线定理证明；利用线面平行、面面平行的性质定理证明(2)证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明
9、面面平6 / 17行(3)证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行变式训练 1 (2015天津改编)如图，已知 AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点求证：(1)EF平面 A1B1BA；(2)平面 AEA1平面 BCB1.证明 (1)如图，连接 A1B，在A1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC 和A1C 的中点，所以 EFBA1.又因为 EF平面 A1B1BA，BA1平面A1B1BA，所以 EF
10、平面 A1B1BA.(2)因为 ABAC，E 为 BC 中点，所以 AEBC，因为AA1平面 ABC，BB1AA1，所以 BB1平面 ABC，从而 BB1AE.又因为 BCBB1B，所以 AE平面BCB1，又因为 AE平面 AEA1，所以平面 AEA1平面 BCB1.题型二 空间中的垂直问题例 2 如图所示，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点求证：(1)AF平面 BCE；(2)平面 BCE平面 CDE.证明 (1)如图，取 CE 的中点 G，连接 FG，BG.F 为 CD 的中点，7 / 17GFDE 且 GFDE.AB平面 A
11、CD，DE平面 ACD，ABDE，GFAB.又 ABDE，GFAB.四边形 GFAB 为平行四边形，AFBG.AF平面 BCE，BG平面 BCE，AF平面 BCE.(2)ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，AFCD.DE平面 ACD，AF平面 ACD，DEAF.又 CDDED，故 AF平面 CDE.BGAF，BG平面 CDE.BG平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.点评 (1)证明线面垂直的常用方法：利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
12、这个平面(2)证明面面垂直的方法：证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有8 / 17直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线来解决变式训练 2 (2016北京)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面 PAC；(2)求证：平面 PAB平面 PAC；(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面CEF？说明理由(1)证明 PC平面 ABCD，DC平面 ABCD，PCDC.又 ACDC，PCACC，PC平面 PAC，
13、AC平面PAC，DC平面 PAC.(2)证明 ABCD，CD平面 PAC，AB平面 PAC，又AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAC.(3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.证明如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又E 为 AB 的中点，EF 为PAB 的中位线，EFPA.又 PA平面 CEF，EF平面 CEF，PA平面 CEF.题型三 空间中的平行、垂直综合问题例 3 (2015山东)如图，三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点(1)求证：BD平面 FGH；9 / 17(2)若 CFBC，ABBC，求证：平面 BCD平面
14、 EGH. 证明 (1)方法一 如图，连接 DG，设 CDGFM，连接 MH.在三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G 为 AC 的中点，可得 DFGC，DFGC，所以四边形 DFCG 为平行四边形则 M 为 CD 的中点，又 H 为 BC 的中点，所以 HMBD，又 HM平面 FGH，BD平面 FGH，所以 BD平面 FGH.方法二 在三棱台 DEFABC 中，由 BC2EF，H 为 BC 的中点，可得 BHEF，BHEF，所以四边形 HBEF 为平行四边形，可得 BEHF.在ABC 中，G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点，所以 GHAB.又 GHHFH，ABBEB，所以平面 FG
15、H平面 ABED.又因为 BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH.(2)连接 HE，因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点，所以 GHAB.由 ABBC，得 GHBC.又 H 为 BC 的中点，所以 EFHC，EFHC，10 / 17因此四边形 EFCH 是平行四边形，所以 CFHE.又 CFBC，所以 HEBC.又 HE，GH平面 EGH，HEGHH，所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.点评 (1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得(2
16、)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用(3)平行关系往往用到三角形的中位线，垂直关系往往用到三角形的高线、中线变式训练 3 (2015北京)如图，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 ACBC，O，M 分别为AB，VA 的中点(1)求证：VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB；(3)求三棱锥 VABC 的体积(1)证明 因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点，所以 OMVB，又因为 VB平面 MOC，所以 VB平面 MOC.(2)证明 因为 ACBC，O 为 AB 的中点
17、，所以 OCAB.又因为平面 VAB平面 ABC，且 OC平面 ABC，11 / 17所以 OC平面 VAB.又 OC平面 MOC，所以平面 MOC平面 VAB.(3)解 在等腰直角三角形 ACB 中，ACBC，所以 AB2，OC1，所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB.又因为 OC平面 VAB.所以 VCVABOCSVAB，又因为三棱锥 VABC 的体积与三棱锥 CVAB 的体积相等，所以三棱锥 VABC 的体积为.高考题型精练高考题型精练1(2016浙江)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线m，n 满足 m，n，则( )AmlBmnCnlDmn答案 C解析 由已知，l，l，又n
18、，nl，C 正确故选 C.2(2015安徽)已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面答案 D12 / 17解析 对于 A， 垂直于同一平面， 关系不确定，故 A错；对于 B，m，n 平行于同一平面，m，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C， 不平行，但 内能找出平行于 的直线，如 中平行于 ， 交线的直线平行于 ，故 C 错；对于 D，若假设 m，n 垂
19、直于同一平面，则 mn，其逆否命题即为 D选项，故 D 正确3已知 ， 是两个不同的平面，给出下列四个条件：存在一条直线 a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a，b，a，b，a，b；存在两条异面直线a，b，a，b，a，b，可以推出 的是( )ABCD答案 C解析 对于，平面 与 还可以相交；对于，当 ab 时，不一定能推出 ，所以是错误的，易知正确，故选 C.4如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，ACEFG.现在沿 AE，EF，FA 把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D 三点重合，重合后的点记为 P，则在四面体 PAEF 中必有( )AAPPEF 所在
20、平面BAGPEF 所在平面CEPAEF 所在平面DPGAEF 所在平面答案 A13 / 17解析 在折叠过程中，ABBE，ADDF 保持不变AP平面 PEF.5如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P，Q 分别是AA1，A1D1，CC1，BC 的中点，给出以下四个结论：A1CMN；A1C平面 MNPQ；A1C 与 PM 相交；NC 与 PM 异面其中不正确的结论是( )A B C D答案 B解析 作出过 M，N，P，Q 四点的截面交 C1D1 于点 S，交 AB 于点R，如图所示中的六边形 MNSPQR，显然点 A1，C 分别位于这个平面的两侧，故 A1C 与平面 MNPQ
21、 一定相交，不可能平行，故结论不正确6下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是( )ABCD答案 B解析 中易知 NPAA，MNAB，平面 MNP平面 AAB 可得出 AB平面 MNP(如图)中，NPAB，能得出 AB平面 MNP.7(教材改编)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 AEC 的位置关系为_答案 平行14 / 17解析 连接 BD，设 BDACO，连接 EO，在BDD1 中，O 为 BD 的中点，所以 EO 为BDD1 的中位线，则 BD1EO，而
22、 BD1平面 ACE，EO平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.8如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面 ABC平面 PBC；直线 BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案 解析 由 PA平面 ABC，AE平面 ABC，得 PAAE，又由正六边形的性质得 AEAB，PAABA，得 AE平面 PAB，又 PB平面 PAB，AEPB，正确；平面 PAD平面 ABC，平面 ABC平面 PBC 不成立，错；由正六边形的性质得 BCAD，又 AD平面 PAD，BC平面 PAD，BC平面 PAD，直线
23、BC平面 PAE 也不成立，错；在 RtPAD 中，PAAD2AB，PDA45，正确9如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO平面 BB1C1C，则 B1C 与 AB 的位置关系为15 / 17_答案 异面垂直解析 AO平面 BB1C1C，AOB1C，又平面 BB1C1C 为菱形，B1CBO，B1C平面 ABO，AB平面 ABO，B1CAB.10如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DMP
24、C(或 BMPC，答案不唯一)解析 四边形 ABCD 是菱形，ACBD，又PA平面 ABCD，PABD，又 ACPAA，BD平面 PAC，BDPC.当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD，而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.11(2015江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知ACBC，BCCC1.设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.证明 (1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点，因此 DEAC.16 / 17又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所
25、以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1.又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1B1C.因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1.12(2016山东)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.(1)已知 ABBC
26、，AEEC，求证：ACFB；(2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH平面 ABC.证明 (1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF，如图，连接 DE.因为 AEEC，D 为 AC 的中点，所以 DEAC.同理可得17 / 17BDAC.又 BDDED，所以 AC平面 BDEF.因为 FB平面 BDEF，所以 ACFB.(2)如图，设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI.在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFDB，所以 GIDB.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC.又 HIGII，所以平面 GHI平面 ABC，因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.