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1、- 1 - / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布随机变量及其分布 11-111-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理理学案理考纲展示 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题考点 1 分类加法计数原理分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法答案：mn分类加法计数原理：每一
2、种方法都能完成这件事情；类与类之间是独立的某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有_种答案：10解析：赠送 1 本画册，3 本集邮册，需从 4 人中选取 1 人赠送画册，其余赠送集邮册，有 C 种方法；赠送 2 本画册，2 本集邮册，需从 4 人中选出 2 人送画册，其余 2 人送集邮册，有 C 种方法由分类加法计数原理知不同的赠送方法有 CC10(种).典题 1 (1)2017重庆铜梁第一中学月考如果把个位数是1，且恰好有 3 个数字相同的四位数叫做“好数” ，那么在由 1,2,3,4- 2 - / 11四个
3、数字组成的有重复数字的四位数中， “好数”共有( )A9 个 B3 个 C12 个 D6 个答案 C解析 当重复数字是 1 时，有 CC 种；当重复数字不是 1 时，有 C 种由分类加法计数原理得满足条件的“好数”有CCC12(个)(2)2017河南郑州质检满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A14 B13 C12 D10答案 B解析 当 a0，有 x，b1,0,1,2，有 4 种可能；当 a0 时，则 44ab0，ab1.()当 a1 时，b1,0,1,2，有 4 种可能；()当 a1 时，b1,0,1，有 3 种可能；(
4、)当 a2 时，b1,0，有 2 种可能所以有序数对(a，b)共有 443213(个)点石成金 利用分类加法计数原理解题时的注意事项(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复考点 2 分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N_种不同的方- 3 - / 11法答案：mn分步乘法计数原理：所有步骤完成才算完成；步与步之间是相关联的将甲、乙、丙等 6 人分配到高中三个年级，每个年级 2 人，要求甲必须在
5、高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为_答案：9分步计数原理：步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 B，C，D 中选择，其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9 中选择，其他号码只想在 1,3,6,9 中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有_种答案：960解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有 5 种选法，第二个号码有 3 种选法，其余三个号码各有 4 种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有 53444960(种).典题
6、2 (1)2017广东佛山二模教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )A10 种 B25 种 C52 种 D24 种答案 D解析 每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步由分步乘法计数原理，共有 24 种不同的走法- 4 - / 11(2)已知集合 M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则P 可表示平面上_个不同的点；P 可表示平面上_个第二象限的点答案 36 6解析 确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成：第 1 步，确定 a 的值，共有 6 种方法；第 2 步，确定 b 的值，也有 6 种方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个
7、数是 6636.确定第二象限的点，可分两步完成：第 1 步，确定 a，由于 a0，所以有 2 种方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是 326.点石成金 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事2分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.2017河北石家庄模拟将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为_(用数字作答)答案：8解析：第 1 步，把
8、甲、乙分到不同班级有 A2(种)分法；第 2 步，分丙、丁：丙、丁分到同一班级有 2 种方法；丙、丁分到两个不- 5 - / 11同班级有 A2(种)分法由分步乘法计数原理，不同的分法为2(22)8(种)考点 3 两个计数原理的综合应用考情聚焦 两个计数原理的应用是高考命题的一个热点，以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题主要有以下几个命题角度：角度一涂色问题典题 3 2017四川成都二诊如图所示，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_.答案 96解析 (1)按区域 1 与
9、 3 是否同色分类：区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3，有 4 种方法，再涂区域2,4,5(还有 3 种颜色)，有 A 种方法区域 1 与 3 同色，共有 4A24(种)方法区域 1 与 3 不同色：先涂区域 1 与 3 有 A 种方法，第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法，第三步涂区域 4 只有一种方法，第四步涂区域5 有 3 种方法共有 A21372(种)方法由分类加法计数原理，不同的涂色方法为 247296(种)角度二选派或分配问题典题 4 某班一天上午有 4 节课，每节都需要安排 1 名教师去上课，现从 A，B，C，D，E，F 6 名教师中安排 4 人分别上一节课，- 6 -
10、 / 11第一节课只能从 A，B 两人中安排一人，第四节课只能从 A，C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？解 (1)第一节课若安排 A，则第四节课只能安排 C，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有4312(种)排法(2)第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有24324(种)排法因此不同的安排方案共有 122436(种)角度三几何问题典题 5 已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为( )A
11、40 B16 C13 D10答案 C解析 分两类情况讨论：第一类，直线 a 分别与直线 b 上的 8个点可以确定 8 个不同的平面；第二类，直线 b 分别与直线 a 上的 5个点可以确定 5 个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定 8513(个)不同的平面角度四集合问题典题 6 已知集合 M1,2,3,4，集合 A，B 为集合 M 的非空子集，若对xA，yB，xa3，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为( )A240 B204 C729 D920答案 A解析 若 a22，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或0， “凸数”为 120 与 1
12、21，共 2 个，若 a23，满足条件的“凸数”有 236(个)，若 a24，满足条件的“凸数”有 3412(个)，若 a29，满足条件的“凸数”有 8972(个)所以所有凸数有 26122030425672240(个)点石成金 1.注意在综合应用两个计数原理解决问题时，一般是先分类再分步在分步时可能又用到分类加法计数原理2注意对于较复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化3解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分- 8 - / 11步完成.方法技巧 1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分
13、类”与“分步”的具体标准是什么选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏2(1)分类要做到“不重不漏” ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整” ，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数3混合问题一般是先分类再分步4要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律易错防范 1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行2分类的关键在于做到“不重不漏” ，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分
14、类，准确分步3确定题目中是否有特殊条件限制真题演练集训 12016新课标全国卷如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A24 B18 C12 D9答案：B解析：由题意可知 EF 共有 6 种走法，FG 共有 3 种走法，由- 9 - / 11分步乘法计数原理知，共有 6318(种)走法，故选 B.22016新课标全国卷定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意k2m，a1，a2，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4，则不同的
15、“规范 01 数列”共有( )A18 个 B16 个C14 个 D12 个答案：C 解析：由题意可得，a10，a81，a2，a3，a7 中有 3 个0、3 个 1，且满足对任意 k8，都有 a1，a2，ak 中 0 的个数不少于 1 的个数，利用列举法可得不同的“规范 01 数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共 14 个32016四川卷用数字 1,2,3,4,5 组成没有
16、重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A24 B48C60 D72答案：D解析：由题意可知，个位可以从 1,3,5 中任选一个，有 A 种方法，其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有 A 种方法，所以奇数的个数为 AA3432172，故选 D.42015四川卷用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( )B120 个 A144 个 - 10 - / 11D72 个C96 个 答案：B解析：当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有 2A个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4 中任选一个，共
17、有 CA个偶数故符合条件的偶数共有 2ACA120(个)课外拓展阅读 应用两个计数原理求解涂色问题典例 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为_审题视角 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题解析 解法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥 SABCD 的顶点 S，A，B 所染的颜色互不相同，它们共有 54360(种)染色方法当 S，A，B 染好时，不妨设其颜色分别为 1,2
18、,3.若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法；若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法可见，当 S，A，B 已染好时，C，D 还有 7 种染法，故不同的染色方法有 607420(种)解法二：以 S，A，B，C，D 顺序分步染色第一步，点 S 染色，有 5 种方法；第二步，点 A 染色，与 S 在同一条棱上，有 4 种方法；第三步，点 B 染色，与 S，A 分别在同一条棱上，有 3 种方法；- 11 - / 11第四步，点 C 染色，也有 3 种方法，但考虑到点 D 与 S，A，C 相邻，需要针对
19、 A 与 C 是否同色进行分类：当 A 与 C 同色时，点 D 有 3种染色方法；当 A 与 C 不同色时，因为 C 与 S，B 也不同色，所以点C 有 2 种染色方法，点 D 也有 2 种染色方法所以不同的染色方法共有 543(1322)420(种)解法三：按所用颜色种数分类第一类，5 种颜色全用，共有 A 种不同的方法；第二类，只用 4 种颜色，则必有某两个顶点同色(A 与 C，或 B 与D)，共有 2A 种不同的方法；第三类，只用 3 种颜色，则 A 与 C，B 与 D 必定同色，共有 A 种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A2AA420(种)答案 420方法点睛两个计数原理综合应用的常见题型与求解策略题型求解策略组数问题一般按特殊位置(如末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的方法分步完成涂色问题一般有两种方案：(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计数；(2)根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数简单的选择问题根据具体情况先合理分类，每类中再分步完成，要关注特殊元素