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1、1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布变量及其分布 12-512-5 独立性及二项分布教师用书理苏教独立性及二项分布教师用书理苏教1条件概率及其性质(1)对于两个事件 A 和 B，在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率叫做条件概率，用符号 P(A|B)来表示，其公式为 P(A|B)(P(B)0)在古典概型中，若用 n(B)表示事件 B 中基本事件的个数，则 P(A|B).(2)条件概率具有的性质0P(B|A)1；如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2
2、相互独立事件(1)设 A，B 为两个事件，若 P(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与事件B 相互独立(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)，P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B)(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与，与 B，与也都相互独立(4)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立3二项分布2 / 20(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有_两_种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数
3、，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，记为XB(n，p)，并称 p 为成功概率【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率( )(2)相互独立事件就是互斥事件( )(3)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P(B)都成立( )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n 二项展开式的通项公式，其中 ap，b1p.( )(5)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A，B 同时发生的概率( )1袋
4、中有 3 红 5 黑 8 个大小、形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为_答案 2 7解析 第一次摸出红球，还剩 2 红 5 黑共 7 个小球，所以再摸到红球的概率为.3 / 202(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是_答案 4 9解析 所求概率 PC()1(1)31.3(2015课标全国改编)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_答案 0.648解析 3 次投篮投中 2 次
5、的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中 3 次的概率为 P(k3)0.63，所以通过测试的概率为 P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.4(2016镇江模拟)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列an，an 如果 Sn 为数列an的前 n 项和，那么 S73 的概率为_(用式子作答)答案 C25解析 由 S73 知，在前 7 次摸球中有 2 次摸取红球，5 次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则 S73 的概率为 C25.5(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之
6、间没有影响，那么这段时间内至4 / 20少有 1 人去北京旅游的概率为_答案 1 2解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A， “乙去北京旅游”为事件 B，又 P( )P()P()1P(A)1P(B)(1)(1)，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游” ，故所求概率为 1P( )1.题型一 条件概率例 1 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2个数之和为偶数” ，事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)_.(2)如图所示，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地
7、扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ，则 P(B|A)_.答案 (1) (2)1 4解析 (1)P(A)，P(AB)，P(B|A).(2)AB 表示事件“豆子落在OEH 内” ，P(B|A).引申探究1若将本例(1)中的事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”改为“取5 / 20到的 2 个数均为奇数” ，则结果如何？解 P(A)，P(B)，又 AB，则 P(AB)P(B)，所以 P(B|A).2在本例(2)的条件下，求 P(A|B)解 由题意知，EOH90，故 P(B)，又P(AB)，P(A|B).思维升华 条件概率
8、的求法(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)求 P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A).(2016无锡模拟)已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为_答案 7 9解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡” ，事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡” ，则 P
9、(A)，P(AB)，则所求概率为 P(B|A).方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口6 / 20灯泡，故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为.题型二 相互独立事件的概率例 2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求 T 的概率分布；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率解 (1)由统计结果可得 T 的频率分布为T(分
10、钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的概率分布为T25303540P0.20.30.40.1(2)设 T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与 T 的概率分布相同，设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ，由于讲座时间为50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟” 方法一 P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T135，T235)P(T140，T230)7 / 200.210.310.40.90.10.50.91.方法二 P()P(T1T270)P
11、(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)0.40.10.10.40.10.10.09，故 P(A)1P()0.91.思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2016宿迁模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过 22 千米的地铁票价如下表：乘坐里程x(单位：km)0P(X5)3已知 A，B 是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的
12、概率，则 1P(A)P(B)是下列哪个事件的概率_事件 A，B 同时发生；事件 A，B 至少有一个发生；事件 A，B 至多有一个发生；事件 A，B 都不发生答案 14 / 20解析 P(A)P(B)是指 A，B 同时发生的概率，1P(A)P(B)是 A，B不同时发生的概率，即事件 A，B 至多有一个发生的概率4甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为_答案 3 4解析 设“甲命中目标”为事件 A， “乙命中目标”为事件 B， “丙命中目标”为事件 C，则击中目标表示事件 A，B，C 中至少有一个发生又 P( )P()P()P()
13、1P(A)1P(B)1P(C).故目标被击中的概率 P1P( ).5(2017南通质检)设随机变量 X 服从二项分布 XB(5，)，则函数 f(x)x24xX 存在零点的概率是_答案 31 32解析 函数 f(x)x24xX 存在零点，164X0，X4.X 服从 XB(5，)，P(X4)1P(X5)1.6(2016无锡模拟)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙 3 位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：3 位病人都被治愈的概率为 0.93；3 人中的甲被治愈的概率为 0.9；3 人中恰有 2 人被治愈的概率是 20.920.1；15 / 203 人中恰好有
14、2 人未被治愈的概率是 30.90.12；3 人中恰好有 2 人被治愈，且甲被治愈的概率是 0.920.1.其中正确结论的序号是_答案 7设随机变量 XB(2，p)，随机变量 YB(3，p)，若 P(X1)，则 P(Y1)_.答案 19 27解析 XB(2，p)，P(X1)1P(X0)1C(1p)2，解得 p.又 YB(3，p)，P(Y1)1P(Y0)1C(1p)3.8如图所示的电路有 a，b，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_答案 1 8解析 灯泡甲亮满足的条件是 a，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路设“a 闭合”为事件 A， “b 闭合
15、”为事件 B， “c 闭合”为事件 C，则甲灯亮应为事件 AC，且 A，B，C 之间彼此独立，且P(A)P(B)P(C)，由独立事件概率公式知 P(AC)P(A)P()P(C).9(2016无锡模拟)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙二人相邻的概率是_16 / 20答案 1 4解析 设“甲、乙二人相邻”为事件 A， “甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为 P(B|A)，由于 P(B|A)，而 P(A)，AB 表示事件“甲与乙、丙都相邻” ，故 P(AB)，于是 P(B|A).10(2016苏州质检)把一枚硬币任意抛掷三次，事件 A“至少一次出现反面
16、” ，事件 B“恰有一次出现正面” ，则 P(B|A)_.答案 3 7解析 由题意知，P(AB)，P(A)1，所以 P(B|A).11现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲，乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量 的概率分布17 / 20解 依题意知
17、，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这 4 个人中恰有 k 人去参加甲游戏”为事件Ak(k0,1,2,3,4)则 P(Ak)Ck4k.(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为P(A2)C22.(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 BA3A4.由于 A3 与 A4 互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3) 的所有可能取值为 0,2,4.由于 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)
18、P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以 的概率分布是024P8 2740 8117 8112.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000 元，此作物18 / 20的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的概率分布；(2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率解 (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg” ，B 表示事件“作物市场价
19、格为 6 元/kg” ，由题设知 P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市场价格成本所以 X 所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，故 X 的概率分布为X4 0002 000800P0.30.50.219 / 20(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i1,2,3)
20、，由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3 季中有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.82(10.8)0.384，所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为0.5120.3840.896.*13.李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数
21、主场 12212客场 1188主场 21512客场 21312主场 3128客场 3217主场 4238客场 41815主场 52420客场 52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率20 / 20解 (1)根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.(2)记事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6” 则 CAB，A，B 独立根据投篮统计数据，P(A)0.6，P(B)0.4.P(C)P(A)P(B)0.60.60.40.40.52.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 0.52.