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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 5 5 章数列第章数列第 3 3讲等比数列及其前讲等比数列及其前 n n 项和学案项和学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 等比数列的有关概念1定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为q.2等比中项如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2ab(ab0)考点 2 等比数列的有关公式1通项
2、公式：ana1qn1.2前 n 项和公式：Sn必会结论等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an， ，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk.(5)公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列，其公比为 qn.(6)等比数列an满足或时，an是递增数列；满足或时，an2 / 14
3、是递减数列考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列( )(2)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列( )(3)G 为 a，b 的等比中项G2ab.( )(4)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列( )(5)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)22018河南名校联考在各项均为正数的等比数列an中，a13，a9a2a3a4，则公比 q 的值为( )A. B. C2 D3答案 D解析 由
4、 a9a2a3a4 得 a1q8aq6，所以 q2a，因为等比数列an的各项都为正数，所以 qa13.故选 D.3课本改编等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知S3a210a1，a59，则 a1( )A. B C. D1 9答案 C解析 由已知条件及 S3a1a2a3，得 a39a1，设数列an的公比为 q，则 q29.所以 a59a1q481a1，得 a1.故选 C.42018黄冈调研设等比数列an中，公比 q2，前 n 项和为 Sn，则的值( )A. B. C. D.7 23 / 14答案 A解析 根据等比数列的公式，得.52015全国卷在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前
5、 n 项和若 Sn126，则 n_.答案 6解析 a12，an12an，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列又Sn126，126，n6.62018衡中检测在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则 a3_.答案 4 或4解析 设等比数列an的公比为 q(q0)，则Error!两式相除，得，即 2q25q20，解得 q2 或 q.所以或故 a34 或 a34.板块二 典例探究考向突破考向 等比数列的基本运算例 1 (1)2017全国卷我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，
6、且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏答案 B解析 设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为q，则由题意知 S7381，q2，S7381，解得 a13.故选B.(2)2017江苏高考等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3，S6，则 a8_.答案 324 / 14解析 设an的首项为 a1，公比为 q，则两式相除得，解得所以 a8272532.触类旁通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)所求问题
7、可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程【变式训练 1】 (1)2018东北师大附中月考已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a1a3，且 a2a4，则( )A4n1 B4n1 C2n1 D2n1答案 D解析 设等比数列的公比为 q，由题意，得解得Error!则 ana1n1，Sn，所以2n1.故选 D.(2)2018安徽皖江名校联考已知 Sn 是各项均为正数的等比数列an的前 n 项和，若 a2a416，S37，则 a8_.答案 128解析 a2a4a16，a34(负值舍去)，a3a1q24，S37，q1，S
8、23，3q24q40，解得 q或 q2，an0，q舍去，q2，a11，a827128.5 / 14考向 等比数列的性质命题角度 1 等比数列性质的应用例 2 (1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则 a4a5a6( )A5 B7 C6 D42答案 A解析 (a1a2a3)(a7a8a9)a50，a4a5a6a5.选 A.(2)等比数列an的前 n 项和为 Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，则 S5_.答案 31解析 a3a5a2a664，因为 a3a520，所以 a3 和 a5 为方程 x220x640 的两根，因为 an0，q1，所以 a3
9、0 的思维定式的影响，遗漏当 q0 时，S31q123，当且仅当 q1 时，等号成立；当公比 q0 时，数列中的各项符号相同；用等比数列前 n 项和公式时，如果其公比 q 不确定，要分 q1 和 q1 两种情况进行讨论.跟踪训练9 / 14已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则 a1a10( )A7 B5 C5 D7答案 D解析 由已知得Error!解得或Error!当 a44，a72 时，易得 a18，a101，从而 a1a107；当 a42，a74 时，易得 a108，a11，从而 a1a107.10 / 14板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标1在等比数列an中，Sn 表示前
10、 n 项和，若a32S21，a42S31，则公比 q 等于( )A3 B3 C1 D1答案 A解析 两等式相减得 a4a32a3，从而求得3q.故选 A.2已知等比数列an满足 a1，a3a54(a41)，则 a2( )A2 B1 C. D.1 8答案 C解析 设等比数列an的公比为 q，a1，a3a54(a41)，由题可知 q1，则 a1q2a1q44(a1q31)，q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2.故选 C.32018江西九江一模已知单调递增的等比数列an中，a2a616，a3a510，则数列an的前 n 项和 Sn( )B2n1A2n2 1 2D2n12C2
11、n1 答案 B解析 因为 a2a616，所以 a3a516，又 a3a510，等比数列an单调递增，所以 a32，a58，所以公比q2，a1，所以 Sn2n1.故选 B.42018延庆模拟等差数列an的公差为 2，若 a2，a4，a8成等比数列，则an的前 n 项和 Sn( )Bn(n1)An(n1) D.C. 答案 A解析 a2，a4，a8 成等比数列，11 / 14aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，将 d2 代入上式，解得 a12，Sn2nn(n1)故选 A.52015全国卷已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则 a3a5a7( )A21 B42 C63 D84
12、答案 B解析 设等比数列an的公比为 q，则 a1(1q2q4)21，又a13，所以 q4q260，所以 q22(q23 舍去)，所以a36，a512，a724，所以 a3a5a742.故选 B.6已知an为等比数列，Sn 是它的前 n 项和若 a3a5a1，且 a4 与 a7 的等差中项为，则 S5 等于( )A35 B33 C31 D29答案 C解析 设等比数列an的公比是 q，所以 a3a5aq6a1，得a1q6，即 a7.又 a4a72，解得 a42，所以 q3，所以q，a116，故 S531.故选 C.72018昆明模拟设 Sn 是等比数列an的前 n 项和，若3，则( )A2 B.
13、 C. D1 或 2答案 B解析 设 S2k，S43k，由数列an为等比数列，得S2，S4S2，S6S4 为等比数列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，.故选 B.8已知数列 1，a1，a2,9 是等差数列，数列 1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为_答案 3 10解析 因为 1，a1，a2,9 是等差数列，所以 a1a21910.又12 / 141，b1，b2，b3,9 是等比数列，所以 b199，易知 b20，所以b23，所以.9商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最高销售限价 b(ba)以及实数 x(0a，所以 ba0
14、，所以 x21x，即 x2x10，解得 x或x(舍去)10等比数列an满足：对任意 nN*,2(an2an)3an1，an1an，则公比 q_.答案 2解析 由题知 2(anq2an)3anq，即 2q23q20，解得q2 或 q，又 an1an，故 q2.B 级 知能提升1已知等比数列an的前 n 项和为 Snx3n1，则 x 的值为( )A. B C. D1 2答案 C解析 解法一：Snx3n13n，由上述结论，得，x.解法二：当 n1 时，a1S1x；当 n2 时，anSnSn12x3n2.an是等比数列，n1 时也应适合 an2x3n2，即13 / 142x31x，解得 x.故选 C.
15、2记等比数列an的前 n 项积为 Tn(nN*)，已知am1am12am0，且 T2m1128，则 m 的值为( )A4 B7 C10 D12答案 A解析 因为an是等比数列，所以 am1am1a.又am1am12am0，则 a2am0.所以 am2. 由等比数列的性质可知前 2m1 项积 T2m1a，即 22m1128，故 m4.选 A.32016全国卷设等比数列an满足a1a310，a2a45，则 a1a2an 的最大值为_答案 64解析 设an的公比为 q，由 a1a310，a2a45，得a18，q，所以 ann4(nN*)，即数列为递减数列当 n4时，an1；当 n5 时，0an1，所
16、以当 n3 或 4 时，a1a2an最大，又 a24，a32，a41，所以 a1a2ana1a2a3a464.42017北京高考已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解 (1)设等差数列an的公差为 d.因为 a2a410，所以 2a14d10，解得 d2，所以 an2n1.(2)设等比数列bn的公比为 q，因为 b2b4a5，所以 b1qb1q39，解得 q23，所以 b2n1b1q2n23n1.从而 b1b3b5b2n113323n1.5已知在数列an中，a12，a24，且an13an2an1(n2)(1)证明：数列an1an为等比数列，并求数列an的通项14 / 14公式；(2)令 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由 an13an2an1(n2)，得an1an2(anan1)，因此数列an1an是公比为 2，首项为 a2a12 的等比数列所以当 n2 时，anan122n22n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n12n22)22n，当 n1 时，也符合，故 an2n.(2)由(1)知 bn，所以 Tn，Tn，1 2，得Tn2n1 2n11 222n1 2n122n1 2n112n1 2n1，所以 Tn3.