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1、1热点探究课热点探究课( (三三) ) 数列中的高考热点问题数列中的高考热点问题命题解读 数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1 题(全国卷 T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等热点 1 等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n， “知三求二” (2016天津高考)已知an是等
2、比数列，前n项和为Sn(nN N*)，且1 a11 a2，S663.2 a3(1)求an的通项公式；(2)若对任意的nN N*，bn是 log2an和 log2an1的等差中项，求数列(1)nb的前2n2n项和解 (1)设数列an的公比为q.由已知，有，1 a11 a1q2 a1q2解得q2 或q1. 2 分又由S6a163，知q1，1q6 1q所以a163，得a11.126 12所以an2n1. 5 分(2)由题意，得bn (log2anlog2an1)1 2 (log22n1log22n)n ，1 21 2即bn是首项为 ，公差为 1 的等差数列. 8 分1 2设数列(1)nb的前n项和为
3、Tn，则2nT2n(bb)(bb)(bb)2 12 22 32 422n12 2nb1b2b3b4b2n1b2n2n2. 10 分2nb1b2n 22规律方法 1.若an是等差数列，则ban(b0，且b1)是等比数列；若an是正项等比数列，则logban(b0，且b1)是等差数列2对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化对点训练 1 已知数列an的前n项和为Sn，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a10，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？lg1 an【导学号：66482265】
4、解 (1)取n1，得a2S12a1，a1(a12)0.2 1若a10，则Sn0.当n2 时，anSnSn1000，所以an0(n1). 2 分若a10，则a1.2 当n2 时，2anSn,2an1Sn1，2 2 两式相减得 2an2an1an，所以an2an1(n2)，从而数列an是等比数列，所以ana12n12n1.2 2n 综上，当a10 时，an0；当a10 时，an. 5 分2n (2)当a10，且100 时，令bnlg，1 an由(1)知，bnlg2nlg 2. 7 分100 2n所以数列bn是递减的等差数列，公差为lg 2.b1b2b6lglglg 10，100 26100 64当
5、n7 时，bnb7lglglg 10.100 27100 128故数列的前 6 项和最大. 12 分lg 1 an热点 2 数列的通项与求和(答题模板)“基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法，同时应注意方程思想的应用3(本小题满分 12 分)(2016全国卷)已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足b11，b2 ，anbn1bn1nbn.1 3(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和思路点拨 (1)取n1，先求出a1，再求an的通项公式(2)将an代入anbn1bn1nbn，得出数列bn为等比数列，再求bn的前n项和规范解答 (1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2 ，得a
6、12. 3 分1 3所以数列an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为an3n1. 5 分(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，7 分bn 3因此bn是首项为 1，公比为 的等比数列. 9 分1 3记bn的前n项和为Sn，则Sn . 12 分1(13)n1133 21 2 3n1答题模板 第一步：求出an的首项a1；第二步：求出an的通项公式；第三步：判定bn为等比数列；第四步：求出bn的前n项和；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点注意解题规范温馨提示 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” 首项与公差是等差数列的“基本量” ，首项与公比是等比数列的“基本量
7、” 在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方法对点训练 2 数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN N*.(1)证明：数列是等差数列；an n(2)设bn3n，求数列bn的前n项和Sn.an解 (1)证明：由已知可得1，2 分an1 n1an n即1.an1 n1an n所以是以1 为首项，1 为公差的等差数列. 5 分an na1 14(2)由(1)得1(n1)1n，所以ann2. 7 分an n从而bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1n3n1.313n 1312n3n13 2所
8、以Sn. 12 分2n13n13 4热点 3 数列与函数、不等式的交汇数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明角度 1 数列与函数的交汇(2016湖北七市 4 月联考)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n22n.(1)求数列an的通项公式；(2)若点(bn，an)在函数ylog2 x的图像上，求数列bn
9、的前n项和Tn.【导学号：66482266】解 (1)当n2 时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，当n1 时，a1S1441，所以数列an的通项公式为an4n. 5 分(2)由点(bn，an)在函数ylog2 x的图像上得anlog2bn，且an4n，所以bn2an24n16n，8 分故数列bn是以 16 为首项，公比为 16 的等比数列Tn. 12 分16116n 11616n116 15规律方法 解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用
10、它们之间的对应关系进行灵活的处理角度 2 数列与不等式的交汇(2017贵阳适应性考试(二)已知数列an满足52an1an2an(nN N*)，且a3a720，a2a514.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn .1 an1an11 2解 (1)由 2an1an2an得an为等差数列. 2 分设等差数列an的公差为d，由a3a720，a2a514，解得d2，a12，数列an的通项公式为an2n. 5 分(2)证明：bn1 an1an11 2n12n1，8 分1 2(1 2n11 2n1)Sn1 2(11 31 31 51 51 2n11 2n1)，1 2(11 2n1)当nN N*，Sn . 12 分1 2(11 2n1)1 2规律方法 解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了