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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第七章不等式精选高考数学大一轮复习第七章不等式 7-37-3 二二元一次不等式元一次不等式( (组组) )与简单的线性规划问题教师用书与简单的线性规划问题教师用书1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入 Ax
2、ByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C 的符号即可判断 AxByC0 表示的直线是 AxByC0 哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【知识拓展】1画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线
3、定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成2 / 17实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证2利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于 AxByC0 或 AxByC0 时，区域为直线 AxByC0 的上方；(2)当 B(AxByC)0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方( )(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线 AxByC0 同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，x，y 满足约束条件若 z2xy 的
4、最小值为 1，则8 / 17a_.答案 (1)B (2)1 2解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示易知 A(2,0)，由得 B(1,1)由 zaxy，得 yaxz.当 a2 或 a3 时，zaxy 在 O(0,0)处取得最大值，最大值为 zmax0，不满足题意，排除 C，D 选项；当 a2 或 3 时，zaxy 在 A(2,0)处取得最大值，2a4，a2，排除 A，故选 B.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线 z2xy 过交点 A 时，z 取最小值，由得Error!zmin22a1，解得 a.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函
5、数的最值(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件(1)(2016临沂检测)若 x，y 满足约束条件则 zxy 的9 / 17最小值是( )A3 B0 C. D3(2)当实数 x，y 满足时，1axy4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案 (1)A (2)1，解析 (1) 作出不等式组表示的可行域(如图所示的ABC 的边界
6、及内部)平移直线 zxy，易知当直线 zxy 经过点 C(0,3)时，目标函数zxy 取得最小值，即 zmin3.(2)画可行域如图所示，设目标函数 zaxy，即 yaxz，要使1z4 恒成立，则 a0，数形结合知，满足即可，解得 1a.所以 a 的取值范围是1，题型三 线性规划的实际应用问题例 6 (2016全国乙卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品B
7、的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元答案 216 000解析 设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数 z2 100x900y.作出可行域为图中的四边形，10 / 17包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准
8、确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈(2016杭州质检)某校今年计划招聘女教师 a 名，男教师b 名，若 a，b 满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名，则 x 等于( )A10 B12 C13 D16答案 C解析 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：ba0，平移直线 l，再由 a，bN，可知当 a6，b7 时，xmax
9、ab13.7 7含参数的线性规划问题含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系 xOy 中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数 k 的取值范围是_(2)已知 x，y 满足约束条件若 zaxy 的最大值为 4，则a_.错解展示解析 (1) 如图，直线 yk(x1)1 过点(1，1)，11 / 17作出直线 y2x，当 k2 时，不等式组表示一个三角形区域(2)由不等式组表示的可行域，可知 zaxy 在点 A(1,1)处取到最大值 4，a14，a3.答案 (1)(，1)(0,2)(2，) (2)3现场纠错解析 (1)直线 yk(x1)1 过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与 y
10、 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域(2) 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由得 A(1,1)zaxy 等价于 yaxz，因为 z 的最大值为 4，即直线 yaxz 的纵截距最大为 4.若 zaxy 在 A(1,1)处取得最大值，则纵截距必小于 2，故只有直线 yaxz 过点(2,0)且a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a2；当 a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则 a 的取值范围是_答案 (1 2，)解析 画出 x、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 zaxy 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz
11、 的斜率应小于直线 x2y30 的斜率，即a.11(2017宜春中学、新余一中联考)设 x，y 满足约束条件则的取值范围是_答案 3,11解析 设 z12，设 z，则 z的几何意义为动点 P(x，y)到定点 D(1，1)的斜率画出可行域如图阴影部分所示，则易得 zkDA，kDB，即z1,5，z12z3,1116 / 17*12.(2016嘉兴期末)设不等式组表示的平面区域为 M，点 P(x，y)是平面区域内的动点，则 z2xy 的最大值是_，若直线l：yk(x2)上存在区域 M 内的点，则 k 的取值范围是_答案 2 ，1解析 不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶
12、点的三角形，当 z2xy 经过点(2,2)时取得最大值 2.又 k经过点(1,1)时取得最小值，经过点(1,3)时取得最大值 1，所以 k 的取值范围是，113. 已知 D 是以点 A(4,1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域 D 的不等式组；(2)设点 B(1，6)，C(3,2)在直线 4x3ya0 的异侧，求 a的取值范围解 (1)直线 AB，AC，BC 的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为Error!(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即
13、(14a)(18a)0，解得18a14.故 a 的取值范围是(18,14)14某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆若每天运送人数不少于 900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？17 / 17解 设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆，相应营运成本为 z 元，则z1 600x2 400y.由题意，得 x，y 满足约束条件作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)由图可知，当直线 z1 600x2 400y 经过可行域的点 P 时，直线z1 600x2 400y 在 y 轴上的截距最小，即 z 取得最小值故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小