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1、1配餐作业配餐作业( (四十四四十四) )空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系(时间：40 分钟)一、选择题1下列说法正确的是( )A若a，b，则a与b是异面直线B若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C若a，b不同在平面内，则a与b异面D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析 由异面直线的定义可知。故选 D。答案 D2(2016山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内。则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb。又a，b，所以P
2、，P，故，相交。反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行。故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件。故选A。答案 A3设A、B、C、D是空间中四个不同的点，下列命题中，不正确的是( )A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC解析 若ABAC，DBDC，AD不一定等于BC，C 不正确。故选 C。答案 C4若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c( )A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交或异面都有可能2解析 当a，b，c共面时，ac；
3、当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交。故选 D。答案 D5空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形解析 顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形。故选 B。答案 B6四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为 2 的正方形，则CD与5PA所成角的余弦值为( )A. B.2 5555C. D.4 53 5解析 因为四边形ABCD为正方形，故CDAB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为P
4、AB或其补角。在PAB内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知 cosPAB5PA2AB2PB2 2 PAAB，故选 B。5452 5 255答案 B二、填空题7给出下列命题，其中正确的命题有_。如果线段AB在平面内，那么直线AB在平面内；两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面；两组对边相等的四边形是平行四边形。解析 显然正确。若两平面有三个不共线的公共点，则这两平面重合，故不正确；三条直线两两相交于同一点时，三条直线不一定共面，故不正确；两组对边相等的四边形可能
5、是空间四边形，不正确。答案 38如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为_。解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行。故互为异面的直线有且只有 3 对。答案 39设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab。正确的命题是_(写出全部正
6、确结论的序号)。解析 由公理 4 知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内” ，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确。答案 三、解答题10.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点。1 21 2(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析 (1)证明：由题设知，FGG
7、A，FHHD，4所以GH綊AD。又BC綊AD，1 21 2故GH綊BC。所以四边形BCHG是平行四边形。(2)C，D，F，E四点共面。理由如下：由BE綊FA，G是FA的中点知，BE綊GF，1 2则四边形BGFE是平行四边形，所以EF綊BG。由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面。又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面。答案 (1)见解析 (2)共面，理由见解析11.如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点。(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值。解析 (1)证明：假设AE与PB共面，设此平面
8、为。A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，显然这与P平面ABE矛盾，AE与PB是异面直线。(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角。BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，3225cosAEF ，AE2EF2AF2 2AEEF2232 2 21 4即异面直线AE和PB所成角的余弦值为 。1 4答案 (1)见解析 (2)1 4(时间：20 分钟)1设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，22则a的取值范围是( )A(0，) B(0，)23C(1，) D(1，)23解析 此
9、题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于 0且小于。故选 A。2答案 A2过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析 如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为。联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，2因为BB1AA1，BCAD，所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等。同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别
10、作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作 4 条。故选 D。答案 D3(2016浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90。沿直线AC将ACD翻折成ACD，直5线AC与BD所成角的余弦的最大值是_。6解析 作BEAC，BEAC，连接DE，则DBE为所求的角或其补角，作DNAC于点N，设M为AC的中点，连接BM，则BMAC，作NFBM交BE于F，连接DF，设DNF，DN，BMFN，DF25cos，ACDN5 630615 230225 3，ACFN，DFAC，DFBE，又BFMN，在 RtDFB中，63DB295cos，cosDBE，当且
11、仅当0时取“” 。BF DB6395cos66答案 664.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为 60。(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值。解析 (1)在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO即为PB与平面ABCD所成的角，即PBO60，在 RtABO中，AB2，OAB30，BO1。PO平面ABCD，OB平面ABCD，POOB。在 RtPOB中，POBOtan60，3易知底面菱形的面积S2222，343四棱锥PABCD的体积VPABCD 22。1 333(2)取AB的中点F，连接EF，DF，7E为PB中点，EFPA。DEF即为异面直线DE与PA所成的角(或其补角)。在 RtAOB中，AOOP，3PA，EF。662易知DFDE，3cosDEFDE2EF2DF2 2DEEF， 32(62)2 322 3 6224即异面直线DE与PA所成角的余弦值为。24答案 (1)四棱锥PABCD的体积VPABCD2(2)异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为24