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1、- 1 - / 7【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第五章数列精选高考数学一轮复习第五章数列 5-25-2 等差数列及其等差数列及其前前 n n 项和课时提升作业理项和课时提升作业理(25(25 分钟分钟 5050 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3535 分分) )1.已知为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=15,则公差 d 等于 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 A.由题意可得,S3=15,解得 a2=5,故公差 d=a3-a2=6-5=1.2.(2016雅安模拟)若等差数列an的前 n 项和为
2、Sn 且 S4=S18,则 S22 等于 ( )A.0 B.12 C.-1D.-12【解析】选 A.设等差数列的公差为 d,由 S4=S18 得4a1+d=18a1+d,a1=-d,所以 S22=22a1+d=22+22d=0.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选 A.设 Sn=An2+Bn,由题意知,16A+4B=324A+18B,解得 B=-22A,所以S22=22(22A+B)=0.【加固训练】在等差数列an中,a9=a12+6,则数列an的前 11 项和 S11= ( )A.24 B.48 C.66 D.132【解析】选 D.因 a9=a12+6 及等差数列通项公式得,2(a1+8d
3、)=a1+11d+12,整理得 a1+5d=12=a6,所以 S11=1112=132.- 2 - / 73.(2016厦门模拟)已知数列an中,a3=,a7=,且是等差数列,则a5= ( )A.B.C.D.【解析】选 B.设等差数列的公差为 d,则=+4d,所以=+4d,解得 d=2.所以=+2d=10,解得 a5=.4.(2016石家庄模拟)数列an的首项为 3,bn为等差数列且 bn=an+1-an(nN*).若 b3=-2,b10=12,则 a8= ( )A.0 B.3 C.8 D.11【解析】选 B.因为bn是等差数列,且 b3=-2,b10=12,故公差 d=2.于是 b1=-6,
4、且 bn=2n-8(nN*),即 an+1-an=2n-8.所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.5.数列an中相邻两项 an 与 an+1 是方程 x2+3nx+bn=0 的两根,已知 a10=-17,则 b51 等于 ( )A.5 760 B.5 840 C.5 920 D.6 000【解析】选 B.由根与系数的关系可知 an+an+1=-3n,anan+1=bn,由 an+an+1=-3n,有 an+1+an+2=-3(n+1),故 an+2-an=-3,故a2n为等差数列,公差为 d=-3,又 a10=-17,故
5、a2=-5,所以 a2k=-5-3(k-1),故 a52=-5-3(26-1)=-80,a51=-351-a52=80-153=-73,故 b51=a51a52=-73(-80)=5840.- 3 - / 76.(2016益阳模拟)设数列an是等差数列,且 a4=-4,a9=4,Sn 是数列an的前 n 项和,则 ( )A.S50,a6+a90,即 a70;而 a6+a9=a7+a80,若a1+a2+a2015=2015am(mN*),则 m= .【解析】因为数列an是等差数列,所以 a1+a2+a2015=2015a1+d=2015(a1+1007d),am=a1+(m-1)d,根据题意得,
6、2015(a1+1007d)=2015a1+(m-1)d,解得 m=1008.答案:1008(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)在等差数列中,已知 a3+a8=6,则 3a5+a7= ( )A.6 B.12 C.18D.24【解析】选 B.由等差数列性质知 3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6)=2(a3+a8)=12.2.(5 分)(2016大同模拟)设等差数列的前 n 项和为 Sn,等差数列的前 n 项和为 Tn,若=,则+= .【解析】+=+=- 5 - / 7=.答案:3.(5 分)(2016长沙模拟)已知函数 f(x)=cosx(
7、x(0,2)有两个不同的零点 x1,x2(x10 和 m0,则由余弦函数的图象知 x3,x4 构成等差数列,可得公差 d=-=,则 x3=-=-0,显然不可能;若 m0,则由余弦函数的图象知,x3,x4, 构成等差数列,可得 3d=-,解得 d=,所以 x3=+=,m=cosx3=cos=-.答案:-4.(12 分)(2016惠州模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=,an=-2SnSn-1(n2 且 nN*).(1)求证:数列是等差数列.(2)求 Sn 和 an.- 6 - / 7【解析】(1)当 n2 时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以 Sn(1+2Sn-1
8、)=Sn-1.由上式知若 Sn-10,则 Sn0.因为 S1=a10,由递推关系知 Sn0(nN*),由式得-=2(n2).所以是等差数列,其中首项为=2,公差为 2.(2)由(1)可得因为=+2(n-1)=2+2(n-1)=2n,所以 Sn=.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=-,当 n=1 时,a1=S1=不适合上式,所以 an=5.(13 分)(2014全国卷)已知数列an的前 n 项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中 为常数.(1)证明:an+2-an=.(2)是否存在 ,使得an为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设 anan+1=Sn-1,得 an+1
9、an+2=Sn+1-1.两式相减得 an+1(an+2-an)=an+1.由于 an+10,所以 an+2-an=.(2)由题设 a1=1,a1a2=S1-1,可得 a2=-1.- 7 - / 7由(1)知,a3=+1.令 2a2=a1+a3,解得 =4.故 an+2-an=4,由此可得:a2n-1是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1.所以 an=2n-1,an+1-an=2.因此存在 =4,使得数列an为等差数列.【加固训练】(2016安庆模拟)已知数列an的通项公式 an=pn2+qn(p,qR,且 p,q 为常数).(1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列an是等差数列?(2)求证:对任意实数 p 和 q,数列an+1-an是等差数列.【解析】(1)an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使an是等差数列,则 2pn+p+q 应是一个与 n 无关的常数,所以只有 2p=0,即 p=0.故当 p=0,qR 时,数列an是等差数列.(2)因为 an+1-an=2pn+p+q,所以 an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p 为一个常数.所以an+1-an是等差数列.