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1、作业（一）函数，极限和连续 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1.函数)2ln(1)(xxf的定义域是 答案：),3()3,2 提示：对于)2ln(1x，要求分母不能为 0，即0)2ln(x，也就是3x；对于)2ln(x，要求02 x，即2x；所以函数)2ln(1)(xxf的定义域是),3()3,2 2函数xxf51)(的定义域是 答案：)5,(提示：对于x51，要求分母不能为0，即05 x，也就是5x；对 于x5，要 求05 x，即5x；所 以 函 数xxf51)(的定义域是)5,(3.函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是 答案：2,1()1,2(提示：对于)2ln(1x，要求
2、分母不能为0，即0)2ln(x，也 就 是1x；对 于)2ln(x，要 求02 x，即2x；对于24x，要求042 x，即2x且2x；所以函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是2,1()1,2(4.函数72)1(2xxxf，则)(xf 答案：62x 提示：因为6)1(72)1(22xxxxf，所以6)(2 xxf 5函数0e02)(2xxxxfx，则)0(f 答案：2 提示：因为当0 x是在0 x区间，应选择22x进行计算，即220)0(2f 6 函数xxxf2)1(2，则)(xf 答案：12x提 示：因 为1)1(2)1(22xxxxf，所 以1)(2 xxf 7 函数1322xxxy的
3、间断点是 答案：1x 提示：若)(xf在0 x有下列三种情况之一，则)(xf在0 x间断：在0 x无定义；在0 x极限不存在；在0 x处有定义，且)(lim0 xfxx 存在，但)()(lim00 xfxfxx。题中在10 x处无定义 8.xxx1sinlim 答 案：1 ；提 示：111s i nlim1sinlim01xxxxxx 9若2sin4sinlim0kxxx，则k 答案：2 提示：因为24)4sin44sin(limsin4sinlim00kkxxkxkxxxkxxxx，所以2k 10若23sinlim0kxxx，则k 答案：1.5；提示：因为23333sinlim3sinlim
4、00kxkxxxkxxxx，所以5.1k 二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1设函数2eexxy，则该函数是（）答案：B A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 提示：奇函数是指)()(xfxf，关于坐标原点对称；偶函 数 是 指)()(xfxf，关 于x轴 对 称。题 中2ee)()(xxxf)(2xfeexx，所 以 函 数2eexxy是偶函数。2设函数xxysin2，则该函数是（）答案：A A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 提示：因为)(sin)sin()sin()()(222xfxxxxxxxf，所以xxysin2是奇函数。3函数222)(xx
5、xxf的图形是关于（）对称答案：D Axy Bx轴 Cy轴 D坐标原点 提示：因为)(222222)()(xfxxxfxxxx，是奇函数，所以222)(xxxxf的图形是关于坐标原点对称 4下列函数中为奇函数是（无）Axxsin Bxln C)1ln(2xx D2xx 提 示：A.xxxxxxxfsin)sin()sin()(,即xxsin是偶函数；B.xln的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；C)1ln(2xx的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；D 22)()(xxxxxf，既非奇函数，也非偶函数。所以本题没有一个待选答案是奇函数 5函数)5ln(41xxy的定义域为（）
6、答案：D A 5x B 4x C 5x且0 x D5x且4x 提示：对于41x，要求分母不能为 0，即4x；对 于)5ln(x，要求05 x，即5x。)5ln(41xxy 的定义域为5x且4x 6函数)1ln(1)(xxf的定义域是（）答案：D A),1(B),1()1,0(C),2()2,0(D),2()2,1(提示：对于)1ln(1x，要求分母不能为0，即2x；对于)1ln(x，要求01x，即1x。所以函数)1ln(1)(xxf的定义域是),2()2,1(7设1)1(2xxf，则)(xf（）答案：C A)1(xx B2x C)2(xx D)1)(2(xx 提示：注意x比)1(x少1，所以)
7、2(1)12(1)1()(22xxxxxxf 8下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案：D A2)()(xxf，xxg)(B2)(xxf，xxg)(C2ln)(xxf，xxgln2)(D3ln)(xxfxxgln3)(提示：两个函数相等，必须是对应的规则相同，定义域相同。上述答案中，A 定义域不同；B 对应的规则不同；C 定义域不同；D 对应的规则相同，定义域相同 9当0 x时，下列变量中为无穷小量的是（）答案：C.Ax1 Bxxsin C)1ln(x D2xx 提示：以0 为极限的变量称为无穷小量。上述答案中，当0 x时，A 趋向；B 的极限为1；C 的极限为0；D 趋向。10当k（）时，
8、函数0,0,1)(2xkxxxf，在0 x处连续.答案：B A0 B1 C2 D1 提示：当)()(lim00 xfxfxx时，称函数)(xf在0 x连续。因1)1(lim)(lim200 xxfxxkf)0(，所以当k1 时，函数0,0,1)(2xkxxxf，在0 x处连续 11当k（）时，函数0,0,2)(xkxexfx在0 x处连续 答案：D A0 B1 C2 D3 提示：当)()(lim00 xfxfxx时，称函数)(xf在0 x连续。因为3)2(lim)(lim00 xxxexfkf)0(，所以当k3 时，函数0,0,2)(xkxexfx，在0 x处连续 12函数233)(2xxxx
9、f的间断点是（）答案：A A2,1xx B3x C3,2,1xxx D无间断点 提示：若)(xf在0 x有下列三种情况之一，则)(xf在0 x间断：在0 x无定义；在0 x极限不存在；在0 x处有定义，且)(lim0 xfxx存 在，但)()(lim00 xfxfxx。题 中，分 母)2)(1(232xxxx，所以在10 x和20 x处无定义 三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）计算极限423lim222xxxx 解 4121lim)2)(2()2)(1(lim423lim22222xxxxxxxxxxxx 2计算极限165lim221xxxx 解 2716lim)1)(1()1)(6(
10、lim165lim11221xxxxxxxxxxxx 3.329lim223xxxx 解 324613lim)3)(1()3)(3(lim329lim33223xxxxxxxxxxxx 4计算极限4586lim224xxxxx 解 3212lim)1)(4()2)(4(lim4586lim44224xxxxxxxxxxxxx 5计算极限6586lim222xxxxx 解 234lim)2)(3()2)(4(lim6586lim22222xxxxxxxxxxxxx 6.计 算 极 限xxx11lim0 解 )11()11)(11(lim11lim00 xxxxxxxx21111lim)11(li
11、m00 xxxxxx 7 计 算 极 限xxx4s i n11lim0 解 xxxxxxxxxxxx4sin)11(lim4sin)11()11)(11(lim4sin11lim000 811214144sin1)11(1)41(lim4sin)11(44lim00 xxxxxxxx 8计算极限244sinlim0 xxx 解 )24)(24()24(4sinlim244sinlim00 xxxxxxxx 16414)24(44sin4lim)24(4sinlim00 xxxxxxxx 作业（二）导数、微分及应用 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1 曲线1)(xxf在)2,1(点的斜
12、率是 答案：21 提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。题中xxxf21)1()(，将1x代入上式，得21)(xf 2曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是 答案：1 xy 提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。若给定曲线上的一点),(00yx，则通过该点的切线方程为kxxyy00。题中xxeexf)()(，将0 x代入上式，得1)(0exfk，所以通过点(0,1)切线方程为11xy，即1 xy 3曲线21 xy在点)1,1(处的切线方程是 答案：32 xy 提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。若给
13、定曲线上的一点),(00yx，则通过该点的切线方程为kxxyy00。题中232121)()(xxxf，将1x代入上式，得21)(xfk，所以通过点(0,1)切线方程为2111xy，即32 xy 4)2(x 答案：xx22ln2 提示：根据复合函数求导法则计算。xxxxxxx22ln2212ln2)(2ln2)2(5若 y=x(x 1)(x 2)(x 3)，则y(0)=答案：6 提示：根据有限多个函数的乘积的求导法则（见 P45），)3()2)(1()3)(2()1()3)(2)(1(xxxxxxxxxxxxy+)3)(2)(1(xxxx )2)(1()3)(1()3)(2()3)(2)(1(x
14、xxxxxxxxxxxy 6)3)(2)(1()0(y 6 已知xxxf3)(3，则)3(f=答案：)3ln1(27 提示：3ln33)3()()(23xxxxxf )3ln1(273ln333)3(32 f 7 已知xxfln)(，则)(xf =答案：21x 提示：xxxf1)(ln)(，21)1()(xxxf 8若xxxf e)(，则)0(f 答案：2 9 函数yx312()的单调增加区间是 答案：),1(10函数1)(2 axxf在区间),0(内单调增加，则 a 应满足 答案：0a 提示；当0)(xf时，函数)(xf单调增加。题中，02)1()(2axaxxf，所以函数1)(2 axxf
15、在区间),0(内单调增加，a 应满足0a。二、单项选择题（每小题 2 分，共 24 分）1函数2)1(xy在区间)2,2(是（）答案：D A单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 提示：当0)(xf时，函数)(xf单调增加当0)(xf时，函数)(xf单调减少。题中，)1(2xy，令0 y，得驻点1x。当12x时，0 y，函数单调减少；当21x时，0 y，函数单调增加。所以函数2)1(xy在区间)2,2(是先减后增。2满足方程0)(xf的点一定是函数)(xfy 的（）答案：C.A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点 提示：使0)(xf的点，成为函数)(xf的驻点（P69 定理 3.2）3若
16、xxfxcose)(，则)0(f=（）答案：C A.2 B.1 C.-1 D.2 提示：xexexexexfxxxxsincos)(coscos)()(，101110sin0cos)0(00eef 4设yx lg2，则dy（）答案：B A12dxx B1dxxln10 Cln10 xxd D1dxx 提示：10ln1210ln21)2(10ln21xxxxy 5设)(xfy 是可微函数，则)2(cosdxf（）答案：D Axxfd)2(cos2 Bxxxfd22sin)2(cos Cxxxfd2sin)2(cos2 Dxxxfd22sin)2(cos 提示：)2)(2sin)(2(cos)2)
17、(cos2(cos)2(cosxxxfxxfxf2)2)(si n2(c o sxxf xdxinxfdxxxfxdf2)2)(2(cos2)2)(sin2(cos)2(cos6曲线1e2xy在2x处切线的斜率是（）答案：C A4e B2e C42e D2 提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。)()(2xexfxxexe222)2(，将2x代入上式得42222)2(eef 7 若xxxfc o s)(，则)(xf（）答 案：C Axxxsincos Bxxxsincos Cxxxcossin2 Dxxxcossin2 提示：xxxxxxxxxxfsincos)(
18、co scos)cos()(cossinsin)(sin)sin(sin)sin()(cos)(xxxxxxxxxxxxf xxxcossin2 8若3sin)(axxf，其中a是常数，则)(xf（）答案C A23cosax Bax6sin Cxsin D xcos 提 示：xaxxfc o s)()(s i n)(3，xxxfsin)(cos)(9 下列结论中（）不正确 答案：C A)(xf在0 xx 处连续，则一定在0 x处可微.B)(xf在0 xx 处不连续，则一定在0 x处不可导.C可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D若)(xf在a，b内恒有0)(xf，则在a，b内函数是单调下降的.
19、提示：极大值可能出现在：驻点（驻点是0)(xf的点）；)(xf连续但导数不存在的点。10若函数 f(x)在点 x0处可导，则()是错误的 答案：B A函数 f(x)在点 x0处有定义 BAxfxx)(lim0，但)(0 xfA C函数 f(x)在点 x0处连续 D函数 f(x)在点 x0处可微 提示：若函数)(xf在点0 x可导，则它在点0 x一定连续（P83定理 2.5）。Axfxx)(lim0，但)(0 xfA 即)(xf在点0 x不连续。11下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（）答案：B Asinx Be x Cx 2 D3 x 提示：A 是周期函数；B 是单调增函数；C 是偶函数，
20、先减后增；D 是单调减函数 12.下列结论正确的有（）答案：A Ax0是 f(x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0)=0 Bx0是 f(x)的极值点，则 x0必是 f(x)的驻点 C 若f(x0)=0，则x0必 是f(x)的 极 值 点 D使)(xf 不存在的点 x0，一定是 f(x)的极值点 提示：A 正确；B 不正确，因为驻点不一定是极值点；C 不正确，f(x0)=0 就是驻点，驻点不一定是极值点；D 不正确，因为极大值可能出现在：驻点和)(xf连续但导数不存在的点。三、解答题（每小题 7 分，共 56 分）1设xxy12e，求y 解 )1(2)1(2)()()(21211211
21、21212xexxexexxeexexexyxxxxxxxxxxexexe111)12(2 2设xxy3cos4sin，求y.解 xxxxxxxxxysincos24cos4)(coscos2)4(4cos)(cos)4(sin2233设xyx1e1，求y.解 21211112e1)1(e)1()e(xxxxxyxxx 4设xxxycosln，求y.解 xxxxxxycossi n23)cos(l n)(5 设)(xyy 是由方程422xyyx确定的隐函数，求yd.解 对方程两边求导，得 0)(22yxyyyx，xyyxy2)2(，xyxyy22 ，dxxyxydy22 6 设)(xyy 是由
22、方程1222xyyx确定的隐函数，求yd.解 对方程两边求导，得 0)(222yxyyyx，)22()22(xyyxy，1 y，dxdy 7设)(xyy 是由方程4ee2xxyx确定的隐函数，求yd.解 对方程两边求导，得 02)(xyxeeeyyx，)2(xeyxexy，yxxexey2，dxxexedyyx2 8设1e)cos(yyx，求yd 解 对方程两边求导，得 0)1)(sin(yeyyxy ，)sin()sin(yxyyxey)sin()sin(yxeyxyy ，dxyxeyxdyy)sin()sin(作业（三）不定积分，极值应用问题 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1若
23、)(xf的一个原函数为2ln x，则)(xf 。答案：x2 （c为任意常数）提示：参见教材 P90，根据定义 4.1，若)()(xfxF，则称)(xF为)(xf的原函数，根 据 题 意，对2ln x求 导 的 结 果 就 是)(xf，即xxxxxxxf221)(1)(l n)(2222 2 若)(xf的一个原函数为xx2e，则)(xf 。答案：xe221 提示：参见教材 P90，根据定义 4.1，若)()(xfxF，则称)(xF为)(xf的原函数，根据题意，对xx2e求导的结果就是)(xf，即xxeexxf2221)()(，所以xexf24)(3 若cxxxfxed)(，则)(xf 答案：xx
24、xee 提示：xxxxeecxexf)()(验算：)(dxexeedxxedxedxxeexxxxxxxcxecexeexxxx 4若cxxxf2sind)(，则)(xf 答案：xcos2 提示：xcxxf2cos2)2(sin)(验算：cxxxdxdx2sin)2(2cos2cos2 5若cxxxxflnd)(，则)(xf 答案：x1 提 示：1ln1ln)ln()(xxxxcxxxf xxxf1)1(ln)(6若cxxxf2cosd)(，则)(xf 答案：xcon24 提 示：xcxxf2s i n2)2(c o s)(xxxf2cos4)2sin2()(7xxded2 答案：dxex2
25、提示：xxde2是2xe的原函数，对原函数xxde2求导就等于被积函数2xe，所以对原函数xxde2求微分就等于被积函数2xe的微分dxex2 8xx d)(sin 答案：cx sin 提示：cxxdxxxsincosd)(sin 9 若cxFxxf)(d)(，则xxfd)32(答案：cxF)32(21 提 示：cxFcuFduufxdxfxxf)32(21)(21)(21)32()32(21d)32(10 若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2 答案：cxF)1(212 提示：duufxdxfxxxf21)(21)1()1(21d)1(222cxF)1(212 二、单项选择题（每小题
26、 2 分，共 16 分）1下列等式成立的是（）答案：A A)(d)(ddxfxxfx B)(d)(xfxxf C)(d)(dxfxxf D)()(dxfxf 提示：对原函数xxfd)(求导等于被积函数本身 2 3若cxxxfx22ed)(，则)(xf（）.答案：A A.)1(e22xxx B.xx22e2 C.xx2e2 D.xx2e 提示：xxxxexxexxecexxf222222)1(222)()(4若)0()(xxxxf，则xxfd)(（）.答案：A A.cxx B.cxx2 C.cxx23223 D.cxx2323221 提示：21211)()(xxxxf cxxcxxdxxxxf2
27、12121121)211(d)(即对被积函数先求导再积分等于被积函数本身（加不定常数）。5以下计算正确的是（）答案：A A 3ln3dd3xxx B)1(d1d22xxx Cxxxdd D)1d(dlnxxx 提示：dxdxxxx33ln3ln33ln3d 6 xxf xd)(（）答案：A A.cxfxf x)()(B.cxf x)(C.cxfx)(212 D.cxfx)()1(提示：利用分部积分法，dxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()(设xu，)(xfv,则1u，)(xfv cxfxf xdxxfxf xxxf x)()()()(d)(上式中利用了“对被积函数先求导再积分等
28、于被积函数本身（加不定常数）”。7xaxdd2=（）答案：C Axa2 Bxaaxdln22 Cxaxd2 Dcxaxd2 提示：所以对原函数xxda2求微分就等于被积函数xa2的微分dxax2 8如果等式Cxxfxx11ede)(，则)(xf（）答案 B A.x1 B.21x C.x1 D.21x 提示：xxxxexfexxee112211)(11)(，比较上式左右两边，可知21)(xxf 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分）1xxxxxdsin33 解 cxxxdxxxxxxxxxcos32ln3)sin3(dsin32332xxd)12(10 解 cxcxxdxxx11111010
29、)12(221)12(11121)12()12(21d)12(3xxxd1sin2 解 cxxdxdxxx1cos)1(1sin1sin2 4xxxd2sin 解 利用分步积分法：vdxuuvdxvu 设xu，xv2sin，则1u，xxdxv2cos212sin )2(2cos412cos212cos212cos21d2sinxxdxxxdxxxxxx cxxx2sin412cos21 5xxexd 解 利用分步积分法：vdxuuvdxvu 设xu，xev，则1u，xxedxev )(dxdexedxexexxexxxxxcexexx 四、极值应用题（每小题 12 分，共 24 分）1 设矩形
30、的周长为 120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解 设矩形的一边边长为 x 厘米，则另一边边长为（60-x）厘米，边长为 x 厘米的边绕轴旋转得一圆柱体，其底面积为 (60-x)2，旋转体的体积为 xxV2)60()32403600()()120()3600()60(2322xxxxxxxV 60-x 0 x x y 令0V，即0360024032xx 01200802xx 24800640080212001480802x 240802160080 20,6021xx 其中601x是极小值点，此时体积为 0；202x是极大值点，也是最
31、大值点，对应的圆柱体最大体积值为 )(32001600204020)2060(2022立方厘米V2 欲用围墙围成面积为 216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解 设土地一边长为x，另一边长为x216，共用材料为y 于是 y=3xxxx43232162 24323xy 令0 y得 唯 一 驻 点12x（12x舍 去）10 分 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为 18 时，所用材料最省.五、证明题（本题 5 分）1函数xexxf)(在（)0,是单调增加的 证 只 需 证 明 当0
32、 x时，有0)(xexxf 因 为xxeexxf1)()(当0 x时，1xe，即 有0)(xf 所以，当0 x时，xexxf)(是单调增加的。作业（四）定积分及应用、微分方程 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1._d)2cos(sin112xxxx答案：32 提示：上式被积函数第一项和是奇函数，在对称积分限下的积分结果为 0，第二项数是偶函数，在对称积分限可化为1022dxx，所以 3232d2d)2cos(sin103102112xxxxxxx 2._d)cos4(225xxxx答案：2 提示：被积函数的第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下的积分结果为 0，第三项为是偶函数，在
33、对称积分限下可化为20cos2dx，所以2sin2cos2d)cos4(2020225xxdxxxxx 3已知曲线)(xfy 在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是 。答案：32 xy 提示：切线在点（4，5）处的斜率为24 k，根据切线方程kxxyy00，得该切线方程为 245xy，即32 xy 4若dxxx)235(113 答案：2 提示：上式被积函数第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下的积分结果为 0，第三项为是偶函数，在对称积分限下可化为1012dx，所以2212)235(1010113xdxdxxx 5由定积分的几何意义知，xxaad022=。答案：42
34、a，它是 1/4 半径为 a 的圆的面积。提示：设uaxsin，则uduadxcos。当0,0ux；当2,uax。所以 uduuauduauaxxaacoscoscossin1d2022020224)42sin2(22cos1220202202auuaduua，它是1/4半径为 a 的圆的面积（参见 P125（3）6e12d)1ln(ddxxx .答案：0 提示：因为定积分的结果是一个数值（即常数），常数的导数数为 0。7xxde02=答案：21 提示：21)1(2121)d(2e21de020202eexxxxx 8微分方程1)0(,yyy的特解为 .答案：1 提示：将微分方程yy 分离变量
35、得 dxdyy1 两边积分得 xy ln，即xey，所以微分方程1)0(,yyy的特解为 1)0(0 ey 9微分方程03yy的通解为 .答案：xe3 提示：将微分方程分离变量得 dxdyy31 两边积分得 xy3ln，即xey3，所以微分方程的通特解为xey3 10微分方程xyxyysin4)(7)4(3 的阶数为 答案：2 提示：微分方程的阶数是微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶次。二、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1 在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）答案：A A y=x2+3 B y=x2+4 C22 xy D12 xy 提 示：曲 线 方
36、 程 由cxx d xy22确 定，将4,1yx代入cxy2得3c，所以通过点（1,4）的曲线为32 xy。2若10d)2(xkx=2，则 k=（）答案：A A1 B-1 C0 D21 提示：21d)2(10210kkxxxkx，所以1k 3下列定积分中积分值为0 的是（）答案：A A xxxd2ee11 B xxxd2ee11 Cxxxd)cos(3 Dxxxd)sin(2 提示：因为积分式xxxd2ee11中的被积函数2eexx是奇函数，奇函数在对称积分限下的定积分为 0。4设)(xf是连续的奇函数，则定积分aaxxf-d)(（）答案：D A0-d)(2axxf B0-d)(axxf Ca
37、xxf0d)(D 0 提示：奇函数在对称积分限下的定积分为 0。5xxdsin22-（）答案：D A0 B C2 D2 提示：xsin是偶函数，所以2)10(2cos2dsin22020 xxx 6下列无穷积分收敛的是（）答案：B A0dexx B0dexx C1d1xx D1d1xx 提示：1de00eexxx发散，111de00eexxx收敛 1lnlnd101xxx 发 散 22d101xxx发散 7下列无穷积分收敛的是（）答案：B A 0dinxxs B 02dexx C1d1xx D1d1xx 提示：1coscosdin00 xxxs发散 212112121de20202eexxx收
38、敛 1lnlnd101xxx 发散 22d101xxx发散 8下列微分方程中，（）是线性微分方程答案：D Ayyyx ln2 Bxxyyye2 Cyyxye Dxyyxyxlnesin 提示：所谓：“线性”，是指在方程中含有未知数 y 和它的导数y的项都是关于yy,的一次项。9微分方程0 y的通解为（）答案：C ACxy BCxy CCy D0y 提示：由题意可知，y 的导数为 0，所以 y 必定为常数 C 10下列微分方程中为可分离变量方程的是（）答案：B A.yxxydd；B.yxyxydd；C.xxyxysindd；D.)(ddxyxxy 提示；形如)()(ygxfdxdy的方程称为可分
39、离变量方程，yxyxydd可化为yxxy)1(dd 三、计算题（每小题 7 分，共 56 分）1xxxd)e1(e22ln0 解 2ln03x22ln022ln0)1(31)ed(1)e1(d)e1(exxxxex 3192)21(31)11()1(3133332lne 2xxxdln51e1 解 )d(lnln51dln5lndln5d1dln51e1e11e1e1e1xxxxxxxxxxxxxxe 27251)1(ln)(ln251)(ln2512212exe 3xxexd10 解 利用分部积分法 vdxuuvdxvu 设xu，xev，则1u，xev 1)1(d10101010eeeedx
40、exexxexxxx 40d2sinxxx 解 利用分部积分法 vdxuuvdxvu 设xu，2sinxv，则1u，2cos2xv，42sin4)2(2cos402cos22cos2d2sin00000 xxdxdxxxxxxx 520dsinxxx 解 利用分部积分法 vdxuuvdxvu 设xu，xvsin，则1u，xvcos 1sin0coscosdsin20202020 xdxxxxxxx 6求微分方程12xxyy满足初始条件47)1(y的特解 解 与 一 阶 线 性 微 分 方 程 标 准 式 比 较，可 知1)(,1)(2xxqxxp xdxxdxxpln1)(xxeexdxxp11ln)(，xeexdxxpln)(cxxcxxx24)24(1324 将47,1yx代入上式，得1c，所以原微分方程满足初始条件47)1(y的特解为 1243xxy 7求微分方程xxxyy2sin2的通解。解 与一阶线性微分方程标准式比较，可知xxxqxxp2sin2)(,1)(xdxxdxxpln1)(xeexdxxpln)(，xeexdxxp1ln)(cxxxcxx2cos)2cos(四、证明题（本题 4 分）证明等式aaaxxfxfxxf0)()()(dd。证 设