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1、- 1 - / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形精选高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形 3-73-7应用举例课时提升作业理应用举例课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2016成都模拟)如图所示,为了利用余弦定理得到隧道口 AB 的宽度,给定下列四组数据,计算时最应当用数据 ( )A.,a,bB.a,C.a,b,D.,b【解析】选 C.因为 AB 的长度无法测量,所以可以测量三角形的边 AC,BC 的长度b,a 及角 C.2.(2016
2、深圳模拟)一架直升飞机在 200m 高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是 30和 60,则塔高为 ( )A.mB.mC.mD.m【解析】选 A.如图所示.在 RtACD 中可得 CD=BE,在ABE 中,由正弦定理得=AB=,所以 DE=BC=200-=(m).3.(2016洛阳模拟)在ABC 中,AC=,BC=2,B=60,则 BC 边上的高等- 2 - / 11于 ( )A.B.C.D.【解析】选 B.在ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,化简得 AB2-2AB-3=0,解得 AB=3,所以 BC 边上的高等于 ABsinB=.【加固训练】(201
3、6太原模拟)已知ABC 的三条边长分别为AB=21,AC=10,BC=17,则它的面积为 .【解析】因为 AB=21,AC=10,BC=17,所以由余弦定理得cosC=-,所以 sinC=,所以ABC 的面积 S=1017=84.答案:84【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:由公式S=得 S=84.方法二:cosA=,过点 C 作 AB 边上的高 CD,则 AD=6,BD=15,CD=8,所以ABC 的面积 S=68+158=84.答案:84- 3 - / 114.(2016郑州模拟)在四边形 ABCD 中,B=C=120,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于 ( )A.7B
4、.6C.5D.【解析】选 C.如图,取 AB 中点 G,连接 DG,则 DGBC,AGD=120.分别过 B,C 作 DG 的垂线,可求得 BE=CF=,DG=4,所以四边形面积 S=SAGD+S 四边形 GBCD=AGDGsin120+(DG+BC)BE=5.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选 C.连接 BD,在DBC 中,BC=CD=2,BCD=120,所以 BD=2,ABBD,所以四边形 ABCD 的面积为SABD+SCBD=42+22=5.5.(2016长沙模拟)地面上有两座塔 AB,CD,相距 120 米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的 2 倍,在两塔底连线的中
5、点 O 处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为 ( )A.50 米,100 米B.40 米,90 米C.40 米,50 米D.30 米,40 米【解析】选 B.设高塔高 H,矮塔高 h,在矮塔下望高塔仰角为 ,在 O 点望高塔仰角为 .分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以在高塔下望矮塔仰角为,即 tan=,tan=,- 4 - / 11根据倍角公式有=,在塔底连线的中点 O 测得两塔顶的仰角互为余角,所以在 O 点望矮塔仰角为-,即 tan=,tan=,根据诱导公式有=,联立得 H=90,h=40.即两座塔的高度为 40 米,90 米.二、填空题二、填空题( (每小题每
6、小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得M 点的仰角MAN=60,C 点的仰角CAB=45以及MAC=75;从 C 点测得MCA=60.已知山高 BC=100m,则山高 MN= m.【解析】在 RtABC 中,CAB=45,BC=100m,所以 AC=100m.在AMC 中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45,由正弦定理,得=,因此 AM=100m.在 RtMNA 中,AM=100m,MAN=60,由=sin 60,得 MN=100=150(m).答案:1507.两灯塔 A,B 与海洋观
7、察站 C 的距离都等于 2km,灯塔 A 在 C 北偏东 45处,灯塔 B 在 C 南偏东 15处,则 A,B 之间的距离为 .【解析】根据图形,- 5 - / 11在ABC 中,ACB=120,AC=BC=2km,由余弦定理,得 AB=2(km).答案:2km8.(2016广州模拟)海上有 A,B 两个小岛相距 10n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75的视角,那么 B 岛和 C 岛间的距离是n mile.【解析】如图,在ABC 中,AB=10,A=60,B=75,C=45,由正弦定理,得=,所以 BC=5(n mile).答案:5
8、【加固训练】已知:如图所示的一块三角形绿地 ABC 中,AB 边长为 20m,由点 C看 AB 的张角为 30,在 AC 边上 D 处看 AB 的张角为 60,且 AD=2DC.则这块绿地的面积为 m2(精确到 1m2,取1.732).【解析】由已知DBC=30,所以 BD=DC=AD.又 cos60=,所以 ADcos60=BD,故ABD=90,A=30,所以 AB=BC=20,ABC=120,所以 SABC=(20)2sin120=400()2=300520(m2).- 6 - / 11答案:520三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.(
9、2016合肥模拟)某登山队在山脚测得山顶的仰角是 35,沿着倾斜角 20的斜坡前进 1000m 后,又测得山顶的仰角是 65,求山高.【解析】如图,A 是山脚的一点,B 为山顶,S 是倾斜角 20的斜坡上的一点,且AS=1000m.在 RtBSD 中,因为BSD=65,则SBD=25.在 RtABC 中,因为BAC=35,则ABC=55,所以ABS=ABC-SBD=55-25=30.在ASB 中,因为BAS=35-20=15,ABS=30,所以ASB=135.由正弦定理得=,所以 AB=1000(m),在ABC 中,BC=ABsin35=1000sin3510001.4140.5736811(
10、m).答:山高约为 811m.10.(2016石家庄模拟)如图,某公司要在 A,B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD,其中 D 为顶端,AC 长 35 米,CB 长 80 米,设 A,B 在同一水平面上,从 A 和 B看 D 的仰角分别为 和 .- 7 - / 11(1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 2,问 CD 的长至多为多少(结果精确到0.01 米)?(2)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 =38.12,=18.45,求CD 的长(结果精确到 0.01 米).【解题提示】(1)在 RtADC,RtBDC 中,根据边角关系可得 tan,tan,根据2,可得 tant
11、an2,解此三角形不等式可得结论.(2)在ADB 中,根据正弦定理可把 DB 的长度求出,在BCD 中,根据余弦定理可把 DC 的长度求出.【解析】(1)设 CD 的长为 x 米,则 tan=,tan=.因为20,所以 tantan2,所以 tan,所以=,解得:00,解得 x2;当 4x0,解得 x2;综上当三角形为锐角三角形时 x 的取值范围是 2x2.4.(12 分)(2016福州模拟)如图,在等腰直角OPQ 中,POQ=90,OP=2,点 M在线段 PQ 上.(1)若 OM=,求 PM 的长.(2)若点 N 在线段 MQ 上,且MON=30,问:当POM 取何值时,OMN 的面积最小?
12、并求出面积的最小值.- 10 - / 11【解析】(1)在OMP 中,OPM=45,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OPMPcos45,得 MP2-4MP+3=0,解得 MP=1 或 MP=3.(2)设POM=,060,在OMP 中,由正弦定理,得=,所以 OM=,同理 ON=,故 SOMN=OMONsinMON=,因为 060,302+30150,所以当 =30时,sin(2+30)的最大值为 1,此时OMN 的面积取到最小值.即POM=30时,OMN 的面积的最小值为 8-4.5.(13 分)(2016武汉模拟)如图,在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设
13、有- 11 - / 11一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船在岛北偏东 30,俯角为 30的 B 处,到11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60,俯角为 60的 C 处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远?【解析】(1)在 RtPAB 中,APB=60,PA=1,所以 AB=.在 RtPAC 中,APC=30,所以 AC=.在ACB 中,CAB=30+60=90,所以 BC=,则船的航行速度为=2(千米/时).(2)在ACD 中,DAC=90-60=30,sinDCA=sin(180-ACB)=sinACB=,sinCDA=sin(ACB-30)=sinACBcos30-cosACBsin30=-=.由正弦定理得=.所以 AD=.故此时船距岛 A 有千米.