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1、第一课时 正、余弦定理在实际中的应用 1.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为(B)(A)a km (B）a km(C）a km （D）2a km 解析:由题意得ACB=120,AB2=a2+a22a2cos 120=3a2,所以 AB=a.故选 B.2.设在南沙群岛相距 10 n mile 的 A，B 两小岛上的两个观测站，同时发现一外国船只 C 非法进入我领海。若在 A 望 C 和 B 成 60的视角，在 B 望 C 和 A 成 75的视
2、角,则船只 C 距离最近观测站（C）(A)5 n mile （B)5 n mile（C）5 n mile(D）5 n mile 解析:结合题意作图如图，由 BA 得 BCAC，故船只 C 距离观测站 B 近.因为在ABC 中,因为=,所以 BC=5（n mile）.故选 C。3.一海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行,30 分钟后到达 B处。在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65,那么 B，C 两点间的距离是（A)(A)10 海里 （B)10 海里(C）20 海里 （D)20 海里 解析
3、：根据已知条件可知ABC 中,AB=20,BAC=30，ABC=105,所以C=45,由正弦定理，有=，所以 BC=10。故选 A。4.一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15，与灯塔 S 相距 20 海里,随后货轮按北偏西 30的方向航行 30 分钟到达 N 处后,又测得灯塔在货轮的北偏东 45,则货轮的速度为(B）(A）20（+)海里/时（B）20(-）海里/时（C）20(+)海里/时(D）20（)海里/时 解析:由题意得SNM=105,NSM=30，所以=,MN=,货轮速度 v=20()。故选 B.5。如图,设 A，B 两点在河的两岸，测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一
4、点 C,测出 AC 的距离为 50 m，ACB=45，CAB=105后，就可以计算出 A，B 两点间的距离为（A)(A)50 m （B）50 m（C）25 m (D)m 解析：由正弦定理得=,又CBA=180-45-105=30,故 AB=50（m）。故选 A。6.如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 的距离，某同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C,然后给出三种测量方案(ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a，b,c）:测量 A，C，b;测量 a,b,C；测量 A,B，a.则一定能确定 A,B 间距离的所有方案的序号为(A)(A)（B）(C）(D）解 析:对 于 ，在 ABC 中
5、,B=(A+C),所 以 sin B=sin(A+C）.由 正 弦 定 理 得=，所以 c=。对于,由余弦定理可得 c2=a2+b2 2abcos C，所以 c=。对于,在ABC 中，C=-(A+B)，所以 sin C=sin（A+B）,由正弦定理得=，所以 c=。故能确定 A，B 间距离的所有方案的序号为.故选 A.7。如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30相距 10 海里 C 处的乙船,乙船立即朝北偏东+30角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sin 的值为(A)(A)(B)(C）(
6、D)解析:连接 BC.在ABC 中，AC=10 海里,AB=20 海里,CAB=120。根据余弦定理得BC2=AC2+AB22ACABcosCAB=100+400+200=700，所以 BC=10海里。根据正弦定理得=,即=，所以 sinACB=，即 sin=.故选 A.8。如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30,塔底 C与 A 的连线同河岸成 15角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60角，则电视塔 CD 的高度为(A)（A）600 m（B)600 m（C）200 m(D）200 m 解析：在A
7、CM 中,MCA=60-15=45,AMC=18060=120，由正弦定理得=，即=，解得 AC=600,在ACD 中，因为 tanDAC=,所以 CD=ACtanDAC=600=600。故选 A.9.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30，此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于（C）（A）240（-1）m（B)180(-1)m（C)120(1)m(D）30（+1)m 解析:因为 AB=，=,所以 BC=120(-1).故选 C。10。如图，为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点。从 A 点测得 M 点的仰角MAN=60
8、，C 点的仰角CAB=45以及MAC=7 5 ;从C点 测 得 M C A=6 0 .已 知 山 高B C=1 0 0 m，则 山 高M N=m.解析：在 RtABC 中,CAB=45，BC=100,所以 AC=100.在AMC 中，MAC=75,MCA=60，从而AMC=45，由正弦定理得,=，因此 AM=100.在 RtMNA 中,AM=100，MAN=60,由=sin 60得 MN=100=150。答案：150 11.如图所示,B,C,D 三点在地面的同一直线上,DC=a，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为和（),则 A 点距地面的高度 AB 为 .解析:AB=ACsin,=，解得
9、 AB=.答案:12。如图，某观测站 C 在城 A 的南偏西 20的方向，从城 A 出发有一条走向为南偏东 40的公路,在 C 处观测到距离 C 处 31 km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去，行驶了20 km 后到达 D 处，测得 C,D 两处的距离为 21 km,这时此车距离 A 城 km.解析：在BCD 中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,由余弦定理得 cosBDC=，所以 sinBDC=，在ACD 中，由条件知 CD=21 km，CAD=60,所以 sinACD=sin（BDC-60)=+=.由正弦定理得=，所以 AD=15(km）,故这时此车
10、距离A 城 15 km。答案:15 13.如图所示，已知树顶 A 离地面米,树上另一点 B 离地面米，某人在离地面 米的 C 处看此树,则该人离此树 米时,看 A，B 的视角最大。解析:过 C 作 CFAB 于点 F(图略),设ACB=，BCF=.由已知得 AB=5（米)，BF=-=4（米），AF=-=9（米）。则 tan（+)=,tan=,所以 tan=tan（+)=.当且仅当 FC=，即 FC=6时,tan 取得最大值,此时取得最大值。答案：6 14.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120的方向航行,已知河水速度为 2 km/h,则经过 h，该船实际航程为 。解析:如图所示
11、,水流速和船速的合速度为 v,在OAB 中，OB2=OA2+AB2-2OAABcos 60，所以 OB=v=2（km/h）。即船的实际速度为2 km/h，则经过小时，其路程为 2=6(km）。答案:6 km 15.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC 走到 C 用了3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为 米.解析：连接 OC（图略)，在OCD 中,OD=100，CD=150,CDO=60。由余弦定理得OC2=100
12、2+1502-2100150cos 60=17 500,解得 OC=50(米）。答案：50 16。一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10：00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处,且与它相距 8海里.此船的航速是 海里/小时.解析：在ABS 中,易知BAS=30，ASB=45,且边 BS=8,利用正弦定理可得=,即=得 AB=16，又因为从 A 到 S 匀速航行时间为半个小时，所以速度应为=32(海里/小时）。答案:32 17.我舰在岛 A 南偏西 50方向相距 12 n mile 的 B 处发现敌舰正从
13、岛 A 沿北偏西 10的方向以 10 n mile/h 的速度航行,若我舰要用 2 小时追上敌舰，则速度为 。解析：设我舰速度为 v n mile/h,在 C 处追上敌舰，由题意易知在ABC 中,AC=102=20，AB=12，BAC=120,所以 BC2=AB2+AC22ABACcos 120=784,所以 BC=28,所以 v=14（n mile/h）.答案：14 n mile/h 18。某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡角为 15的观礼台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部 B 的仰角分别为 60和 30,第一排和最后一排的距离为 10 米(如图所示）,旗
14、杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为 50秒,升旗手应以约多大的速度匀速升旗?解：由题意易知BCD 中，BDC=30+15=45,CBD=60-30=30，CD=10 米,由正弦定理，得 BC=20（米)。在 RtABC 中，AB=BCsin 60=20=30（米），所以升旗速度约为=0。6（米/秒)，即升旗手应以约0。6 米/秒的速度匀速升旗。19.如图所示,为了了解某海域海底的构造,在海平面内一条直线上的 A，B,C 三点进行测量。已知 AB=50 m,BC=120 m，于 A 处测得水深 AD=80 m，于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110
15、 m，求DEF 的余弦值。解:如图所示,作 DMAC 交 BE 于 N,交 CF 于 M，作 FHAC 交 BE 于 H.由题中所给数据得 DF=10，DE=130，EF=150。在DEF 中,由余弦定理,得 cosDEF=。所以DEF 的余弦值为。20。一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由 A 点开始做匀速直线运动,到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动，如图所示,已知 AB=4 dm，AD=17 dm,BAD=45,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?解:设机器人最快可在点 C 处截住足球，点 C 在线段 AD
16、 上,连接 BC，如图所示,设 BC=x dm,由题意知 CD=2x dm，AC=AD-CD=（172x)dm.在ABC 中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC22ABACcos A，即 x2=(4）2+(17-2x)28(172x)cos 45,解得 x1=5，x2=。所以 AC=172x=7(dm）或 AC=-(dm）(舍去).所以该机器人最快可在线段 AD 上离 A 点 7 dm 的点 C 处截住足球。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受
17、到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.