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1、-导数压轴题题型 1.高考命题回忆 例 1 函数 f(*)e*ln(*m)2013 全国新课标卷(1)设*0 是 f(*)的极值点,求 m,并讨论 f(*)的单调性;(2)当 m2 时,证明 f(*)0.(1)解 f(*)e*ln(*m)f(*)e*1*mf(0)e010m0m1,定义域为*|*1,f(*)e*1*me*11*1,显然f(*)在(1,0上单调递减,在0,)上单调递增(2)证明 g(*)e*ln(*2),则g(*)e*1*2(*2)h(*)g(*)e*1*2(*2)h(*)e*1*220,所以h(*)是增函数,h(*)0 至多只有一个实数根,又g(12)1e1320,所以h(*)
2、g(*)0 的唯一实根在区间12,0,设g(*)0 的根为t,则有g(t)et1t2012t0,所以,et1t2t2et,当*(2,t)时,g(*)g(t)0,g(*)单调递增;所以g(*)ming(t)etln(t2)1t2t1t2t20,当m2 时,有 ln(*m)ln(*2),所以f(*)e*ln(*m)e*ln(*2)g(*)g(*)min0.例 2 函数)(xf满足2121)0()1()(xxfefxfx2012 全国新课标(1)求)(xf的解析式及单调区间;(2)假设baxxxf221)(,求ba)1(的最大值。11211()(1)(0)()(1)(0)2xxf xfefxxfxf
3、efx-令1x 得:(0)1f 得:21()()()12xxf xexxg xfxex ()10()xg xeyg x 在xR上单调递增 得:()f x的解析式为21()2xf xexx 且单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,0)221()()(1)02xf xxaxbh xeaxb得()(1)xh xea 当10a 时,()0()h xyh x在xR上单调递增 x 时,()h x 与()0h x 矛盾 当10a 时,()0ln(1),()0ln(1)h xxah xxa 得:当ln(1)xa时,min()(1)(1)ln(1)0h xaaab 令22()ln(0)F xxxx x;则(
4、)(12ln)F xxx 当xe时,max()2eF x 当1,aebe时,(1)ab的最大值为2e 例 3 函数ln()1axbf xxx,曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。2011 全国新课标 求a、b的值;如果当0 x,且1x 时,ln()1xkf xxx,求k的取值围。解221(ln)()(1)xxbxfxxx 由于直线230 xy的斜率为12,且过点(1,1),故(1)1,1(1),2ff 即1,1,22bab 解得1a,1b。由知ln1f()1xxxx,所以 22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxf xxxxxx。考虑函数()2lnh xx
5、2(1)(1)kxx(0)x,则22(1)(1)2()kxxh xx。-(i)设0k,由222(1)(1)()k xxh xx知,当1x 时,()0h x,h(*)递减。而(1)0h故当(0,1)x时,()0h x,可得21()01h xx;当*1,+时,h*0 从而当*0,且*1 时,f*-1lnxx+xk0,即 f*1lnxx+xk.ii设 0k0,故h(*0,而 h1=0,故当*1,k11时,h*0,可得211xh*0,而 h1=0,故当*1,+时,h*0,可得211x h*0时1)(xkxf恒成立,求正整数k的最大值.例 14创新题型设函数 f(*)=e*+sin*,g(*)=a*,F
6、(*)=f(*)g(*).()假设*=0 是 F(*)的极值点,求 a 的值;()当 a=1 时,设 P(*1,f(*1),Q(*2,g(*2)(*10,*20),且 PQ/*轴,求 P、Q 两点间的最短距离;()假设*0 时,函数 y=F(*)的图象恒在 y=F(*)的图象上方,数 a 的取值围 例 15(图像分析,综合应用)函数)1,0(12)(2babaxaxxg,在区间3,2上有最大值 4,最小值 1,设()()g xf xx 求ba,的值;不等式02)2(xxkf在 1,1x上恒成立,数k的围;方程0)3|12|2(|)12(|xxkf有三个不同的实数解,数k的围 导数与数列 例16
7、创新型问题设函数2()()()xf xxaxb e,abR、,xa是()f x的一个极大值点-假设0a,求b的取值围;当a是给定的实常数,设123xxx,是()f x的3个极值点,问是否存在实数b,可找 到4xR,使 得1234xxxx,的*种 排 列1234,iiiixxxx 其 中1234iiii,=12 3 4,依次成等差数列假设存在,求所有的b及相应的4x;假设不存在,说明理由 导数与曲线新题型 例 17形数转换函数()lnf xx,21()2g xaxbx(0)a.(1)假设2a ,函数()()()h xf xg x 在其定义域是增函数,求b的取值围;(2)在(1)的结论下,设函数2
8、xx(x)=e+be,x 0,ln2,求函数(x)的最小值;(3)设函数)(xf的图象 C1与函数)(xg的图象 C2交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R作x轴的垂线分别交 C1、C2于点M、N,问是否存在点 R,使 C1在M处的切线与C2在N处的切线平行假设存在,求出 R 的横坐标;假设不存在,请说明理由.例 18全综合应用函数()1 ln(02)2xf xxx.(1)是否存在点(,)M a b,使得函数()yf x的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数()yf x的图像上假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由;(2)定义2111221()()()()nniinSffff
9、nnnn,其中*nN,求2013S;(3)在(2)的条件下,令12nnSa,假设不等式2()1namna对*n N且2n 恒成立,数m的取值围.导数与三角函数综合 例 19换元替代,消除三角设函数2()()f xx xa xR,其中aR 当1a 时,求曲线()yf x在点(2(2)f,处的切线方程;当0a 时,求函数()f x的极大值和极小值;当3a,10k ,时,假设不等式22(cos)(cos)f kxf kx对任意的xR恒成立,求k的值。创新问题积累 例 20 函数2()ln44xxf xx.I、求()f x的极值.II、求证()f x的图象是中心对称图形.III、设()f x的定义域为
10、D,是否存在,a bD.当,xa b时,()f x的取值围是,4 4a b假设存在,数a、b的值;假设不存在,说明理由-导数压轴题题型归纳参考答案 例 1 解:(1)1a时,xxxg3)(,由013)(2xxg,解得33x.)(xg的变化情况如下表:x 0)33,0(33)1,33(1)(xg -0+)(xg 0 极小值 0 所以当33x时,)(xg有最小值932)33(g.(2)证明:曲线)(xfy 在点)2,(211axxP处的切线斜率112)(xxfk 曲线)(xfy 在点 P 处的切线方程为)(2)2(1121xxxaxy.令0y,得12122xaxx,12111211222xxaxx
11、axxx ax 1,02121xxa,即12xx.又1122xax,axaxxaxxaxx11111212222222 所以axx21.例21()ln1(0)af xxaxxx,222l11()(0)aaxxaf xaxxxx 令2()1(0)h xaxxa x 当0a 时,()1(0)h xxx ,当(0,1),()0,()0 xh xfx,函数()f x单调递减;当(1,),()0,()0 xh xfx,函数()f x单调递增.当0a 时,由()0fx,即210axxa,解得1211,1xxa.当12a 时12xx,()0h x 恒成立,此时()0fx,函数()f x单调递减;当102a时
12、,1110a ,(0,1)x时()0,()0h xfx,函数()f x单调递减;1(1,1)xa时,()0,()0h xfx,函数()f x单调递增;1(1,)xa时,()0,()0h xfx,函数()f x单调递减.-当0a 时110a,当(0,1),()0,()0 xh xfx,函数()f x单调递减;当(1,),()0,()0 xh xfx,函数()f x单调递增.综上所述:当0a 时,函数()f x在(0,1)单调递减,(1,)单调递增;当12a 时12xx,()0h x 恒成立,此时()0fx,函数()f x在(0,)单调递减;当102a时,函数()f x在(0,1)递减,1(1,1
13、)a递增,1(1,)a递减.当14a 时,()f x在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意1(0,2)x,有11()(1)2f xf,又存在21,2x,使12()()f xg x,所以21()2g x,21,2x,又22()()4,1,2g xxbbx 当1b 时,min()(1)520g xgb与矛盾;当1,2b时,2min()(1)40g xgb也与矛盾;当2b 时,min117()(2)84,28g xgbb.综上,实数b的取值围是17,)8.例 3 解:2323fxaxbx 根据题意,得 12,10,ff 即32,3230,abab 解得10ab 所以 33f xx
14、x 令 0fx,即2330 x 得1x x 2 2,1 1 1,1 1 1,2 2 fx +f x 2 增 极大值 减 极小值 增 2 因为 12f,12f,所以当2,2x 时,max2f x,min2f x 则对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x,都有 12maxmin4f xf xf xf x,所以4c所以c的最小值为 4 因为点2,2Mmm 不在曲线 yf x上,所以可设切点为00,x y 则30003yxx因为 20033fxx,所以切线的斜率为2033x -则2033x=300032xxmx,即32002660 xxm 因为过点2,2Mmm 可作曲线 yf x的三条切线,所
15、以方程32002660 xxm有三个不同的实数解 所以函数 32266g xxxm 有三个不同的零点 则 2612g xxx令 0g x,则0 x 或2x x,0 0 0,2 2 2,g x+g x 增 极大值 减 极小值 增 则 0022gg,即6020mm,解得62m 例4解:23)13)(1(33323)(xxxxxxf,令1310)(xxxf或得舍去)(,0)(,310 xfxfx时当单调递增;当)(,0)(,131xfxfx时递减.1,0)(613ln)31(在为函数xff上的极大值.由03)(ln|ln|xxfxa得xxaxxa323lnln323lnln或 设332ln323ln
16、ln)(2xxxxxh,xxxxxg323ln323lnln)(,依题意知31,61)()(xxgaxha在或上恒成立,0)32(2)32(33)32(3332)(2xxxxxxxxg,03262)62(31323)(22xxxxxxxh,31,61)()(都在与xhxg上单增,要使不等式成立,当且仅当.51ln31ln),61()31(aagaha或即或 由.0223)32ln(2)(2bxxxbxxf-令xxxxxbxxxx329723323)(,223)32ln()(22则,当37,0)(,0)(,37,0在于是时xxx上递增;1,37)(,0)(,1,37在于是时xxx上递减,而)1(
17、)37(),0()37(,1,00)(2)(在即xbxxf恰有两个不同实根等价于 例5解:222)1(1)2()1(1)(xxxaxxaxxf a29,令0)(xf得2x或210 x,函数)(xf的单调增区间为),2(),21,0(.证明:当0a时xxfln)(xxf1)(,210021)(xxxxf,又121212121212lnlnln)()(xxxxxxxxxxxfxfk 不妨设12xx,要比拟k与)(0 xf 的大小,即比拟1212lnxxxx与212xx 的大小,又12xx,即比拟12lnxx与1)1(2)(212122112xxxxxxxx的大小 令)1(1)1(2ln)(xxxx
18、xh,则0)1()1()1(41)(222xxxxxxh,)(xh在,1上位增函数 又112xx,0)1()(12 hxxh,1)1(2ln121212xxxxxx,即)(0 xfk 1)()(1212xxxgxg,0)()(121122xxxxgxxg 由题意得xxgxF)()(在区间2,0上是减函数 1 当xxaxxFx1ln)(,21,1)1(1)(2xaxxF 由313)1()1(0)(222xxxxxxaxF在 2,1x恒成立-设)(xm3132xxx,2,1x,则0312)(2xxxm)(xm在 2,1上为增函数,227)2(ma.2 当xxaxxFx1ln)(,10,1)1(1)
19、(2xaxxF 由11)1()1(0)(222xxxxxxaxF在)1,0(x恒成立 设)(xt112xxx,)1,0(x为增函数,0)1(ta 综上:a的取值围为227a.例6解:1xaxxxf)ln(2)(,2)ln(2)(xxaxxxf,即xax1ln2在0 x上恒成立 设xaxxu1ln2)(,2,012)(xxxu,2x时,单调减,2x单调增,所以2x时,)(xu有最大值.212ln2,0)2(au,所以20ea.2当1a时,xxxxfxgln)()(,exxxg1,0ln1)(,所以在),1(e上)(xg是增函数,)1,0(e上是减函数.因为11211xxxe,所以11121212
20、1ln)()ln()()(xxxgxxxxxxg 即)ln(ln211211xxxxxx,同理)ln(ln212212xxxxxx.所以)ln()2()ln()(lnln2112212112122121xxxxxxxxxxxxxxxx 又因为,421221xxxx当且仅当21xx 时,取等号.又1),1,1(,2121xxexx,0)ln(21xx,所以)ln(4)ln()2(21211221xxxxxxxx,所以)ln(4lnln2121xxxx,所以:42121)(xxxx.例 7I,23)(,00)0(2baxxxfcf320)1(abf 由33210)(axxxf或,因为当1x时取得极
21、大值,-所以31332aa,所以)3,(:的取值范围是a;II由下表:x)1,(1)332,1(a 332 a),332(a)(xf +0-0-)(xf 递增 极大值2a 递减 极小值 2)32(276aa 递增 依题意得:9)32()32(27622aaa,解得:9a 所以函数)(xf的解析式是:xxxxf159)(23 III对任意的实数,都有,2sin22,2sin22 在区间-2,2有:230368)2(,7)1(,7430368)2(fff 函数2,2)(在区间xf上的最大值与最小值的差等于 81,所以81|)sin2()sin2(|ff 例 8 解:xaxxaxf11)(,当0a时
22、,()0fx在),0(上恒成立,函数)(xf 在),0(单调递减,)(xf在),0(上没有极值点;当0a时,()0fx得10 xa,()0fx得1xa,)(xf在(10,)a上递减,在(1),a上递增,即)(xf在ax1处有极小值 当0a时)(xf在),0(上没有极值点,当0a时,)(xf在),0(上有一个极值点 函数)(xf在1x处取得极值,1a,bxxxbxxfln112)(,令xxxxgln11)(,可得)(xg在2,0 e上递减,在,2e上递增,22min11)()(eegxg,即211be 证明:)1ln()1ln()1ln()1ln(yexeyxeyxyx,令)1ln()(xexg
23、x,则只要证明)(xg在),1(e上单调递增,又)1(ln11)1ln()(2xxxexgx,-显然函数11)1ln()(xxxh在),1(e上单调递增 011)(exh,即0)(xg,)(xg在),1(e上单调递增,即)1ln()1ln(yexeyx,当1eyx时,有)1ln()1ln(yxeyx 例9 解:I1(),(1)1;Qfxfxl直线的斜率为1,且与函数()f x的图像的切点坐标为1,0,l直线的方程为1.yx 又l直线与函数()yg x的图象相切,211722yxyxmx方程组有一解。由上述方程消去y,并整理得22(1)90 xmx 依题意,方程有两个相等的实数根,22(1)4
24、90m 解之,得m=4或m=-2,0,2.Qmm II由I可知217()2,22g xxx()2,()ln(1)2(1)g xxh xxxx,1()1.11xh xxx 当x(-1,0)时,h(x)0,h(x)单调,当(0,)x时,()0,()h xh x单减。当x=0时,()h x取最大值,其最大值为2。III()(2)ln()ln2lnln(1).22abbaf abfaabaaa 证明,当(1,0)x 时,ln(1),ln(1).22babaxxaa 例 10 解:1函数()f x的定义域是(0,)由21 ln()xfxx令()0fx,得xe 因为当0 xe时,()0fx;当xe时,()
25、0fx 所以函数()f x在(0,e上单调递增,在,)e 上单调递减 2由1可知当2me,即2em 时,()f x在,2 mm上单调递增,所以maxln2()(2)12mf xfmm-当me时,()f x在,2 mm上单调递减,所以maxln()1mf xm当2mem,即2eme时,max1()()1f xf ee综上所述,maxln21,0221()1,2ln1,memmef xmeemmem 3由1知当(0,)x时max1()()1f xf ee所以在(0,)x时恒有ln1()11xf xxe,即ln1xxe,当且仅当xe时等号成立 因此对任意(0,)x恒有1ln xe 因为10nn,1n
26、en,所以11 1lnnnnen,即11ln()ennnn 因此对任意*nN,不等式11ln()ennnn 例 11 解:当(1,0)x 时,()0fx,函数()f x在区间(1,0)上单调递增;当(0,)x时,()0fx,函数()f x在区间(0,)上单调递减.函数()f x在0 x 处取得极大值,故1m .令121112()()()()()()()()f xf xh xf xg xf xxxf xxx,则1212()()()()f xf xh xfxxx.函数()f x在12(,)xx x上可导,存在012(,)xx x,使得12012()()()f xf xfxxx.1()11fxx,0
27、00011()()()11(1)(1)xxh xfxfxxxxx 当10(,)xx x时,()0h x,()h x单调递增,1()()0h xh x;当02(,)xxx时,()0h x,()h x单调递减,2()()0h xh x;故对任意12(,)xx x,都有()()f xg x.用数学归纳法证明.当2n 时,121,且10,20,1 12212(,)xxx x,由得()()f xg x,即 121 1221 12211112212()()()()()()()f xf xfxxxxxf xf xf xxx,当2n 时,结论成立.假 设 当(2)nk k时 结 论 成 立,即 当121k时,
28、1 1221122()()()()kkkkfxxxf xf xf x.当1nk时,设正数121,k 满 足1211k,令12km,-1212,kkmmm,则11knm,且121k.当1nk时,结论也成立.综上由,对任意2n,nN,结论恒成立.例12解:当2a时,xxxfln2)(2,当),1(x,0)1(2)(2xxxf,故函数)(xf在),1(上是增函数)0(2)(2xxaxxf,当,1 ex,2,2222eaaax 假设2a,)(xf 在,1 e上非负 仅当2a,*=1时,0)(xf,故函数)(xf在,1 e上是增函数,此时min)(xf1)1(f 假设222ae,当2ax时,0)(xf;
29、当21ax时,0)(xf,此时)(xf 是减函数;当exa2时,0)(xf,此时)(xf是增函数 故min)(xf)2(af2)2ln(2aaa 假设22ea,)(xf 在,1 e上非正仅当2e2a,*=e时,0)(xf,故函数)(xf在,1 e上是减函数,此时)()(minefxf2ea 不等式xaxf)2()(,可化为xxxxa2)ln(2,1 ex,xx1ln且等号不能同时取,所以xx ln,即0lnxx,因而xxxxaln22,1 ex 令xxxxxgln2)(2,1 ex,又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg,当,1 ex时,1ln,01xx,0ln22xx,从而0)(x
30、g仅当*=1时取等号,所以)(xg在,1 e上为增函数,故)(xg的最小值为1)1(g,所以a的取值围是),1 例13解:1定义域),0()0,1(2,0)1ln(111)(2时当 xxxxxf0)(xf单调递减。当)0,1(x,令0)1(11)1(1)()1ln(11)(22xxxxxgxxxg,0)1(11)1(1)()1ln(11)(22xxxxxgxxxg 故)(xg在1,0上是减函数,即01)0()(gxg,-故此时)1ln(111)(2xxxxf在1,0和0,+上都是减函数 3当*0时,1)(xkxf恒成立,令2ln1 21kx有 又k为正整数,k的最大值不大于3 下面证明当k=3
31、时,)0(1)(xxkxf恒成立 当*0时021)1ln()1(xxx恒成立 令xxxxg21)1ln()1()(,则时当1 ,1)1ln()(exxxg 时当1 ,1)1ln()(exxxg,0)(xg,当0)(,10 xgex时 当)(,1xgex时取得最小值03)1(eeg 当*0时,021)1ln()1(xxx恒成立,因此正整数k的最大值为3 例 14 解:()F(*)=e*+sin*a*,()cosxF xexa.因为*=0 是F(*)的极值点,所以(0)1 10,2Faa .又当a=2 时,假设*0,()cos0 xF xexa.*=0 是F(*)的极小值点,a=2 符合题意.()
32、a=1,且PQ/*轴,由f(*1)=g(*2)得:121sinxxex,所以12111sinxxxexx.令()sin,()cos10 xxh xexx h xex 当*0 时恒成立.*0,+)时,h(*)的最小值为h(0)=1.|PQ|min=1.()令()()()2sin2.xxxF xFxeexax 则()2cos2.xxxeexa()()2sinxxS xxeex.因为()2cos0 xxS xeex当*0 时恒成立,所以函数S(*)在0,)上单调递增,S(*)S(0)=0 当*0,+)时恒成立;因此函数()x在0,)上单调递增,()(0)42xa当*0,+)时恒成立.当a2 时,()
33、0 x,()x在0,+)单调递增,即()(0)0 x.故a2 时F(*)F(*)恒成立.例15解:(1)2()(1)1g xa xba 当0a时,()2,3g x 在上为增函数 故(3)296251(2)544220gaabagaabb 当0()2,3ag x 时,在上为减函数 故(3)296221(2)244253gaabagaabb -011bab即2()21g xxx.12f xxx.方程(2)20 xxfk化为12222xxxk 2111()222xxk,令tx21,221ktt 1,1x2,21t记12)(2tttmin()0t0k 方程0)3|12|2(|)12(|xxkf化为0)
34、32(|12|21|12|kkxx 0)21(|12|)32(|12|2kkxx,0|12|x 令tx|12|,则方程化为0)21()32(2ktkt0t 方程0)32(|12|21|12|kkxx有三个不同的实数解,由|12|xt的图像知,0)21()32(2ktkt有两个根1t、2t,且21t1t0或101 t,1t2记)21()32()(2ktktt 则0k)1(0k21)0(或12k3200k)1(0k21)0(0k 例16解:0a 时,2xf xxxb e,22232xxxfxxxbexxbee x xbxb,令 232g xxbxb,2238180bbb,设12xx是 0g x 的
35、两个根,1当10 x 或20 x 时,则0 x 不是极值点,不合题意;2当10 x 且20 x 时,由于0 x 是 f x的极大值点,故120 xx.00g,即20b,0b.()解:xfxexa2(3)2xab xbaba,令2()(3)2g xxab xbaba,22=(3)4(2)(1)80abbabaab则,于是,假设12xx,是 0g x 的两个实根,且12xx.由可知,必有12xax,且12xax、是 f x的三个极值点,-则213182ababx,223182ababx 假设存在b及4x满足题意,1当12xax,等差时,即21xaax时,则422xxa或412xxa,于是1223a
36、xxab,即3ba.此时4223xxaab 2(1)82 6abaa 或4123xxaab2(1)82 6abaa 2当21xaax时,则212()xaax或12()2()axxa 假设122xaax,则224xax,于是2813323221babaxxa,即.33812baba两边平方得2191170abab,30ab,于是1ab 9132,此时7132ba ,此时224xax=.231343332abbabaa 假设12()2()axxa,则214xax,于是2213318322ababaxx,即21833abab.两边平方得2191170abab,30ab,于是1ab 9132,此时71
37、32ba 此时142(3)3(3)1133242axaababxba 综上所述,存在b满足题意,当b=a3时,42 6xa,7132ba 时,41132xa,7132ba 时,41132xa.例 17 解:(1)依题意:.ln)(2bxxxxh()hx在(0,+)上是增函数,1()20hxx bx对*(0,+)恒成立,-(2)设.2,1,2tbttyetx则函数化为 当 t=1 时,ym i n=b+1;当 t=2 时,ymi n=4+2b 当)(,4xb时的最小值为.24b(3)设点 P、Q 的坐标是.0),(),(212211xxyxyx且则点 M、N 的横坐标为.221xxxC1在点M
38、处的切线斜率为.2|1212121xxxkxxx C2在点 N 处的切线斜率为.2)(|212221bxxabaxkxxx 假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线平行,则.21kk 2221121121x2(1)x2(xx)xln.xxxx1x 设,1,1)1(2ln,112uuuuxxu则 这与矛盾,假设不成立.故 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行 例 18(1)假设存在点(,)M a b,使得函数()yf x的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数()yf x的图像上,则函数()yf x图像的对称中心为(,)M a b.由()(2)2f xfaxb
39、,得21 ln1 ln2222xaxbxax,即22222ln0244xaxbxaxa对(0,2)x 恒 成 立,所 以220,440,ba解 得1,1.ab 所以存在点(1,1)M,使得函数()yf x的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数()yf x的图像上.(2)由(1)得()(2)2(02)f xfxx.令ixn,则()(2)2iiffnn(1,2,21)in.因为1221()()(2)(2)nSffffnnnn,所以1221(2)(2)()()nSffffnnnn,由+得22(21)nSn,所以*21()nSnnN.所以20132 2013 14025S.(3)由(2)得*21
40、()nSnnN,所以*1()2nnSan nN.因为当*nN且2n 时,2()121lnln2namnmnnmann .-所以当*nN且2n 时,不等式lnln2nmn 恒成立minlnln2nmn.设()(0)lnxg xxx,则2ln1()(ln)xg xx.当0 xe时,()0g x,()g x在(0,)e上单调递减;当xe时,()0g x,()g x在(,)e 上单调递增.因为23ln9ln8(2)(3)0ln2ln3ln2 ln3gg,所以(2)(3)gg,所以当*nN且2n 时,min3()(3)ln3g ng.由min()ln2mg n,得3ln3ln2m,解得3ln2ln3m
41、.所以实数m的取值围是3ln2(,)ln3.例19解:当1a 时,232()(1)2f xx xxxx ,得(2)2f,且 2()341fxxx,(2)5f 所以,曲线2(1)yx x 在点(22),处的 切线方程是25(2)yx,整理得580 xy 解:2322()()2f xx xaxaxa x 22()34(3)()fxxaxaxa xa 令()0fx,解得3ax 或xa 由于0a,以下分两种情况讨论 1假设0a,当x变化时,()fx的正负如下表:x 3a,3a 3aa,a()a,()fx 0 0 因此,函数()f x在3ax 处取得极小值3af,且34327afa;函数()f x在xa
42、处取得极大值()f a,且()0f a 2假设0a,当x变化时,()fx的正负如下表:x a,a 3aa,3a 3a,()fx 0 0 因此,函数()f x在xa处取得极小值()f a,且()0f a;-函数()f x在3ax 处取得极大值3af,且34327afa 证明:由3a,得13a,当10k ,时,cos1kx,22cos1kx 由知,()f x在1,上是减函数,要使22(cos)(cos)f kxf kx,xR 只要22coscos()kxkx xR,即22coscos()xxkk xR 设2211()coscoscos24g xxxx,则函数()g x在R上的最大值为2 要使式恒成
43、立,必须22kk,即2k或1k 所以,在区间10,上存在1k ,使得22(cos)(cos)f kxf kx对任意的xR恒成立 例 20(I)/(6)()4(2)(4)x xfxxx./(2)注意到204xx,得(,2)(4,)x,解(6)04(2)(4)x xxx得6x 或0 x.当x变化时,/(),()fxf x的变化情况如下表:x(,0)0(0,2)(4,6)6(6,)/()fx+0 ()f x 增 极大值 减 减 极小值 增 所以1(0)ln2f是()f x的一个极大值,3(6)ln22f 是()f x的一个极大值./(4)(II)点0,(0),(6,(6)ff的中点是3(3,)4,所
44、以()f x的图象的对称中心只可能是3(3,)4./(6)设(,()P x f x为()f x的 图 象 上 一 点,P关 于3(3,)4的 对 称 点 是3(6,()2Qxf x.463(6)ln()242xxfxf xx.Q也在()f x的图象上,因而()f x的图象是中心对称图形./(8)(III)假设存在实数a、b.,a bD,2b 或4a.假 设02b,当,xa b时,1()(0)ln02f xf,而04b()4bf x.故此时()f x的取值围是不可能是,4 4a b./(10)-假 设46a,当,xa b时,33()(6)ln222f xf,而342a()4af x.故此时()f x的取值围是不可能是,4 4a b./(12)假设06abab或,由()g x的单调递增区间是,0,6,知,a b是()4xf x 的两个解.而2()ln044xxf xx无解.故此时()f x的取值围是不可能是,4 4a b./(14)综上所述,假设错误,满足条件的实数a、b不存在.