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1、 高二暑期.第7讲 空间几何体的概念与结构 删解析 第 76 页 1几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等 2构成几何体的基本元素：点、线、面 用运动的观点理解空间基本图形间的关系：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间满分晋级 7.1 空间几何体的基本元素 知识点睛 第 7 讲 立体几何1 级 立体几何 2 级 平面性质与空间中的平行关系 空间几何体的概念与结构 立体几何 3 级 空间中的垂直关系 第 77 页 部分），面动成体 立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区
2、别的，立体几何里的平面是理想化的，绝对平且无限延展的，它是点的集合 立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分，无形状，无边沿，无厚度，不可度量 我们通常画平行四边形表示平面，它表示的是整个平面，没有边沿，一般把这个平行四边形的锐角画成45，并将横边的长度画成邻边的两倍画两个相交平面时，当一个平面的一部分被另一部分遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画，以增加立体感 有时根据需要我们也可以用其它平面图形来表示一个平面，如用三角形，圆等 3多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体 凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平 第 78 页 面的
3、同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体 截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面 在立体几何中，辅助线并不总是虚线，而是根据实际情况，能看到的用实线，被遮住的用虚线，以增强立体感，更好地配合空间想象 例：按照要求完成下面两个相交平面的作图，图中AB表示两个平面的交线：考点 1：空间几何体基本元素的认识 例 1 的目的是希望学生通过平面图形到空间图形，通过空间图形到平面图形来对空间几何体有一个初步的认识【例1】下面四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中不能沿两个正方形相邻边折叠成 一个正方体的图形是（）A B 经典精讲 第 79 页 C D 如图，一
4、个封闭的立方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别是_ 如图，模块均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成，现从模块中选出 3个放到模块上，使得模块成为一个棱长为 3 的大正方体，则能够完成任务的模块为_【解析】C 或 1棱柱：以运动的观点来看：棱柱可以理解为由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体 特殊直棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 特殊的四棱柱：棱柱 侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)7.2 多面体的结构特征 知识点睛 高侧棱对角面侧面底面 第
5、 80 页 每个侧面的面积之和 2SS侧底 Sh底 祖暅原理：幂势既同，则积不容异 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等 考点 2：棱柱的基本概念【例2】下列关于棱柱的命题，其中真命题的序号是_ 棱长相等的直四棱柱是正方体；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；若底面是正方形，且有两个侧面垂直于底面，
6、则该四棱柱为正四棱柱；经典精讲 第 81 页 若每个侧面都是全等的矩形，则该四棱柱为正四棱柱；若底面是正方形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱为正四棱柱；若底面是正方形，且有两个侧面是矩形，则该四棱柱为正四棱柱 考点 3：棱柱的结构与性质【例3】正方体的对角线长为l，则侧面对角线长是（）22l 2l 6l 63l 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为2，3，6，这个长方体的对角线长 为_【解析】D；尖子班学案 1【拓2】长方体中共点的三条棱长分别为a，b，c，分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为aS，bS，cS(cbaSSS)，则（）A cba Bbca C ba
7、c Dabc【解析】D；知识点睛 第 82 页 2棱锥：以运动的观点来看：棱锥可以理解为当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体 正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高 正四面体：各棱长都相等的正三棱锥（本讲最后有正多面体的剪纸，老师可以引导学生自己动手折）正棱锥的性质很多，要特别注意的是：平行于底面的截面的性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：棱锥的侧棱和高被这个平面分成的线段成比例 所得的截面和底面是对应边互相平行的相似正多边形 截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比，即等于截得的棱锥与已知棱锥的高的平方
8、比 SHOABCD 第 83 页 有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形，即右图RtSOH，RtSOC，RtSHC，RtOHC，这是解决正棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握 棱锥 侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)各侧面积之和 SS侧底 13Sh底 棱锥的体积公式的理解：任何一个棱锥都可以分成一些三棱锥，从而只需考虑三棱锥的体积即可，任何一个三棱锥SABC，我们都可以选定其中一条棱，把底面沿着该棱平移形成一个棱柱 如图，三棱锥SABC可以得到三棱柱SDEABC，而在三棱柱中连接DC，可知此时
9、棱柱被分为了三个三棱锥SABC，SCBA 第 84 页 SBCD，SCDE 而通过转换顶点和底面，可知：即分成的三个三 棱 锥 体积相同，从而可知三棱锥的体积为等底面积等高的棱柱体积的三分之一 从而对于底面积和高都相等的棱锥和棱柱，有13VV棱锥棱柱 考点 4：棱锥的基本概念【例4】下列关于棱锥的命题，其中真命题的序号是_ 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；棱锥的高线可能在几何体之外；若底面为正多边形，则该棱锥为正棱锥；若各侧棱都相等，则该棱锥为正棱锥；若各侧面都是等腰三角形，则该棱锥为正棱锥；经典精讲 EDSCBA 第 85 页【备选】
10、若各侧面与底面都是全等的正三角形，则该棱锥为正棱锥；若底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形，则该棱锥为正棱锥 若各侧面都是全等的等腰三角形，则该棱锥为正棱锥【解析】正确；不正确；不正确 考点 5：正棱锥的结构与性质 提高班学案 1【铺1】正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求中截面(即过高线的中点且平行于底面的截面)的面积【例5】已知正三棱锥SABC的高SOh，斜高SMl，求经过SO的中点且平行于底面的截面111A B C的面积，并求SABCV 尖子班学案 2【拓2】已知棱锥VABC的底面积是264cm，平行于底面的截面面积是24cm，棱锥顶点V在截面和底面上的射影分别是1O、O，过1O O的三等
11、分点作平行于底面的截面，C1B1A1MOSABC 第 86 页 求各截面的面积【解析】两截面的面积分别为216cm和236cm 目标班学案 1【拓3】（2019 年清华自主招生）在正四棱锥PABCD中，11BD，分别为侧棱PBPD，的中点，则四面体11ABCD的体积与四棱锥PABCD的体积之比为（）A1:6 B1:5 C1:4 D1:3【解析】C 3棱台：正棱台：由正棱锥截得的棱台 正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高 右图为一个正三棱台，记为棱台ABCA B C ，侧棱AA，BB，CC延长后必交于一点OO，为上下底面的中心，它们的连线O O是棱台的高，HH是棱台
12、的斜高 有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：即正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的知识点睛 B1D1DCBAP 第 87 页 一半，组成三个直角梯形（梯形OO HH，OO C C，HH B B）和两个直角三角形(O H B，OHB)例：判断下列说法是否正确 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；（）上、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台（）名称 侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱 台 棱台 各侧面面积之和 SSS侧上底下底 13h SSSS
13、上底下底上底下底 正棱台 12cc h 表中cc、分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高 考点 6：正棱台的结构与性质【例6】正四棱台的侧棱长为19，两底面边长分别是4和16，它的表面积和体积分别为_ 经典精讲 第 88 页 正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a，b，c，则它的高和斜高分别为 【解析】表面积为272200 13S，体积为1904V 提高班学案 2【拓 1】如图，正三棱台111ABCABC的侧棱长为13，1OO，分别是上下底面的中心，1HH为斜高，12HH，上下底面面积比为1:4，求这个棱台的上下底面边长【解析】6，12；1圆柱、圆锥和圆台：名称 圆柱 圆锥 圆台 S
14、侧 2rl rl 12 rr l S全 2r lr r lr 221212rr lrr V 2r h(即2r l)213r h 2211 2213h rrrr 表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥的底面半径，1r、2r分别表示圆台上、下底面半径 7.3 旋转体的结构特征 知识点睛 H1O1HOC1B1A1CBA 第 89 页 例：判断下列命题的正误：用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆；（）用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形；（）考点 7：旋转体的结构与性质【例7】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1 4，截去的 圆锥的母线长是3，求圆台的母线
15、长 如果一个圆锥的底面半径为 3，侧面积为18，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于 ；圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm，母线与底面的夹角是45，求这个圆台的母线长 【例8】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的 母线长 有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体经典精讲 ABCD 第 90 页 积 如图，在四边形ABCD中，90DAB，135ADC，5AB，2 2CD，2AD，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积 表面积为4(55)S 体积为3
16、23V 目标班学案 2【拓3】如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底2cmAD，下底10cmBC，底角60ABC，现绕腰AB旋转一周，求所得的旋转体的体积【解析】所得的旋转体的体积为3248cm 2球与球面：球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合 纬线与纬度：赤道是一个大圆，它是0纬线，其它纬线是由与赤道面平行的平面截球所得到的小圆，某地的纬度就是经过该点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数 知识点睛 OOCPBABCDA 第 91 页 如图：圆O是赤道面，圆O是纬线圈，P点的纬度就等于POA的度数，也等于OPO
17、的度数 经线与经度：经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同一条经线上的点的经度都相等，如图P点的经度与A点的经度相等，在地球上确立了一条经线为本初子午线（0经线）任意点P的经度就定义为经过它的经线与本初子午线在同一个纬线圈上的交点 与 该 纬 线 圈 的 圆 心 连 线 所 成 的角（以后能证明，这样的角必然相等，定义是合理的）如图，如果经过B的经线是本初子午线，则P点的经度就等于PO C的度数，也等于AOB的度数 球面与球体是两个不同的概念，要注意它们的区别与联系 球面的概念可以用集合的观点来描述球面是由点组成的，球面上的点有 第 92 页 什么共同的特点呢？与定点的距离等于定长的所有
18、点的集合（轨迹）叫球面 如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部，否则在外部 地球上的经线的分布从本初子午线开始，往东往西分别是东经与西经，本初子午线既是东经0线，又是西经0线，转半圈后的东经180与西经180又重合成一条经线，与本初子午线合成一个大圆 如果球面上两点的连线不是直径，则经过这两点有且只有一个大圆，如果恰为直径，则可以作无数个大圆 球的表面积和体积公式：24SR表，343VR 球的体积的推导方法 由上图可知，截 到 的 每 一 个 圆 片 的 面 积 为222rRh，每一个圆环的面积为22Rh，由 祖 暅 原 理 可 知 半 球 的 体 积2231233VRRRRR，从
19、而球的体积为343VR 球的表面积公式推导 第 93 页 把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用1S，2S，,iS，表示，则球的表面积为12iSSSS，以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积的和等于球的体积 而“小锥体”的高ih，近似等于球半径R，底面积近似等于“小球面片”的面积，所以1133iiiiVhSRS，而球的体积121133iVRSSSRS，所以34133RRS，从而24SR 新课标对球面距离的要求不高，只需了解球面距离的定义，及简单的球面距离的计算即可 我们只在备选安排了一道题介绍球面距离，老师可以结合本班的情况选择讲解 考点 8：球的截面【例9】已知半径
20、为10的球的两个平行截面的周长分别为12和16，求这两个截面间的距离 经典精讲 第 94 页 设MN，是球O的半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过NMO，作垂直于OP的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为()A3:5:6 B3:6:8 C5:7:9 D5:8:9【解析】2或14；D；【备选】半径为R的球面上有AB，两点，已知ABR，则AB，两点间的球面距离为_ 半径为R的球面上有AB，两点，已知AB，两点间的球面距离为12R，则AB _ 判断下列说法是否正确，并说明理由：四边相等的四边形是菱形；若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形 将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形
21、成一个长方体；平行四边形是一个平面 多面体至少有四个面 下列说法正确是（）A圆台是直角梯形绕其一边旋转而成 B圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成 C圆柱的母线和它的底面不垂直 D圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的 第 95 页【解析】错误；正确 D 【演练 1】设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体 以上命题中真命题的个数是()A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【解析】B；【演练 2】一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（）A 三 棱 锥 B 四 棱 锥 C五棱锥 D六棱锥【解析】D【演
22、练 3】直三棱柱111ABCA BC各侧棱和底面边长均为a，点D是1CC上任意一点，连结1A B，BD，1A D，AD，则三棱锥1AA BD的体积为（）A316a B336a C3312a D3112a【解析】C；【演练 4】如图所示的正四棱锥VABCD，它的高3VO，侧棱长为7，求侧面上的斜高与底面面积 实战演练 OHODCBAV 第 96 页 O是高VO的中点，求过O点且与底面平行的截面（即中截面）的面积【解析】斜高为5，底面面积为8；【演练 5】已知球的半径为25，有两平行截面的面积为49400，则平行截面间的距离是_【解析】9或39；【演练 6】球O的球面上有三个点ABC，6810ABACBC，O到截面ABC的距离为5，则球O的表面积为_ 1 把正方体的每个面延展为平面能把空间分成多少份？2 把正四面体的每个面延展为平面能把空间分成多少份？【解析】127；215按照和原来的几何体共一面，一条棱，一个点分类计数 正多面体的剪纸 大千世界