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1、 高中物理奥林匹克竞赛专题-相对论习题及答案 第 2 页 第十六章相对论 题16.1：设 S系以速率v=0.60c相对于S系沿xx轴运动，且在t=t=0时，0 xx。（1）若有一事件，在 S 系中发生于 t=107 s，x=50 m 处，该事件在 S系中发生于何时刻？（2）如有另一事件发生于 S 系中 t=3.0107 s，x=10 m 处，在 S系中测得这两个事件的时间间隔为多少？题 16.1 解：（1）由洛伦兹变换可得 S系的观察者测得第一事件发生的时刻为（2）同理，第二个事件发生的时刻为 所以，在 S系中两事件的时间间隔为 题 16.2：设有两个参考系 S 和 S，它们的原点在 t=0
2、和 t=0 时重合在一起。有一事件，在 S系中发生在 t=108 s，x=60 m，y=0，z=0 处，若 S系相对于 S 系以速率 v=c 沿 xx轴运动，问该事件在 S 系中的时空坐标各为多少？题 16.2 解：由洛伦兹逆变换得该事件在 S 系的时空坐标分别为 题 16.3：一列火车长 0.30 km（火车上观察者测得），以 100 km/h 的速度行驶，地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端。问火车上的观察者测得两闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少？题 16.3 解：设地面为 S 系，火车为 S系，把闪电击中火车前后端视为两个事件（即两组不同的时空坐标）。由洛伦兹变换可得两事
3、件时间间隔为 221221212/1)()(cvxxcvtttt（1）221221212/1)()(cvxxcvtttt（2）利用这两式都可以得到结果。解法 1：由题意闪电在 S 系中的时间间隔t=t2 t1=0。两事件在 S系中的空间间隔即火车的长度为x=x2 x1=103 m。则由（1）式可得 负号说明火车上的观察者测得闪电先击中车头 x2 处。解法 2：可利用（2）式求解，此时应注意式中 x2x1为地面观察者测得两事件的空间间 隔，即 S 系 中 测 得 的 火 车 长 度，而 不 是 火 车 原 长。根 据 长 度 收 缩 效 应 有 第 3 页 212121)(cvxxxx考虑这一关
4、系由（2）式可得 结果与解法 1 相同，相比之下解法 1 较简单，这是因为解法 1 中直接利用了 x2x1=0.3 km这一已知条件。题 16.4：在惯性系 S 中，某事件 A 发生在 x1 106 s 后，另一事件 B 发生在 x2处，已知 x2xl=300 m。问：（1）能否找到一个相对 S 系作匀速直线运动的参考系 S，在 S系中，两事件发生在同一地点？（2）在 S系中，上述两事件的时间间隔为多少？题 16.4 解：设惯性系 S以速度 v 相对 S 系沿 x 轴正向运动，因在 S 系中两事件的时空坐标已知，由洛伦兹时空变换式，可得（1）令012xx，由式（1）可得（2）将 v 值代入式（
5、2），可得 这表明在 S系中事件 A 先发生 题 16.5：cc，电子速度的方向与粒子运动方向相同。试求电子相对实验室参考系的速度。题 16.5 解：由洛伦兹速度逆变换式可得电子相对 S 系的速度为 题 16.6：108 m/si 108 m/si。问：（l）此火箭相对宇航飞船的速度为多少？（2）如果以激光光束来替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度。题 16.16 解：设宇航飞船为 S 系，航天器为 S系，则 S系相对 S 系的速度 v=108 m/s，空间火箭相对航天器的速度为18xsm100.1u，激光
6、束相对航 天器的速度为光速 c。由洛伦兹变换可得：（1）空间火箭相对 S 系的速度为（2）激光束相对 S 系的速度为 即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速 c，这是光速不变原理所预料的。如用伽利略变换，则有cvcux。这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光速是运动物体的极限速度 第 4 页 题 16.7：在惯性系 S 中观察到有两个事件发生在同一地点，其时间间隔为 4.0 s，从另一惯性系 S 中观察到这两个事件的时间间隔为 6.0 s，试问从 S系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设 S系以恒定速率相对 S 系沿xx轴运动。题 16.7 解：由题意知在 S
7、 系中的时间间隔为固有时，即t=4.0 s，而t=6.0 s。根据时间延缓效应的关系式 可得 S系相对 S 系的速度为 两事件在 S系中的空间间隔为 题 16.8：在惯性系 S 中，有两个事件同时发生在xx轴上相距为 1.0 103 m 的两处，从惯性系 S观测到这两个事件相距为 2.0 103 m，试问由 S系测得此两事件的时间间隔为多少？题 16.8 解：设此两事件在 S 系中的时空坐标为（xl,0,0,t1）和（x2,0,0,t2），且有0m100.112312ttxx，。而在 S系中，此两事件的时空坐标为),0,0(11tx，和),0,0,(22tx，且,m100.2312xx，根据洛
8、伦兹变换，有 22121212/1)()(cvttvxxxx （1）221221212/1)()(cvxxcvtttt （2）由式（1）可得 将 v 值代人式（2），可得 题 16.9：若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯性系的速度为多少？（以光速 c 表示）题 16.9 解：设宇宙飞船的固有长度为0l，它相对于惯性系的速率为 v，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为20l，根据洛伦兹长度收缩公式，有 可解得 题 16.10：c 沿 x 轴相对某惯性系运动，试问从该惯性系来测量，此物体的长度为多少？第 5 页 题 16.10 解：由洛伦兹长度收缩公式 题 16.
9、11：半人马星座星是离太阳系最近的恒星，它距地球为 4.31016 m。设有一宇宙飞船自地球往返于半人马星座星之间。（1）若宇宙飞船的速率为 0.999C，按地球上时钟计算，飞船往返一次需多少时间？（2）如以飞船上时钟计算，往返一次的时间又为多少？题 16.11 解：（1）以地球上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为 （2）以飞船上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为 题 16.12：若一电子的总能量为 5.0 MeV，求该电子的静能、动能、动量和速率。题 16.12 解：电子静能为 电子动能为 由20222EcpE，得电子动量为 由212201cvEE可得电子速率为 题 16.13：一被加速
10、器加速的电子，其能量为 3.00 109 eV。试问：（1）这个电子的质量是其静质量的多少倍？（2）这个电子的速率为多少？题 16.13 解：（1）由相对论质能关系2mcE 和200cmE 可得电子的动质量 m 与静质量 m0之比为（2）由相对论质速关系式212201cvmm可解得 可见此时的电子速率已十分接近光速了 题 16.14：在电子偶的湮没过程中，一个电子和一个正电子相碰撞而消失，并产生电磁辐射。假定正负电子在湮没前均静止，由此估算辐射的总能量 E。题 16.14 解：辐射总能量为 题 16.15：c，需对它作多少功？如将电子由速率为 0.80 cc，又需对它作多少功？第 6 页 题 16.15 解：由相对论性的动能表达式和质速关系可得当电子速率从 v1增加到v2 时，电子动能的增量为 根据动能定理，当 v1=0，v2=c 时，外力所作的功为 当 v1=c，v2=c 时，外力所作的功为 由计算结果可知，虽然同样将速率提高 0.1c，但后者所作的功比前者要大得多，这是因为随着速率的增大，电子的质量也增大。