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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习不等式选讲第精选高考数学一轮复习不等式选讲第 2 2 讲讲不等式的证明学案不等式的证明学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种考点 2 综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫由因导果法考点 3 分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证
2、明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法考点 4 反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法考点 5 放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法考点 6 柯西不等式1二维形式的柯西不等式2 / 13定理 1 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时，等号
3、成立2柯西不等式的向量形式定理 2 设 ， 是两个向量，则|，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”时，假设为“a，b，c全不为 0” ( )(2)若1，则 x2yxy.( )(3)|ab|ab|2a|.( )(4)若实数 x、y 适合不等式 xy1，xy2，则 x0，y0.( )答案 (1) (2) (3) (4)22018温州模拟若 a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是( )Ba2b2A.b|c|C. 答案 C解析 应用排除法取 a1，b1，排除 A；取a0，b1
4、，排除 B；取 c0，排除 D.显然0，对不等式 ab 的两边同时乘以，立得成立故选 C.3课本改编不等式：x233x；a2b22(ab1)；2，其中恒成立的是( )A B C D答案 D解析 由得 x233x20，所以 x233x；对于，因为 a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，所以不等式成立；对于，因为当 abcbAa|b|c| 答案 D解析 |a|c|ac|0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab
5、2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此 ab2.板块二 典例探究考向突破考向 比较法证明不等式例 1 2016全国卷已知函数 f(x)，M 为不等式 f(x)1，即1f(a)f(b)解 (1)当 x1 时，原不等式可化为x11，综上，Mx|x1(2)证明：证法一：因为 f(ab)|ab1|(abb)(1b)|abb|1b|b|a1|1b|.因为 a，bM，所以|b|1，|a1|0，5 / 13所以 f(ab)|a1|1b|，即 f(ab)f(a)f(b)证法二：因为 f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证 f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|a
6、b|，即证|ab1|2|ab|2，即证 a2b22ab1a22abb2，即证 a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为 a，bM，所以 a21，b21，所以(a21)(b21)0 成立，所以原不等式成立考向 用综合法与分析法证明不等式例 2 (1)2018浙江金华模拟已知 x，yR.若 x，y 满足|x3y|be(其中 e 是自然对数的底数)，求证：baab.(提示：可考虑用分析法找思路)证明 ba0，ab0，要证 baab只要证 aln bbln a只要证.(abe)6 / 13取函数 f(x)，f(x)1ln x x2令 f(x)0，xe当 xe 时，f(x)be 时，有 f
7、(b)f(a)，即，得证触类旁通综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果” ，分析法证明不等式是“执果索因” ，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提【变式训练 2】 (1)设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：abbcca；1.证明 由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca.证法一
8、：因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.证法二：由柯西不等式得：(abc)(cab)2，abc1，7 / 131.(2)2015全国卷设 a，b，c，d 均为正数，且abcd，证明：若 abcd，则；是|ab|cd，得()2()2.所以.()若|ab|cd.由得.()若，则()2()2，即 ab2cd2.因为 abcd，所以 abcd.于是(ab)2(ab)24ab是|ab|0，b0，且 ab.证明：(1)ab2；(2)a2a0，b0，得 ab1.(1)由基本不等式及 ab1，有 ab22，即 ab2，当且仅当 ab1 时等号成立(2)假设 a2a0，得 0，
9、(1b)c，(1c)a.三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c(*)又(1a)a2，同理(1b)b，(1c)c.所以(1a)a(1b)b(1c)c，与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确考向 柯西不等式的应用例 4 柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数ai，bi(i1,2，n)，有(a1b1a2b2anbn)2(aaa)(bbb)，当且仅当aikbi(i1,2，n)时，等号成立(1)证明：当 n2 时的柯西不等式；(2)设 a，b，m，nR，且 a2b25，manb5，求的最小值解 (1)证明：当 n2 时，柯西不等式的二维形式为：(
10、aa)(bb)(a1b1a2b2)2，(aa)(bb)(a1b1a2b2)2abab2a1a2b1b2(a1b2a2b1)20，当且仅当 a1b2a2b1时取得等号(2)由柯西不等式得(a2b2)(m2n2)(manb)2，所以5(m2n2)52 即 m2n25，所以的最小值为.触类旁通利用柯西不等式解题时，要注意配凑成相应的形式，既可从左向右用，也可从右向左用9 / 13【变式训练 4】 2018区校级期末设 xy0，则的最小值为( )A9 B9 C10 D0答案 B解析 29.当且仅当 xy即 xy时取等号故选 B.核心规律1.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和反证法仍是
11、证明不等式的基本方法要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择恰当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维方法，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点2.综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程3.不等式证明中的裂项形式：(1)，.(2)1，S1，1，1，1 与1 矛盾，至少有一个不大于 1.3设 x0，y0，M，N，则 M、N 的大小关系为_答案 MM.xy 2xy4已知 a，bR，a2b24，则 3a2b 的取值范围是_答案 2，2解析 根据柯西不等式(acbd)2(a2b2)(c
12、2d2)，可得(3a2b)11 / 132(a2b2)(3222)23a2b2.3a2b2，2B 级 能力达标5求证：0)(1)证明：f(x)4；(2)若 f(2)2 时，不等式变成 a2a40)的解集为2,2，求实数 m 的值；(2)对任意 xR，y0，求证：f(x)2y|2x3|.解 (1)不等式 f2m1|2x|2m1(m0)，mxm，由解集为2,2，可得 m2，解得 m.(2)证明：原不等式即为|2x1|2x3|2y.令 g(x)|2x1|2x3|(2x1)(2x3)|4，当 2x30，即 x时，g(x)取得最大值 4，又 2y24，当且仅当 2y，即 y1 时，取得最小值 4.则|2
13、x1|2x3|2y.故原不等式成立12 / 1382018黄山期末(1)已知 a，b(0，)，求证：x，yR，有；(2)若 01，而(2a)b(2b)c (2c)a(2a)a(2b)b(2c)c2221，这与(2a)b(2b)c(2c)a1 矛盾所以假设错误，即(2a)b，(2b)c，(2c)a 不能同时大于 1.92018天津期末已知 xy0，m0.(1)试比较与的大小；(2)用分析法证明：(2)1.解 (1)因为，xy0，m0.所以 m(yx)0，所以0，且(1)20 成立，所以(2)1.102018市期末已知实数 a0，b0.(1)若 ab2，求证：，中至少有一个小于 2；(2)若 ab2，求证：a3b8.证明 (1)假设，都不小于 2，则2，2，因为 a0，b0，所以 1b2a,1a2b，11ab2(ab)，即 2ab，这与已知 ab2 相矛盾，故假设不成立综上， ，中至少有一个小于 2.(2)ab2，ba2，b0，a2，a3b8a38a2(a2)(a22a5)，(a2)(a1)240，a3b8.