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1、第二课时 基本不等式的应用习题课 1.下列函数中最小值是 4 的是（C）（A)y=x+（B)y=sin x+(C）y=21+x+21-x（D)y=x2+3，x0 解析:对于 A,当 x=-2 时，y=-4，不符合题意；对于 B,当 sin x=1 时，y=5,不符合题意;对于 C，21+x0，21x0,所以 y=21+x+21-x2=4，当且仅当 x=0 时取等号；由于 x2+34，当且仅当 x=0 时取等号，故 D 项不符合题意。故选 C.2。若函数 f（x)=x+（x2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于（C)(A)1+(B）1+(C）3（D）4 解析：f（x)=x+=x-2+2。因为
2、x2，所以 x20.所以 f(x)=x-2+22+2=4，当且仅当 x-2=,即 x=3 时“=”成立.又 f（x）在 x=a 处取最小值。所以 a=3.故选 C。3.已知 x1，y1 且 xy=16，则 log2xlog2y（D)（A）有最大值 2(B）等于 4(C）有最小值 3(D）有最大值 4 解析:因为 x1，y1,所以 log2x0,log2y0.所以 log2xlog2y()2=2=4,当且仅当 x=y=4 时取等号.故选 D.4.当 x1 时，不等式 x+a 恒成立，则实数 a 的取值范围是(D)（A)（,2（B）2，+)(C）3,+)(D）（-,3 解析:由于 x1，所以 x-
3、10，0，于是 x+=x-1+12+1=3,当=x1 即 x=2 时等号成立，即 x+的最小值为 3，要使不等式恒成立,应有 a3,故选 D.5。已知 x0,y0,且 2x+y=1,则 xy 的最大值是(B）（A)(B)（C）4（D)8 解析：因为 x0，y0，且 2x+y=1,所以 xy=2xy(）2=，当且仅当 2x=y0，即x=,y=时取等号，此时,xy 的最大值是.故选 B.6。若直线+=1（a0,b0）过点(1，1），则 a+b 的最小值等于(C）（A）2(B）3(C）4(D）5 解析:法一 因为直线+=1(a0,b0)过点（1,1),所以+=1,所以 1=+2=(当且仅当 a=b=
4、2 时取等号）,所以2。又 a+b2(当且仅当 a=b 时取等号)，所以 a+b4(当且仅当 a=b=2 时取等号),故选 C。法二 因为直线+=1（a0，b0)过点(1，1），所以+=1,所以 a+b=（a+b）(+）=2+2+2=4（当且仅当 a=b=2 时取等号），故选 C。7。若实数 a，b 满足+=,则 ab 的最小值为（C）(A）（B）2 （C)2（D）4 解析:法一 由已知得+=，且 a0，b0，所以 ab=b+2a2，所以 ab2。法二 由题设易知 a0,b0,所以=+2,即 ab2.故选 C。8.若实数 x,y 满足 x2+y2=4，则 S=的最小值是（C)(A)-2 (B)
5、(C）2-2 (D)2（1+）解析：x2+y2=4(x+y)22xy=42xy=(x+y）2-4=(x+y+2）（x+y-2），于是 S=x+y+2,而 x2+y2=4（x+y)24=2xy2（）22x+y2S2-2,2+2,当且仅当 x2+y2=4，x=y，即 x=y=时等号成立。验证知 x=y=时,S 取得最小值，最小值为 2-2。故选 C.9.已知 x,y0，且满足 x+y=1,则+的最小值为 。解析:+=(+）(x+y）=1+4+5+2=9.当且仅当 即 x=，y=时取等号.答案:9 10.设 a,b0,a+b=5,则+的最大值为 .解析：法一(+)2=a+b+4+29+2=9+a+b
6、+4=18，所以+3，当且仅当 a+1=b+3,a+b=5,即 a=，b=时等号成立，所以+的最大值为 3。法二 本题也可利用进行求解，即=，当且仅当=,a+b=5,即 a=,b=时等号成立,所以+的最大值为 3.答案:3 11。若对任意 x0，a 恒成立，则 a 的取值范围是 。解析：因为 x0,所以=.所以要使a 恒成立，只需 a。答案:，+）12.在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a,b,c,若 a=csin A,则的最大值为 。解析:由=，a=csin A，得 sin C=1,即ABC 是直角三角形，C 为直角,于是 a2+b2=c2,从而=1+1+=2,即，当且仅当 a
7、=b=c 时等号成立.答案:13.（1）求函数 y=的最小值;(2)求函数 f(x）=2x(53x）,x(0，)的最大值.解:（1)y=+,令 t=,则 t2,+）,所以 y=t+，t2,+)。易证 y=t+在 t2,+）上为单调递增函数，所以 y2+=.故 ymin=。(2)因为 x（0,),所以 2x0,5-3x0,f（x）=2x（5-3x)=2 （）2=。当且仅当 3x=53x,即 x=(0，）时,等号成立，故所求函数的最大值为.14。已知 x+y=-1,且 x，y 都是负数,求 xy+的最小值。解:法一 因为 x，y 都是负数,所以-x0,-y0。由 x+y=-1,得 1=（-x)+(
8、y）2=2,则 0 xy,当且仅当 x=y=时,等号成立。令 xy=t，t（0,则 xy+=t+.因为当 t（0，时,f(t）=t+为减函数,所以当 t=,即 x=y=时,xy+存在最小值，最小值为+=。法二 设 x=-sin2（sin20），y=-cos2(cos20）,则 xy+=sin2cos2+=sin22+=(sin22+)，sin22（0,1.设 sin22=q,因为 f（q）=q+在 q（0，1上为减函数，所以当 q=1 时，f（q）取得最小值.所以 xy+的最小值为(1+)=.15。函数 y=loga(x+3)1(a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny
9、+1=0 上,其中mn0，求+的最小值。解：因为函数 y=logax 的图象恒过定点（1,0),所以函数 y=loga（x+3）1 的图象恒过定点（-2,-1），所以-2mn+1=0，即 2m+n=1,所以+=（+）(2m+n）=2+1+3+2,当且仅当 m=，n=-1 时取等号.所以+的最小值为 3+2。16。在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是(D）（A)y=x+（B）y=cos x+(0 x）（C)y=（D)y=ex+-2 解析：对于 A，若 x0，则 y0，y 的最小值不为 2.对于 B，因为 0cos x2.对于 D，y=ex+-22-2=2,当且仅当 x=ln 2 时取“=”,
10、所以 ymin=2.故选 D。17。设 a,b,c0,若（a+b+c）（+)k 恒成立,则 k 的最大值是(D）(A）1（B)2（C）3（D)4 解析：要求 k 的最大值，即求（a+b+c)（+）的最小值。因为 a,b，c0,所以(a+b+c)(+)=2+2+2=4，当且仅当=时，等号成立。因为（a+b+c)（+)k 恒成立,所以 k4，所以 k 的最大值是 4。故选 D.18。若 x1,则函数 y=x+的最小值为 。解析：y=x+=x+2=8，当且仅当 x=2+时，等号成立。答案：8 19。设 a+b=2，b0，则当 a=时，+取得最小值。解析:因为 a+b=2,所以+=+=+。当 a0 时
11、，变为+1=,当且仅当 b2=4a2,即 b=2a 时取等号。当 a0 时,变为-+-+1=,当且仅当 b2=4a2,即 b=-2a 时取等号.因为 ,所以 a0,且 b=2a，又 a+b=2,所以 a=-2.答案：2 20。某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元。从第二年起,包括维修费在内,每年所需费用比上一年增加 4 万元.该船每年捕捞总收入为 50 万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？（2)问捕捞几年后的平均利润最大?最大是多少？解：(1)设捕捞 n 年后的总盈利为 y 万元，则 y=50n9812n+4=-2n2+40n-98=2
12、（n-10）2+102，所以捕捞 10 年后总盈利最大,最大是 102 万元.（2)年平均利润为=2(n+-20）2（2-20）=12，当且仅当 n=，即 n=7 时上式取等号。所以，捕捞 7 年后的平均利润最大，最大是 12 万元。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagu
13、es and I in our busy schedule.We proofread the content carefully before the release of this article,but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points.If there are omissions,please correct them.I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking.Part of the text by the users care and support,thank you here!I hope to make progress and grow with you in the future.