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1、辽宁省沈阳市东北育才学校 2020 届高三上学期第三次模拟 数学（理）试题 一、单选题 1设集合|11Ax x，(,)|13 Bx yyx，则AB=（）A0,2 B1(0,)3 C D(2,)【答案】C【解析】集合|1|1(0,2)Axx，(,)|13 Bx yyx表示点集，即可得出结论【详解】解：集合|1|1(0,2)Axx为数集，(,)|13 Bx yyx表示点集，AB 故选：C【点睛】本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，比较基础 2复数2(1)41izi的虚部为（）A1 B3 C1 D2【答案】B【解析】对复数进行化简计算，得到答案.【详解】2421(1)4421 3112iiiiz
2、iii 所以z的虚部为3 故选 B 项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3已知直线1:70lxmy和2:2320lmxym互相平行，则实数m（）A3m B1m C1m 或 3 D1m 或3m 【答案】C【解析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果.【详解】由题意得17232mmm 1m 或 3,选 C.【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题.4已知向量，则“x0”是“与 的夹角为锐角”的()A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可.【详解
3、】充分性：当 x0 时，；但是当 x5 时，与 共线，与 夹角为 0，故充分性不成立，必要性：与 夹角为锐角，则，解得 x0，故必要性成立，故选 C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件.5 设ns是公差不为零的等差数列na的前 n 项和，且10a，若59ss，则当ns最大时，n=（）A6 B10 C7 D9【答案】C【解析】因为公差不为零的等差数列的前n项和ns是关于n的二次函数，59ss，所以对称轴为7n，又开口向下，所以当7n 时，ns有最大值，故选 C.6将函数sin(3)4yx的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2个单位，
4、再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（）A(,1)2 B(,1)9 C(,0)2 D(,1)4【答案】D【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项【详解】解：函数sin(3)4yx的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到图象的解析式为sin()4yx 再向右平移2个单位得到图象的解析式为sin()sin2(4)4yxx 再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14yx，令4xkkZ解得4xkkZ，故函数的对称中心为,41kkZ 当0k 时对称中心为,14，所以,14是函数sin()14yx的一个对称中心 故选：
5、D【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高 7如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是 60m，则河流的宽度 BC 等于（）A240(31)m B180(21)m C120(31)m D30(31)m【答案】C【解析】【详解】120AC，60sin75AB，sin 30sin 45ABBC，所以 sin45602120(31)sin30sin(3045)ABBC.故选 C.8三个数1.10.40.40.4,log1.1,1.1大小关系是（）A1.10.40.41.1log0.41
6、.1 B0.41.1log0.41.11.10.4 Clog0.41.11.10.40.41.1 Dlog0.41.10.41.11.10.4【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】解：1.100.41，0.41.11，0.4log1.10，10.40.4.1log0.41.1.11，故选：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9设函数 323sincos4132fxxxx，其中 50,6，则导数 1f 的取值范围是()A3 6，B3 4+3，C4-3 6，D4-3 4+3，【答案】A【解析】先对原函数进行求导可得到()f
7、x的解析式，将1x 代入可求取值范围【详解】解：323sincos()4132f xxxx 2()3sincos4fxxx(1)3sincos42sin()46f 50,621,sin(),166362 6(1)3f ,故选：A【点睛】本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题这两个方面都是高考中必考内容，难度不大 10已知点 O 是ABC内部一点，并且满足2350OAOBOC，OAC的面积为1S，ABC的面积为2S，则12SS A310 B38 C25 D421【答案】A【解析】2350OAOBOC，23OAOCOBOC 设AC中点为M，BC中点为N，则23OMON,MN为ABC的中位线，且
8、32OMON，36132255410OACOMCCMNABCABCSSSSS，即12310SS选 A 11定义域为 R 的函数()yf x,若对任意两个不相等的实数12,x x，都有11221221()()()()x f xx f xx f xx f x，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：31yxx 32(sincos)yxxxe1xy 1sinxxxyee,其中为“H 函数”的有（）A B C D【答案】C【解析】不等式11221221()()()()x f xx f xx f xx f x等价为1212()()()0 xxf xf x，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性
9、即可得到结论【详解】解：对于任意给定的不等实数1x，2x，不等式11221221()()()()x f xx f xx f xx f x恒成立，不等式等价为1212()()()0 xxf xf x恒成立，即函数()f x是定义在R上的增函数 函数31yxx，则231yx ，当33x ，或33x 时，0y，此时函数为减函数，不满足条件 32(sincos)yxxx，32(cossin)0yxx，函数单调递增，满足条件 e1xy 为增函数，满足条件 1sinxxxyee，在定义域上不具有单调性，不满足条件 综上满足“H函数”的函数为，故选：C【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的
10、单调性的形式是解决本题的关键 12经过双曲线222210 xyabab的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于,M N两点，若O为坐标原点，OMN的面积是223a，则该双曲线的离心率是（）A2 B52 C5 D62【答案】B【解析】试题分析：双曲线222210 xyabab的渐近线方程为byxa，设两条渐近线的夹角为，则222tantan1bbbbabMONaaaaab ，设FNON，则F到渐近线byxa的距离为22bcdbab，即有22ONcba，则OMN的面积可以表示为322212tan23a baa aab，解得2ab，则222225 12cabbeaaa故选 C【考点】
11、双曲线的简单性质【思路点睛】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为，由两直线的夹角公式，可得tantanMON，求出F到渐近线byxa的距离为b，即有ONaOMN，的面积可以表示为 1tan2a a，结合条件可得ab，的关系，再由离心率公式即可计算得到 二、填空题 13函数 23s34f xin xcosx（0,2x）的最大值是_【答案】1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得 22311 cos3coscos3cos44f xxxxx 23(cos)12x，由0,2x，可得cos0,1x，当3cos2x 时，函数()f x取得最大值 1 14过原点O作圆2268200 xyxy的两
12、条切线，设切点分别为PQ、,则直线PQ的方程是 _【答案】34200 xy【解析】直线PQ可看作已知圆与以OC为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可【详解】解：圆2268200 xyxy可化为22(3)(4)5xy 圆心(3,4)C，半径为5R，过原点O作C的切线，切点分别为P，Q，直线PQ可看作已知圆与以OC为直径的圆的交线，以OC为直径的圆的方程为22325224xy，即22340 xyxy，两式相减得34200 xy，即直线PQ的方程为34200 xy，故答案为：34200 xy【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合圆与圆的位置关系是解决本题的关键 15设
13、定义域为R的函数 f x满足 fxf x，则不等式 121xef xfx的解集为_【答案】(1,)【解析】根据条件构造函数 F（x）xf xe，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【详解】设 F（x）xf xe，则 F（x）xfxf xe，fxf x，F（x）0，即函数 F（x）在定义域上单调递增 121xef xfx 2121xxfxfxee，即 F（x）F（2x1）x2x1，即 x1 不等式 121xef xfx的解为1,故答案为：1,【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键 16已知椭圆221164xy的左、右焦点分别为12,F F，点P在直线:
14、382 30l xy上，当12FPF取最大值时，12PFPF_【答案】31【解析】先根据椭圆221164xy的方程得出其左右焦点分别为1(2 3F，0)、与2(2 3F，0)如图，根据平面几何知识知，当12FPF取最大值时，经过1F与2F的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出122|PFPBPFBF，最后利用相似比即可求出答案【详解】解：椭圆221164xy的左右焦点分别为1(2 3F，0)、与2(2 3F，0)如图，根据平面几何知识知，当12FPF取最大值时，经过1F与2F的圆与直线l 相切，此时圆心在y轴上，坐标为(0,2)A，在直线:382 30l xy中令0y 得
15、B的坐标：82 3,0B ，在三角形1BPF和三角形2BF P中，12BPFBF P，1BPF2BF P，221222|31|PFPBABPAPFBFBOOF 故答案为：31 【点睛】本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 三、解答题 17在ABC中，角、ABC所对的边分别为,a b c，且(2)coscos0bcAaB（1）求角A；（2）若2 5a，2 5cos5B，求BA的长度 【答案】(1)4A;(2)AB6【解析】（1）ABC中，由cos(2)cosaBcbA，利用正弦定理求得2cos2A
16、，可得A的值 （2）ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值【详解】解：（1）ABC中，由cos(2)cosaBcbA，利用正弦定理可得sincos2sincossincosABCABA，化简可得sin()2sincosABCA，即sin2sincosCCA，求得2cos2A，4A（2）由2 5cos5B，可得5sin5B，再由正弦定理可得sinsinabAB，即2 52525b，求得2 2bAC ABC中，由余弦定理可得2222cosBCABACAB ACA，即2220822 22ABAB，解得6AB 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基本知识的考查 18
17、手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式某机构对某地区年龄在 15 到 75 岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100 人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段 15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数 8 28 24 12 2 1 （1）若以 45 岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断能否
18、在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于 45 岁 年龄不低于 45 岁 使用手机支付 不使用手机支付 （2）若从年龄在55，65），65，75的样本中各随机选取 2 人进行座谈，记选中的 4 人中“使用手机支付”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 参考数据：P（K2k0）0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：22()n adbcKabcdacbd【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关（2）详见解析【
19、解析】（1）利用已知条件，求解联列表中的数值，求出 K2的观测值 k，即可判断结果（2）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可【详解】解：（1）由统计表可得，低于 45 岁人数为 70 人，不低于 45 岁人数为 30 人，可得列联表如下：年龄低于 45 岁 年龄不低于 45 岁 使用手机支付 60 15 不使用手机支付 10 15 于是有 K2的观测值2100(60 15 15 10)14.286 10.82875 25 70 30k 故可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关（2）由题意可知，X 的所有可能取值
20、为 0，1，2，3，相应的概率为：223222531010C CP XC C，112213223222225353215C C CC CP XC CC C，11122322222222535313230C C CC CP XC CC C，212222531315C CP XC C，于是 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 110 25 1330 115 所以12131220123105301515EX 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力，难度一般 19四棱锥PABCD中，PA 面ABCD，底面ABCD为菱形，且有1AB，2AP，120BAD，
21、E为PC中点（1）证明：AC 面BED；（2）求二面角EABC的平面角的余弦值 【答案】(1)证明见解析；(2)二面角 EABC 的平面角的余弦值为3311【解析】（1）因为菱形的对角线互相垂直，所以ACBD，再由PAC的中位线，得到/EOPA，结合PA 面ABCD，所以EO 面ABCD，从而ACEO最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC 面BED；（2）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得到A、B、C、E各点的坐标，从而得到向量AB、AC、AE的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE和平面ABC的一个法向量，结合空间向量的夹角公式
22、计算出它们的夹角的余弦值最后根据题意，二面角EABC是锐二面角，得到二面角EABC平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值【详解】解：（1）设O为底面ABCD的中心，连接EO，底面ABCD为菱形，ACBD PAC中，E、O分别是PC、PA的中点/EOPA 又PA 面ABCD，EO面ABCD AC 面ABCD，ACEO 又BD、EO是平面BED内的两条相交直线 AC面BED（2）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得313 13 12(0,0,0),(,0),(,0),(,)2222442ABCE 313 123 1(,0),(,),(,0)2244222
23、ABAEAC 设1111(,)nx y z是平面ABE一个法向量 由1111111131()?00223120442n ABxyzn AExyz，解得1111362yxzx，所以取11x，13y，162z ，可得16(1,3,)2n，因为PA 平面ABC，所以向量PA即为平面ABC的一个法向量，设2(0,0,2)PAn 12121262332cos,11|31322n nn nnn 根据题意可知：二面角EABC是锐二面角，其余弦值等于1233cos11,n n 二面角EABC的平面角的余弦值为3311 【点睛】本题给出底面为菱形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦
24、之值，着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点，属于中档题 20设函数()(m)xf xx e（1）求函数()f x的极值；（2）当0 x 时，()4f xx恒成立，求整数m的最大值.（参考数值2.7183e，324.4817e）【答案】(1)1()=mf xe极大值,无极小值;(2)整数m的最大值为 2【解析】（1）求出函数的定义域、导函数，即可求出函数的单调区间，则极值可求.（2）题目转化为4(0)xxmx xe恒成立，构造函数设4()xxg xxe，求出导函数，设()(3)xh xex，判断()h x的零点所在区间，可得 g x的单调性，即可表示出的 g x最小值
25、，分析得到min4916()185g x，推出结果【详解】解：（1）()f x的定义域为R,()(m1)xfxxe 令()0fx，解得1xm；令()0fx，解得1xm 当(,1)xm时，()f x单调递增，当(1,)xm时，()f x单调递减，1()=(1)极大值mf xf me；无极小值.（2）()4xmx ex，因为0 xe，所以4xxmxe（0 x）恒成立 设4g()xxxxe，则 33g()1 xxxxexxee 设h()3xxex则()1xh xe0 所以()h x在(0,)上单调递增，又23(1)40,()4.48174.50,(2)52hehhe 所以存在03(,2)2x使得0(
26、)0h x，当01,xx时，()0h x；当0,xx时，()0h x 所以()g x在01,x上单调递减，0,x 上单调递增 所以 00min04g()xxxxe 又0()0h x，3xex 所以000min00000441g()133 xxxxxxxexx 令13t()1,(,2)32 xxxx 则()0t x，所以()t x在3(,2)2上单调递增,所以3()()(2)2tt xt，即min4916()185g x 因为mZ，所以2m,所以m的最大值为 2【点睛】本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，二次导数以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题 21已知(2,0)P为椭
27、圆2222:1(0)xyCabab的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于AB、两点，当点M与坐标原点O重合时，直线PAPB、的斜率之积为1-4（1）求椭圆C的标准方程；（2）若2AMMB，求OAB面积的最大值【答案】(1)24x+y21;(2)OAB 面积的最大值为 1【解析】（1）设1(A x，1)y，1(Bx，1)y，可得2121144PAPBykkx 又2211221xyab，代入上式可得：2214ba，2a，解得b，即可得出椭圆C的标准方程（2）设直线AB的方程为：(0)xtym t，(22)m1(A x，1)y，2(B x，2)y，与椭圆方程联立化为：2
28、22(4)240tymtym，有2AMMB，可得122yy，利用根与系数的关系可得：22241694tmtOAB的面积12213|()|22Sm yymy，即可得出【详解】解：（1）设1(A x，1)y，1(Bx，1)y，则2121144PAPBykkx 又2211221xyab，代入上式可得：2214ba，又2a，解得1b 椭圆C的标准方程为：2214xy（2）设直线AB的方程为：(0)xtym t，(22)m1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立2244xtymxy，化为：222(4)240tymtym，12224mtyyt，212244my yt，2AMMB，122yy，12215
29、2yyyy，代入可得：22241694tmt OAB的面积12213|()|22Sm yymy，22222222222299416161694494(4)(94)(94)tttSmytttt 212|1214949|tSttt，当且仅当249t 时取等号 OAB面积的最大值为1 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题 22在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴极坐标，曲线1C的方程：2cos2sinxy（为参数），曲线2C的方程：8sin()4（1）求曲线1C和曲线2C的直角坐标系
30、方程；（2）从2C上任意一点P作曲线1C的切线，设切点为Q，求切线长PQ的最小值及此时点P的极坐标【答案】（1）曲线 C122(2)(2)1xy,曲线C2 x+y820;（2）|PQ|的最小值35,P 极坐标为：8,4【解析】（1）曲线1C的方程2cos(2sinxaaya为参数），消去参数可得：22(2)(2)1xy曲线2C的方程：8sin()4，化为2(sincos)82，把cossinxy代入即可得出（2）如图所示，过圆心1C作1C P 直线2C，垂足为点P，此时切线长PQ最小利用点到直线的距离公式可得1|C P221|PQC Pr，直线1C P的方程为：yx，联立8 20yxxy，解得
31、P，利用22tanxyyx即可得出P极坐标【详解】解：（1）曲线1C的方程2cos(2sinxaaya为参数），消去参数可得：22(2)(2)1xy 曲线2C的方程：8sin()4，化为2(sincos)82，8 20 xy（2）如图所示，过圆心1C作1C P 直线2C，垂足为点P，此时切线长PQ最小 1|228 2|62C P 22221|6135PQC Pr，直线1C P的方程为：yx，联立8 20yxxy，解得4 2xy(4 2,4 2)P，22(4 2)(4 2)8，4 2tan14 2，4(8,)4P 【点睛】本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、直线
32、与圆的位置关系、点到直线的距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 23设函数(1)当时，解不等式；(2)若的解集为，求证:【答案】（1）（2）(当且仅当时取等号)【解析】（1）由零点分区间的方法，去掉绝对值，分情况解不等式即可；（2）原不等式转化为，即解得 a 值即可，再由 1 的妙用，结合均值不等式得到结果.【详解】(1)当时，不等式为，或或，或 不等式的解集为(2)即，解得，而解集是，,解得，所以，(当且仅当时取等号)【点睛】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.