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1、数学选修数学选修 2-22-2 知识点总结知识点总结一、导数1函数的平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1 x)f(x1)yfx2 x1xxx注 1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均平均速度。2、导 函 数 的 概 念:函 数limy f(x)在x x0处 的 瞬 时 变 化 率 是f(x0 x)f(x0)y，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极 limx0 xx0 x限 叫 做limy f(x)在x0处 的 导 数，记 作f(x0)或y|xx0，即f(x0)=f(x0 x)f(x0)y.limx0 xx0 x3.函数的平均
2、变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数y cy xnnN*y axa 0,a 1导函数y 0y nxn1y axlnay exy exy logaxa 0,a 1,x 0y ln xy sin xy 1xlna1y xy cos xy cosxy sin x6、常见的导数和定积分运算公式:若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算积的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)特别地：CfxCf x f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)
3、0)g(x)2g(x)商的导数运算特别地：复合函数的导数微积分基本定理1g(x)2g xgx yx yuuxfxdx ab（其中Fx fx）和差的积分运算积分的区间可加性f(x)f(x)dxf(x)dxf(x)dxkf(x)dx kf(x)dx(k为常数)特别地：a12a1a2bbaabbbbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a c b)accb用导数求函数单调区间的步骤:求函数f(x)的导数f(x)令f(x)0,解不等式，得x的范畴就是递增区间.令f(x)0,解不等式，得x的范畴，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)肯
4、定函数的定义域。(2)求函数f(x)的导数f(x)(3)求方程f(x)=0 的根(4)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处获得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤以下：求f(x)在a,b上的极值；将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯独极值点就是所求的最值点；9求曲边梯形
5、的思想和步骤:分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的以下性质：性质 1a1dx b a性质 5 若f(x)0,xa,b，则af(x)dx 0推bbaabb广fm(x)ab：ba f1(x)f2(x)b fm(x)dx f1(x)dxf2(x)dxc1c21推广:af(x)dx af(x)dxcf(x)dxcf(x)dxkb11 定积分的取值情形:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还多是 0.(l）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负
6、值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积12物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。二、推理与证明知识点13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一样性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一样的推理。14.归纳推理的思维进程大致如图：实验、视察概括、推广猜测一样性结论15.归纳推理的特点:归纳推理的条件是几个已知的特别现象，归纳所得的结论是尚属未知的一样现象。由归纳推理得到的结
7、论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的料想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发觉问题和提出问题。16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的类似或相同，推演出它们在其他方面也类似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特别到特别的推理。17.类比推理的思维进程18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）依照严格的逻辑法则得到新结论的推理进程。演绎推理是由一样到特别的推理。19演绎推理的主要情势：三段论20.“三段论”可以表示为：大前题
8、：M 是 P小条件：S 是 M结论：S 是 P。其中是大条件，它提供了一个一样性的原理；是小条件，它指出了一个特别对象；是结论，它是根据一样性原理，对特别情形做出的判定。21.直接证明是从命题的条件或结论动身，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.综合法就是“由因导果”，从已知条件动身，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。视察、比较联想、类推估计新的结论23.分析法就是从所要证明的结论动身，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的情势：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常
9、结合使用，不要将它们割裂开。24 反证法：是指从否定的结论动身，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是毛病的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一样步骤（1）假定命题结论不成立，即假定结论的反面成立；（2）从假定动身，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假定不正确，即所求证命题正确。26 常见的“结论词”与“反义词”原结论词至少有一个反义词一个也没有成立对任意x不成至多有一个至少有两个立至少有n个至多有 n-1 个存在 x 使成立立原结论词反义词对所有的x都存在 x 使不成p或qp且q至多有n个至少有 n+1 个27.反证法的思维方法:正难则反28.归缪矛盾（1）与已知条件矛
10、盾:（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾p且qp或q29数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取第一个值nn N时命题成立；00(2)假定当 n=k(kN*，且kn0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题 也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确注：常用于证明不完全归纳法估计所得命题的正确性的证明。三、数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念：形如 a+bi 的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位，a叫 实部，b叫虚部，数集C a bi|a,bR叫做复数集。规定：a bi c di a=c 且，b=d 强调：两复数不能比较大
11、小，只有相等或不相等。实数(b 0)31数集的关系：复数Z一般虚数(a 0)虚数(b 0)纯虚数(a 0)32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数z abi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯独肯定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数z abi的模(也叫绝对值
12、)记作z或a bi。由模的定义可知：z a bi a2b235.复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则：z1 a bi与z2 c di，则z1 z2 a c (b d)i。注：复数的加、减法运算也能够按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则：(a bi)(c di)ac bdad bci。复数的除法法则：实数化因子a bi(a bi)(c di)acbdbc adi其中c di叫做c di(c di)(cdi)c2d2c2d236.共轭复数:两复数a bi与a bi互为共轭复数，当b 0时，它们叫做共轭虚数。常见的运算规律常见的运算规律(1)z z;(2)z z 2a,zz 2bi;(3)zz z2 z2 a2b2;(4)z z;(5)z z zR(6)i4n1 i,i4n2 1,i4n3 i,i4n41;2(7)1i2 i;(8)1i1i1i 1ii,1i i,2 i(9)设13i2是1的 立 方 虚 根，3n1,3n2,3n31则12 0，