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1、 第 1 页 共 30 页 高中数学必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个
2、特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是xR|x-32或x|x-32（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或
3、 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA，相反，a 不属于集合 A 记作 aA 6、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合 2无限集 含有无限个元素的集合 3空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 AB 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于
4、集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 子集个数为 2n.2“相等”关系(55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=BABBA且 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=
5、B 第 2 页 共 30 页 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算 1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集 记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB 3、交集与并集的性质：AA=A，A=,AB=BA，AA=A，A=A,AB=BA.4、全集与补集（1）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的
6、各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（2）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 AS），由 S 中 所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）。记作：CSA，即 CSA=x|xS 且 xA（3）性质：CU(C UA)=A (C UA)A=(C UA)A=U(4)(C UA)(C UB)=C U(AB)(5)(C UA)(C UB)=C U(AB)二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应
7、，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域 注意：1、如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式 定义域补充：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式
8、的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：定义
9、域一致；表达式相同(两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上.即记为 C=P(x,y
10、)|y=f(x),xA 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交S CuA A 第 3 页 共 30 页 点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:（1）将 y=f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=f(x)的图象如：书上 P21 例 5 （2）y=f(x)和 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称。
11、如1xxxyayaa与（3）y=f(x)和 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。如1logloglogaaayxyxx 与、平移变换:由 f(x)得到 f(xa)左加右减；由 f(x)得到 f(x)a 上加下减(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示 5映射 定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就
12、称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求
13、集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入
14、相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 补充二：复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA)称为 f 是 g 的复合函数。7函数单调性（1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，第 4 页 共 30 页 都有f(x1)f(x2
15、)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2)（或 f(x1)f(x2)）。（2）图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函
16、数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x1 0（C 为常数）时，()yf x与()yC f x的单调性相同；当 C 0 且 a1 2、指数函数的图象和性质 0a1 图 像 性质 定义域 R,值域（0，+）（1）过定点（0，1）,即 x=0 时，y=1(2)在 R 上是减函数(2)在 R 上是增函数（3）当 x0 时,0y1;当 x1（3）当 x0 时,y1;当 x0 时,0y1 图象特征 函数性质 共性 向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+图
17、象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a0 时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x0 时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x0 时,0y0 时，a,N 在 1 的同侧；当 b0 且 a1；2.真数 N0 3.注意对数的书写格式 2、两个重要对数：（1）常用对数：以 10 为底的对数,10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数,logln
18、eNN记为 3、对数式与指数式的互化 logxaxNaN 对数式 指数式 对数底数 a 幂底数 对数 x 指数 真数 N 幂 结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,loga1=0 特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)对数恒等式：log NaaN（二）对数的运算性质 如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：1、logMNloglogaaaMN（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2、NMNMaaalogloglog 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3、loglognnaaMnM（R）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍 说
19、明:1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”2)有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,)4)特别注意：NMMNaaalogloglog NMNMaaalogloglog 注意：换底公式loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbbaaccbaa 利用换底公式推导下面的结论 abbalog1log loglogloglogabcabcddloglogmnaanbbm（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数logayx(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log1ayx，l
20、og2ayx 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：a0，且 a1 第 8 页 共 30 页 2、对数函数的图像与性质：对数函数logayx(a0，且 a1)0 a 1 a 1 图像 性质 定义域：（0，）值域：R 过点(1,0),即当 x 1 时,y0 在(0,+)上是减函数 在(0,+)上是增函数 当 x1 时，y0 当 x=1 时，y=0 当 0 x0 当 x1 时，y0 当 x=1 时，y=0 当 0 x1 时，y0;当 a,b 不同在(0,1)内，或不同在(1,+)内时,有 logab0；当 a,b 在 1 的异侧时,logab 0，值域求法用单调性。、分
21、辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa，用 y=1 去截图象得到对应的底数。、y=ax(a0 且 a 1)与 y=logax(a0 且 a 1)互为反函数，图象关于 y=x 对称。y x 0(1,0)y x 0(1,0)第 9 页 共 30 页 5 比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0.6 比较大小的方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.
22、）；(3)变形后比较；(4)作差比较（三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数 2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+）上是增函数特别地，当1 时，幂函数的图象下凸；当 01 时，幂函数的图象上凸；（3）0 时，幂函数的图象在（0，+）上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于+时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：
23、对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点。（实质上是函数 y=f(x)与 x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程 f(x)=0 有实数根函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点函数 y=f(x)有零点 3、零点定理：函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的，并且有 f(a)f(b)0,那么函数 y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点 c，使得 f(c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0 的根。4、函数零点的求法：求函数 y=f(x)的零点：（1）（代数法）求方程 f(x)=0 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
24、y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 5、二次函数的零点：二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)1）0，方程 f(x)=0 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点 2）0，方程 f(x)=0 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 3）0，方程 f(x)=0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点 二、二分法 1、概念：对于在区间a,b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在 第 10 页 共 30 页 的区间一分为二,使
25、区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步骤:确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a,b)的中点 c;计算 f(c),若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点；若 f(a)f(c)0,则令 b=c（此时零点 x0(a,c)）若 f(c)f(b)0,则令 a=c（此时零点 x0(c,b)）(4)判断是否达到精确度：即若|a-b|0)指数函数：y=ax(a1)指数型函数：y=kax(k0,a1)幂函数：y=xn（nN*)对数函数：y=logax(a1)二次函数：y=ax2+bx+c(a0)增长快慢：V(ax)V(xn)V(
26、logax)解不等式 (1)log2x 2x x2 (2)log2x x2 0）的 根的分布 两个根都在（m,n)内 两个有且仅有一个在（m,n)内 x1(m,n)x2(p,q)f(m)f(n)0 两个根都小于 K 两个根都大于 K 一个根小于 K，一个根大于 K y x n m m n m n p q 02()0()0bmnafmfn ()0()0()0()0f mf nfpf q 第 11 页 共 30 页 f(k)0 高中数学必修 4 知识点 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半
27、轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角 第一象限角的集合为36036090,kkk 第二象限角的集合为36090360180,kkk 第三象限角的集合为360180360270,kkk 第四象限角的集合为360270360360,kkk 终边在x轴上的角的集合为180,kk 终边在y轴上的角的集合为18090,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90,kk 3、与角终边相同的角的集合为360,kk 4、已知是第几象限角，确定*nn所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域 5、长度等于半径长的
28、弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr y x k k k 02()0bkafk02()0bkafk 第 12 页 共 30 页 PxyAOMT7、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3 8、若扇形的圆心角为 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slrr 9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是,x y，它与原点的距离是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象
29、限余弦为正 11、三角函数线：sin，cos，tan 12、同角三角函数的基本关系：221 sincos1 2222sin1 cos,cos1 sin ；sin2tancos sinsintancos,costan 13、三角函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 2 sinsin，coscos，tantan 3 sinsin，coscos，tantan 4 sinsin，coscos，tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sincos2，cossin2 6 sincos2，cossin2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限总结：奇变偶不变，
30、符号看象限.14、函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx 的图象 第 13 页 共 30 页 函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数 sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变
31、），得到函数sinyx 的图象 函数sin0,0yx 的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R,2x xkk 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 函 数
32、 性 质 第 14 页 共 30 页 单调性 在2,222kk k上是增函数；在 32,222kk k上是减函数 在2,2kkk上是增函数；在2,2kk k上是减函数 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴2xkk 对称中心,02kk 对称轴xkk 对称中心,02kk 无对称轴 16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量 零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量 平行向量（共线向量）：方向相同或相 反的非零向量 17、向量加法运算：三角形法则
33、的特点：首尾相连 平行四边形法则的特点：共起点 三角形不等式：ababab 运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa 坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy 18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy 设、两 点 的 坐 标 分 别 为11,x y，22,xy，则1212,xxyy 19、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa；b a C abCC 第 15 页 共 30 页 当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，
34、a的方向与a的方向相反；当0时，0a 运算律：aa；aaa；abab 坐标运算：设,ax y，则,ax yxy 20、向量共线定理：向量0a a 与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba 设11,ax y，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量a、0b b 共线 21、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1 122aee（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点是线段12 上的一点，1、2的坐标分别是11,x y，22,xy，当12 时，点的坐
35、标是1212,11xxyy 23、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0 性质：设a和b都是非零向量，则0aba b当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或aa aa ba b 运算律：a bb a；aba bab；abca cb c 坐标运算：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y 若,ax y，则222axy，或22axy 设11,ax y，22,bxy，则12120abx xy y 设a、b都 是 非 零 向 量，11,ax y，22,bxy，是a与b的 夹 角，则1 21
36、222221122cosx xy ya ba bxyxy 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscoscossinsin；sinsincoscossin；sinsincoscossin；第 16 页 共 30 页 tantantan1 tantan（tantantan1 tantan）；tantantan1 tantan（tantantan1 tantan）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos 2222cos2cossin2cos1 1 2sin (2cos21cos2，21 cos2sin2）22tantan21 tan 26、辅
37、助角公式22sincossin，其中tan 必修 5 知识点总结 1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC 2、正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形 ABC 中，
38、已知 a、b、A（A 为锐角）求 B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以 AD 有无交点：当无交点则 B 无解、当有一个交点则 B 有一解、当有两个交点则 B 有两个解。法二：是算出 CD=bsinA,看 a 的情况：当 absinA，则 B 无解 当 bsinAb 时，B 有一解 D bsinA A b a C 第 17 页 共 30 页 注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac 4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscaba
39、bC 5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C 正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标 A、B,但不能到达，在岸边选取相距3千米的 C、D 两点，并测得ACB=75O,BCD=45O,ADC=30O,ADB=45O(A、B、C、D 在同一平面内)，求两目标 A、B 之间的距离。本题解答过程略 附：三角形的五个“心”；重心
40、：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.以上是高一学年的数学知识点 以下是高二上期要学的 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数 8、数列的项：数列中的每一个数 9、有穷数列：项数有限的数列 10、无穷数列：项数无限的数列 C A B D 第 18 页 共 30 页 11、递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an）12、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时，满足001mmaa的项数 m 使得ms取最大值.(2)当1a0 时，满
41、足001mmaa的项数 m 使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。附：数列求和的常用方法 1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于1nnaac其中 na是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘 第 22 页 共 30 页 的数列等。例题：已知数列an的通项为 an=1(1)n n,求这个数列的前 n 项和 Sn.解：观察后发现：an=111nn 1211111(1)()()2231111nnsaaannn 3.错位相减法:适用于nnba其中 na是等差数列，nb是各项不为 0 的等比数列。例题：已知
42、数列an的通项公式为2nnan，求这个数列的前 n 项之和ns。解：由题设得：123nnsaaaa =1231 22 23 22nn 即 ns=1231 22 23 22nn 把式两边同乘 2 后得 2ns=23411 22 23 22nn 用-，即：ns=1231 22 23 22nn 2ns=23411 22 23 22nn 得 23111111 222222(12)21 2222(1)22nnnnnnnnsnnnn 1(1)22nnsn 4.倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.第 23 页 共 30 页 5.常用结论 1）:1+2+3+.+n=2)1(nn 2）1+3+
43、5+.+(2n-1)=2n 3）2333)1(2121nnn 4）)12)(1(613212222nnnn 5）111)1(1nnnn )211(21)2(1nnnn 6）)()11(11qpqppqpq 31、0abab；0abab；0abab 32、不等式的性质：abba；,ab bcac；abacbc；,0ab cacbc，,0ab cacbc；,ab cdacbd；0,0abcdacbd；0,1nnababnn；0,1nnabab nn 33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式 34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式（高次不等式
44、）的解法 穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022110aaxaxaxannnn 解法：将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“b 解的讨论；一元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.0 0 0 +-2 1 4 x 第 25 页 共 30 页 二次函数 cbxaxy2（0a）的图象 一元二次方程 的根002acbxax 有两相异实根)(,2121xxxx 有两相等实根 abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2 R 的解集)0(02acbxax 21xxxx 对于
45、a0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf 0(或)()(xgxf0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf 例题：求解不等式：11x 解：略 例题：求不等式11xx的解集。3.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如：|x|a (a0)的不等式 的解集为：|xaxa 型如：|x|a (a0)的不等式 的解集为：|,x xaxa 或 变型：|(0)|axbc cxcaxbc 型的不等式的解集可以由解得。其中-cax+bc 等价于不等式组axbcaxbc 在解-cax+b0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设
46、 ax2+bx+c=0 的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么：若两根都大于 0，即0,0，则有000 若两根都小于 0，即0,0，则有002(0)0baf 若两根有一根小于 0 一根大于 0，即0，则有(0)0f 若两根在两实数 m,n 之间，即mn，则有02()0()0bmnaf mf n 若两个根在三个实数之间，即mtn，则有()0()0()0f mf tf n 对称轴 x=2ba y o x 对称轴 x=2ba o x y o y x X=2ba n x m o y X=2ba y o m t n x 第 28 页 共 30 页 常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的
47、参数 例如：若方程222(1)230 xmxmm有两个正实数根，求m的取值范围。解：由型得000 2224(1)4(23)02(1)0230mmmmmm111,3mmmm 或3m 所以方程有两个正实数根时，3m。又如：方程2210 xxm 的一根大于 1，另一根小于 1，求m的范围。解：因为有两个不同的根，所以由0(1)0f 2222(1)4(1)01110mm 552211mm 11m 35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式 36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组 37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对
48、,x y，所有这样的有序数对,x y构成的集合 38、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC ，坐标平面内的点00,xy 若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC 的上方 若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC 的下方 39、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC （一）由 B 确定：若0，则0 xyC 表示直线0 xyC 上方的区域；0 xyC 表示直线0 xyC 下方的区域 若0，则0 xyC 表示直线0 xyC 下方的区域；0 xyC 表示直线0 xyC 上方的区域（二）由 A 的符号来确定：第 29 页 共 30 页 先把 x 的系数 A 化为正后，看不等号方
49、向：若是“”号，则0 xyC 所表示的区域为直线 l:0 xyC 的右边部分。若是“”号，则0 xyC 所表示的区域为直线 l:0 xyC 的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线 定测：由上面（一）（二）来确定 求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。例题：画出不等式组25035250 xyyxyx所表示的平面区域。解：略 40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式 线性规划问题：求线性目标函数
50、在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解：满足线性约束条件的解,x y 可行域：所有可行解组成的集合 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 41、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数 42、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab 43、常 用 的 基 本 不 等 式：222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22ababa bR 44、极值定理：设x、y都为正数，则有：若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s若xyp（积为定值），则当xy 第 30 页 共