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1、 单元体三对面的应力已知，单元体平衡 单元体任意部分平衡 截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。2.一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。第1页/共62页二、应力状态的分类 1.主平面 无切应力的平面。2.主应力 作用在主平面上的正应力。3.应力状态的分类 任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力 。三向应力状态 三个主应力不等于零。二向应力状态 两个主应力不等于零。单向应力状态 一个主应力不等于零。第2页/共62页第二节第二节 二向应力状态分
2、析二向应力状态分析 解析法解析法 一、任意斜截面上的正应力和切应力 第3页/共62页第4页/共62页平面应力状态下任意斜截面（与z轴平行）上应力表达式 第5页/共62页 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。x、xy 是法线与x 轴垂直的面上的正应力与切应力，即x 面上的正应力与切应力；y、yx 是法线与y 轴垂直的面上的正应力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。第6页/共62页 例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F=100kN，l=2m，b=200mm，h=
3、600mm，=40o，求离支座l/4 处截面C点在斜截面n-n上的应力。解：求C 点所在截面的剪力、弯矩 求C 点在横截面上的正应力、切应力 第7页/共62页 作出点的应力状态图(压)第8页/共62页二、主应力及主平面位置 求与z 轴平行任意截面上的最大（小）正应力及方位 解得：代入平面应力状态下任意斜截面上应力表达式 第9页/共62页 max、min 作用面上=0，即0截面为主平面，max、min为主应力。对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。第10页/共62页max作用面方位角度0 max、min 作用面是互相垂直的面，为0截面和0+90o截面。第11页/共62页三、最大切应力及其作用
4、平面的位置 求与z 轴平行任意截面上的最大切应力及方位 解得：代入平面应力状态下任意斜截面上应力表达式 第12页/共62页 max、min 作用面是互相垂直的面，为1截面和1+90o截面，1=0+45o。第13页/共62页 例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大 作应力状态图 圆轴扭转时表面各点max所在平面连成倾角为45o的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏 第14页/共62页 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d=50mm，壁厚t=2mm，外力偶M=600Nm，拉力F=20kN。薄壁管截
5、面的抗扭系数可近似取为WP=d2t/2。试用解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。解：求D 点在横截面上的正应力、切应力(拉)第15页/共62页 作出D点的应力状态图(拉)第16页/共62页 求D 点的主应力和主方向及最大切应力 第17页/共62页主应力作用面的方位角 D 点最大切应力 第18页/共62页一、应力圆方程 应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，所有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。以、为横、纵坐标轴，则上式表示以为圆心 为半径的应力圆。第三节第三节 二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法第19页/共62页二、应力圆的作法 建立-坐标系
6、 连接DD与横坐标轴交于C 点，以点C 为圆心CD半径作圆 在坐标系中找到D(x,xy)和D(y,y x)两点第20页/共62页三、应力圆的应用 1.确定单元体斜截面上的应力 以CD为基线，沿与角转向相同方向转2到新半径CE，则E点坐标表示 截面的、。第21页/共62页E点横坐标 第22页/共62页E点纵坐标 第23页/共62页2.确定主应力的大小及主平面的方位 A1、B1点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。A1、B1点对应正应力的极值 第24页/共62页 max作用面方位角度0 CA1、CB1夹角为180o，所以两主平面的夹角为90o。第25页/共62页3.确定最大切应力的大小及作用
7、平面的位置 G1、G2点对应的纵坐标表示最大（小）切应力。最大（小）切应力 CG1、CG2夹角为180o，所以max、min作用面的夹角为90o；同时max作用面的外法线可由1作用面的外法线逆时针转45o 得到。由应力圆可知第26页/共62页 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d=50mm，壁厚t=2mm，外力偶M=600Nm，拉力F=20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP=d2t/2。试用解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。解：求D 点在横截面上的正应力、切应力(拉)第27页/共62页 作出D点的应力状态图 作应力圆，将cb 沿逆
8、时针转60o 得d 点，该点坐标为所求截面的应力(拉)第28页/共62页由应力圆可得 由应力圆可得 ca 到1 对应点逆时针转过67.5o ca 到3 对应点顺时针转过112.5o 第29页/共62页第四节第四节 三向应力状态分析三向应力状态分析 一、三向应力圆 单元体作用三个主应力 平行于主应力1 方向的任意斜面 I 上的正应力和切应力与1无关，可由应力圆 I 表示。同理平行于主应力2和3方向的任意斜面 II 和 III 上的正应力和切应力与2和3无关，可由应力圆 II 和 III 表示。第30页/共62页 三向应力状态中任意方向面上的正应力和切应力对应于应力圆I、II、III所围阴影区域内
9、某一点的坐标值。第31页/共62页二、最大应力 1.三向应力状态中最大（小）正应力 2.三向应力状态中最大切应力 最大切应力所在斜截面平行于2，其外法线与1 所在的平面的外法线成45o。第32页/共62页例：求图示应力状态的主应力及最大切应力。解：由题可得（主应力）主应力 最大切应力 第33页/共62页第五节第五节 梁的主应力和主应力迹线梁的主应力和主应力迹线一、梁的主应力 梁内任意点应力状态 第34页/共62页二、梁的主应力迹线 主应力的迹线曲线上任意一点的切线是该点主应力的方向。主应力1迹线 主应力3迹线 第35页/共62页第六节第六节 广义胡克定律广义胡克定律 一点应力状态由三个正应力和
10、三个切应力分量表示。对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围内时，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关。第36页/共62页x、y、z同时作用，根据叠加原理得广义胡克定律 x 单独作用 y 单独作用 z 单独作用 第37页/共62页主应变第38页/共62页二、体积胡克定律 变形前主单元体的体积 变形后主单元体边长 变形后主单元体的体积 略去高阶微量 第39页/共62页变形后主单元体的体积 单位体积的体积改变 令 体积胡克定律 体积应变与三个主应力的平均应力成正比。第40页/共62页 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.25，圆筒的平均直
11、径d=50mm，壁厚t=2mm，外力偶M=600Nm，拉力F=20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP=d2t/2。求D点图所示方向的正应变。解：求D 点在横截面上的正应力、切应力(拉)第41页/共62页 作出D点的应力状态图 求 方向的正应变 由广义胡克定律得(拉)第42页/共62页 例：图所示一薄壁容器承受内压的作用。为了测量所受内压，用电阻应变片测得环向应变的平均值为y=35010-6。已知容器材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.25，容器的平均直径D=500mm，壁厚t=10mm。求内压p。第43页/共62页解：确定应力状态 解得：第44页/共62页 根据广义胡克定律建立应
12、力与应变关系并确定容器的内压 第45页/共62页第七节第七节 弹性固体的应变弹性固体的应变能能 弹性应变能（应变能）当外力解除时，恢复的变形释放应变能而做功。超过弹性范围，塑性变形要耗散部分能量，应变能不能全部转变为功。应变能密度固体在外力作用下因变形而储存的能量。单位体积内储存的应变能。根据能量守衡第46页/共62页一、轴向拉伸或压缩的应变能 第47页/共62页二、扭转的应变能 第48页/共62页三、弯曲的应变能 1.纯弯曲 第49页/共62页2.横力弯曲 横力弯曲梁的应变能有弯曲应变能和剪切应变能。对于细长梁剪切应变能与弯曲应变能相比很小可忽略。微段弯曲应变能 全梁的应变能 第50页/共6
13、2页四、变形杆件应变能公式 线弹性情况 非线弹性情况 第51页/共62页五、应变能密度 1.单向拉压应变能密度 第52页/共62页2.剪切应变能密度 第53页/共62页3.复杂应力状态的应变能密度 三向应力状态 应变能密度体积改变能密度 畸变能密度 第54页/共62页体积改变能密度 畸变能密度 第55页/共62页 例：试以应变能密度的概念建立各向同性材料的弹性常数之间的关系。解：纯剪单元体主应力 建立纯剪单元体的应变能密度表达式 建立纯剪单元体的主应力的应变能密度表达式 第56页/共62页 例：简易起重机如图，FP=30kN。BD杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长l2=3m。弹性
14、模量E2=210GPa。BC是两条横截面面积为172mm2的钢索，弹性模量E1=177GPa。不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。解：BC钢索的长度 BD杆的长度 BC钢索的横截面面积 BD杆的横截面面积 第57页/共62页杆系应变能 BC钢索的拉力 BD杆的压力 载荷作功 第58页/共62页 例：试由应变能密度计算公式导出横力弯曲的弯曲应变能和剪切应变能。解：设横截面弯矩和剪力分别为M(x)、FQ(x)，则距中性轴为y处的应力 该点弯曲应变能密度和剪切应变能密度 第59页/共62页该点弯曲应变能密度和剪切应变能密度 距中性轴为y处取体积dV=dAdx，此处弯曲应变能和剪切应变能第60页/共62页距中性轴为y处取体积dV=dAdx，此处弯曲应变能和剪切应变能 整个梁弯曲应变能和剪切应变能 第61页/共62页感谢您的观看。第62页/共62页