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1、习题3-1(p86)（6）确定下列集合的幂集a)a,a b)1,2,3解答：a)a,a,a,a,b),1,2,3这种题目通常通过|P(A)|=2|A|来计算幂集中元素的个数，然后验证解答是否正确，抓住这个，我们可以计算难题第1页/共38页习题3-1(p86)（6）确定下列集合的幂集d)P()e)P(P()(习题)解答：d)没有元素，所以|P()|=20=1，P()=，P(P()=,(21)e)P(P(P()=P(P()=P(,)=,(22)第2页/共38页习题3-1(p86)(7)设A=,B=P(P(A)。问：a)是否 B？是否 B?b)是否 B？是否 B？c)是否 B?是否 B?解答：由上题
2、得到：P(P()=,所以a)B，B；b)B,B;c)B,B (拆括号法)第3页/共38页习题3-2(p95)(5)证明：对任意集合A，B，C，有a)(A-B)-C=A-(BC)证明：x (A-B)C x (A-B)x C x A x B x C x A x (BC)x A-(BC)所以(A-B)-C=A-(BC)第4页/共38页习题3-2(p95)8.a)已知AB=AC，是否必须B=C？b)已知A B=A C，是否必须B=C？c)已知AB=AC，是否必须B=C？a).A=1,2,B=3,C=2,3为反例b).A=1,2,B=1,C=2为反例c).AB=AC AAB=AAC B=C B=C第5页
3、/共38页习题3-2(p95)a)A (BC)=(A B)(A C)左边=A(B-C)(C-B)=A(BC)(C B)=(ABC)(ABC)右边=(AB)(AC)(AC)(AB)=(ABA)(ABC)(ACA)(ACB)=(ABC)(ABC)第6页/共38页习题3-3(p100)(5)A1:学数学，A2：学物理，A3：学生物|A1|=67,|A2|=47,|A3|=95|A1 A3|=26,|A1 A2|=28,|A2 A3|=27N=200，|(A1A2A3)|=50又|A1A2A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1 A3|-|A1 A2|-|A2 A3|+|A1 A2A3|所以200
4、-50=67+47+95-26-28-27+|A1 A2A3|，因此|A1 A2A3|=22第7页/共38页习题3-4(p105)(3)下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？b)(A B)(C D)=(AC)(BD)d)(A B)C=(AC)(BC)b)A=1,2,B=1,C=1,2,D=1(A B)(C D)=(AC)(BD)=,第8页/共38页习题3-4(p105)d)(A B)C(x A x B y C)(x A y C y C)(x A y C)(x B y C)AC BC(AC)(BC)所以(A B)C=(AC)(BC)第9页/共38页习题3-4(p105)(4)证明：若XX=YY
5、，则X=Y证：（1）XX，则 YY，所以xY，X Y；（2）反之，设 YY,则 XX，y X，Y X；所以X=Y 第10页/共38页习题3-5(p110)(5)对式中所给出A上的二元关系，试给出关系图|0 x y 3，A=0,1,2,3,4R=,第11页/共38页习题3-5(p110)(6)对0,1,2,3,4,5,6上的二元关系，|xy x是质数，写出关系矩阵。解：R=,第12页/共38页习题3-5(p110)(7)设P=,和Q=,找出PQ,P Q,dom P,domQ ran P,ran Q,dom(P Q),ran(P Q)解：PQ=,PQ=,domP=1,2,3,domQ=1,2,4r
6、an P=2,3,4,ran Q=2,3,4dom(P Q)=2,ran(P Q)=4第13页/共38页习题3-6(p113)(1)分析集合A=1,2,3上的下述五个关系。R=,S=,T=,判断A中的上述关系是不是a)自反的，b)对称的，c)可传递的，d)反对称的。解答：（1）R满足反对称性和传递性；（2）S满足自反、对称和传递性（3）T满足反对称性。,破坏传递第14页/共38页习题3-6(p113)(2)给定A=1,2,3,4,考虑A上的关系R，若R=,a)在AA的坐标图中标出R，并绘出它的关系图；b)R是自反的，对称的，可传递的，反对称的吗？解答：1234可传递的，反对称的第15页/共38
7、页习题3-6(p114)(6)设R是集合X上的一个自反关系。求证：R是对称和传递的，当且仅当和在R之中则有在R之中。证明：（1）若R是对称的，则由和在R中，因此,在R中，R是传递的，因此在R中，由对称，在R中；（2）a,b,c任意，a取c，、和在R中，故R对称；因此由在R中知道在R中，,在R中，推出R传递。第16页/共38页习题3-7(p118)(1)设R1和R2是A上的任意关系，说明以下命题的真假，并予以证明a)若R1和R2是自反的,则R1R2也是自反的c)若R1和R2是对称的,则R1R2也是对称的解答：a）成立，在R1中有R1，在R2中有 R2,因此 R1R2，有自反性。c）不成立，设R1
8、=,R2=,则R1R2=,无对称性。第17页/共38页习题3-7(p119)(5)R是A上的一个二元关系，如果R是自反的，则Rc一定是自反的吗？如果R是对称的，则Rc一定是对称的吗？如果R是传递的，则Rc一定是传递的吗？解答：（1）R自反，R，所以 Rc，Rc自反；（2）R对称，Rc=R，也对称；（3）,R ,Rc,因此满足传递性第18页/共38页习题3-8(p127)(2)设集合A=a,b,c,d,A上的关系R=,a)用矩阵运算和作图方法求出R的自反闭包、对称闭包和传递闭包。b)用Warshall算法求出R的传递闭包解答：图略，直接解说传递性，要解说一步边、两步边、三步边、四步边abcd第1
9、9页/共38页习题3-8(p127)矩阵运算，(加法为析取)自反M1=M+Ix,对称M2=M+Mc，传递M3=M1+M12+M13+M14b)第20页/共38页习题3-8(p127)(7)设R1和R2是A上的关系，证明：a)r(R1R2)=r(R1)r(R2)b)s(R1R2)=s(R1)s(R2)解答：a）左边=R1 R2 I，右边=R1 I R2 I=R1 R2 I b）左边=R1R2(R1R2)c=R1R2 R1cR2c 右边=R1R1cR2 R2c，两边相等第21页/共38页习题3-9(p130)(4)题略。证明：（1）Ai不包含于Aj，因此Ai不可能为空集；（2）有Ai Aj=，这是
10、因为若有Ai Aj不为空，设共同元素有x，因此Ai中的元素ai和Aj中的元素aj，由题意有 R,R，由对称和传递，可以得到 R,因此ai，aj在一个集合中，因此Ai=Aj，这和Ai、Aj互不包含相排斥。（3）a A，由自反性，R,因此a和a在某个子集As中，由a的任意性，遍历s，得到a A1 A2 Ak。（a A1 A2 Ak推出a A显然，上面可以证明a A 推出a A1 A2 Ak），因此A1 A2 Ak=A第22页/共38页习题3-10(p134)(3)给定集合S=1,2,3,4,5，找出S上的等价关系R，此关系R能够产生划分1,2,3,4,5并画出关系图。R=1,22 32 4,52
11、=,关系图分为三部分，为两个完全2边形和一个完全0边形（用画笔画一下）第23页/共38页第24页/共38页习题3-10(p135)(6)设R是集合A上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a，在A中同时也存在一个b，使在R中，则R是一个等价关系。证明：只需证明R是自反的。对于任意的a，存在b，有 R，由对称性 R；由传递性，R，因此R是自反的，所以R是一个等价关系。第25页/共38页习题3-11(p139)(1)设R是X上的二元关系，试证明r=Ix R Rc是X上的相容关系。证明：（1）Ix，因此 r，r自反；（2）R,则 Rc，因此 r并且 r,r是对称的。因此r是相容关系。第26页
12、/共38页习题3-11(p139)(2)题目省略。解答：完全覆盖为(最大相容类集合)：x1,x2,x3,x1,x3,x6x3,x5,x6,x3,x4,x5x3x5x4x2x6x1第27页/共38页习题3-11(p139)(4)设C=A1,A2,An为集合A的覆盖，试由此覆盖确定A上的一个相容关系。并说明在什么条件下，此相容关系为等价关系。R=A1A1 A2A2 AnAn当R满足传递性，此相容关系为等价关系，一般的，只要C不仅是一个覆盖，还是一个划分的时候，R就能满足传递性，R就是等价关系。第28页/共38页习题3-12(p145)(1)设集合为3,5,15,1,2,3,6,12,3,9,27,
13、54，偏序关系为整除，画出这些集合的偏序关系图，并指出哪些是全序关系。第3个图代表全序第29页/共38页习题3-12(p146)(6)题见书本 极大元 最大元 极小元 最小元 P x1 x1 x4、x5 无 上界 上确界 下界 下确界x2,x3,x4 x1 x1 x4 x4x3,x4,x5 x1,x3 x3 无 无 x1,x2,x3 x1 x1 x4 x4第30页/共38页习题3-12(p146)(7)题目省略画哈斯图，注意先看出射点和入射点，全序和良序只为（c）图第31页/共38页习题4-1(p151)(1)题目省略解答：(a)都不是；(b)都不是;(c)是满射(d)都不是,(i=-1和i=
14、1,值相同)(e)是双射第32页/共38页习题4-1(p151)(5)假定X和Y是有穷集合,找出从X到Y存在入射的必要条件是什么?解答：1）x1x2,则f(x1)f(x2),即y1 y2 2）Y集合的点多，X集合的点少，即|Y|X|条件1）、2）分别为从X到Y存在入射的必要条件，条件1）、2）合起来是充要条件第33页/共38页习题4-2(p156)(1)题目省略解答：f要有f-1，f必须为双射，构造f=,f2=,f3=f f2=fI=ff-1=,=ff f-1=,令g=f，g2=f2=I第34页/共38页习题4-2(p156)(3)要证明c，只需要证明a）、b），a）比较明显，按定义即可。对于b）用反证法，就可以得到；即若g不是入射的，那么存在不同的x1,x2，使得g(x1)=g(x2),那么有f(g(x1)=f(g(x2)，说明f复合g的函数不是入射的，矛盾。由a）、b），并且双射的定义（既是满射，也是入射）就可以证明了。第35页/共38页习题4-4(p164)(1)构造双射函数，说明等势a)A=(0,1)，B=(0,2)解答：a)y=2x第36页/共38页习题4-4(p170、173)(1)都为0(1)p171例题1讲解一下。第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页