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1、一、函数概念及其表示1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),xA.2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域;常用的函数表示方法有:解析法、列表法、图象法.第1页/共126页3.分段函数:若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数就称为分段函数.二、函数的性质1.单调性:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区
2、间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数).2.奇偶性:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第2页/共126页3.最值:最大值:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.最小值:设函数y=f(x)的定义域为I
3、,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.4.周期性:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T为一个周期.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第3页/共126页三、指数、对数及运算1.指数幂的运算性质:aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr.2.对数的运算性质:如果a0,a1,M0,N0,则loga(MN)=logaM+logaN,loga=logaM-logaN,logaMn=nlogaM
4、(nR);换底公式:logaN=(a0,a1,N0,m0,m1).重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第4页/共126页四、指数函数与对数函数指数函数y=ax对数函数y=logax0a10a1定义域 R(0,+)值域(0,+)R图象过定点(0,1)(1,0)单调性 递减递增递减递增图象重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第5页/共126页五、函数与方程1.函数零点:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续
5、不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,则f(x)在该区间上为增函数;如果f(x)0,则f(x)在该区间上为减函数.3.曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧的为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧的为正.4.在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.先求函数f(x)在(a,b)内的极值,再将函数f(x)的各极值与f(a)和f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第8页/共126页近几年高考对函数与导数这部分的考查,既可以是选择、填空这样的客观题,也可以是解答题,通常在客观题中考查函数的
6、概念、性质以及导数的几何意义等基础知识,而在解答题中通常综合考查函数的性质、导数在研究函数中的应用,有时会与不等式等综合考查.预测2012年关于函数与导数的命题趋势,仍然是难易结合,既有基础题也有综合题.基础题以考查基本概念与运算为主,主要考查函数性质及图象,同时考查导数的基础知识,知识载体主要是重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第9页/共126页三次函数、指数函数、对数函数及分式函数.综合题主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;(2)考查以函数为载体的实际应用题;(3)函数、导数与不等式等综合题.涉及到的主要思想方法有:数形结合思想、分
7、类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第10页/共126页题型一函数的概念与性质函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等是函数的核心所在,也是高考必考内容.高考试题主要考查三类性质的判定及其应用.在具体问题中要加强三类性质的整合,充分挖掘有效信息,如图象、过定点、最值、渐近线等,切实提高分析问题与解决问题的能力.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第11页/共126页例1(1)定义在R上的函数f(x)满足:对于任意,R,总有f(+)-f()+f()=2011,则下列说法正确的是()(A)f
8、(x)-1是奇函数.(B)f(x)+1是奇函数.(C)f(x)-2011是奇函数.(D)f(x)+2011是奇函数.(2)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则()(A)f(x1)0,f(x2)0.(B)f(x1)0.(C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第12页/共126页(3)对于定义在R上的函数f(x),有下述四个命题,其中正确命题的序号为(写出所有正确命题的序号).若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;若对xR,有f(x+1)=f(x-1
9、),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称;若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数;函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称.【分析】(1)紧紧抓住奇函数的概念和性质:对于任意的xR,有f(-x)=-f(x),f(0)=0.(2)本题关键是把转化成,从而看出了它在(1,+)上是单调递增函数.(3)本题主要考查函数的奇偶性、周期性、对称性以及图象的平移变换等知识.【解析】(1)依题意,取=0,得f(0)=-2011;取=x,=-x,得f(0)-f(x)-f(-x)=2011,f(-x)+2011=-f(x)-f(0)=-f(x)+2011,因此函
10、数f(x)+2011是奇函数,选D.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第13页/共126页(2)由于函数g(x)=-在(1,+)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)0,故选B.(3)f(x-1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到,又f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称,故正确.由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)的周期为2,无法判断其对称轴,故错误
11、.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第14页/共126页f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)关于y轴对称,故f(x)为偶函数,正确.y=f(1+x)的图象是由y=f(x)的图象向左平移一个单位后得到,y=f(1-x)是由y=f(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到,两者图象关于y轴对称,故错误.【答案】(1)D(2)B(3)重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第15页/共126页(1)凡是定义域为R的奇函数g(x),一定有g(0)=0,从而想到令=0,得f(0)=-2011,所以f(0)+2011=0
12、,从而猜想函数h(x)=f(x)+2011是奇函数,并用定义证明即可.(2)弄清“反比例函数”型的双曲线的单调性,再根据“单调性相同的两个函数的和的单调性不变”解出本题.(3)研究函数,一定要从它的单调性、奇偶性、周期性和图象的对称性上普遍联系起来考查,这样才能全面、系统地把握住函数.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第16页/共126页同类拓展1(1)设f(x)是偶函数且其图象是连续的,当x0时是单调函数,则满足f(x)=f()的所有x之和为()(A)-3.(B)3.(C)-8.(D)8.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x0,
13、2时,f(x)=x2-2x,则当x-4,-2时,f(x)的最小值是()(A)-.(B)-.(C).(D)-1.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第17页/共126页(3)(2011年新课标全国卷)已知函数y=f(x)的周期为2,当x-1,1时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有()(A)10个.(B)9个.(C)8个.(D)1个.【解析】(1)因为f(x)是连续的偶函数,且x0时是单调函数,由偶函数的性质可知,若f(x)=f(),只有两种情况:x=;x+=0.由知x2+3x-3=0,故两根之和为x1+x2=-3.由知
14、x2+5x+3=0,故两根之和为x3+x4=-5.因此满足条件的所有x之和为-8.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第18页/共126页(2)由f(x+2)=3f(x),当x0,2时,f(x)=x2-2x,当x=1时f(x)取得最小值.所以,当x-4,-2时,x+40,2,所以,当x+4=1时f(x)有最小值,即f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(1)=-.(3)由数形结合可知在y=f(x)与y=|lgx|在(0,1)内有一个交点,在(1,9)内共4个周期,每个周期内有两个交点,在(9,10)内有一个交点.所以共10个交点.故选A.【答案】(1)C(
15、2)A(3)A重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第19页/共126页函数与方程思想是重要的一种数学思想,高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多.在小题中既有利用函数处理方程问题也有通过方程处理函数问题.函数的图象是函数的一种重要表示方法,也是高考的热点之一.题型二函数与方程、函数的图象与变换重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第20页/共126页例2(1)函数f(x)=的零点个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(2)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b
16、的取值范围为()(A)2-,2+.(B)(2-,2+).(C)1,3.(D)(1,3).(3)已知方程|2x-1|-|2x+1|=a+1有实数解,则a的取值范围为.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第21页/共126页【分析】(1)分别考虑函数在相应范围内的零点个数,其中f(x)=lnx-x2+2x(x0)的零点个数可转化为两个函数y=lnx与y=x2-2x(x0)的交点个数,借助于图形可得.(2)分别计算出两个函数的值域,只要g(b)的取值落在函数f(x)的值域内即可.(3)要使方程有实数解,只要a+1的取值落在函数y=|2x-1|-|2x+1|的值域内即
17、可.【解析】(1)在同一坐标系中作出函数y=lnx与y=x2-2x(x0)的图象如图,可知f(x)在x0时有两个零点;x0时,由2x+1=0得x=-.所以选D.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第22页/共126页重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第23页/共126页(2)由题可知f(x)=ex-1-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+11,若有f(a)=g(b),则g(b)(-1,1,即-b2+4b-3-1,解得2-b2+.(3)函数y=|2x-1|-|2x+1|=的值域为-2,0),则-2a+10,所以-3
18、a-1.【答案】(1)D(2)B(3)-3,-1)(1)方程与函数问题是相互转化的,如函数零点个数(或取值范围)问题可转化为方程解的个数(或取值范围)也可转化为两个函数图象的交点个数(或交点横坐标的取值范围)问题.(2)本题的方程问题是转化为函数的取值问题,进而解不等式求解的.(3)方程有解问题常可转化为两函数图象有交点问题,进而转化为函数值域求解.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第24页/共126页同类拓展2(1)已知函数f(x)=()x-log2x,实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)0(0abc),若实数x0是方程f(x)=0的一个解,那么下列
19、不等式中,不可能成立的是()(A)x0b.(C)x0c.(2)已知函数f(x)=,则函数y=f(1-x)的大致图象是()重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第25页/共126页(3)已知函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且x-1,1时,f(x)=x2,则方程f(x)=log3|x|的解的个数为.【解析】(1)如图所示,方程f(x)=0的解即为函数y=()x与y=log2x的图象交点的横坐标x0.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第26页/共126页易知f(x)=()x-log2x在(0,+)上是减函数,又f(a
20、)f(b)f(c)0(0abc),f(c)一定是负数.根据图象可知x0c不可能成立,故选D.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第27页/共126页(2)在同一坐标系内作出f(x)=2x(x1)和f(x)=lox(x1)的图象,利用关于y轴对称,即可得到y=f(-x)的图象,再将图象向右平移一个单位即可得到函数y=f(1-x)的图象,故选C.(3)f(x+1)=f(x-1),f(x+2)=f(x),T=2.在同一坐标系中作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象(如图),由图可知两函数的图象恰好有4个交点,所以方程的解的个数为4.【答案】(1)D(2)C(
21、3)4重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第28页/共126页导数的概念及其运算是导数应用的基础,也是高考重点考查的对象,小题侧重考查导数本身基础知识、导数的几何意义或利用导数确定函数的单调性、极值和最值.题型三导数及其应用重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第29页/共126页例3(1)设函数f(x)=x2+lnx,若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=ax+b,则a=,b=.(2)曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.【分析】(1)利用导数公式求出函数的导数,利用导数的几何意义得切
22、线斜率,进而求出相关值.(2)由切点在曲线上以及导数的几何意义列方程组求解;利用导数公式求出函数导数,利用导数的几何意义得切线斜率,写出切线方程,再利用面积计算公式列式求解.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第30页/共126页曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0),曲线在某点处的切线问题常用到:切点在曲线上、切点在切线上以及曲线在该点处的切线斜率为函数在该点处的导数值.【解析】(1)由题知,f(1)=12+ln1=1,又因为切点在切线上,于是有a+b=1.因为f(x)=2x+,所以a=f(1)=3,所以b
23、=-2.(2)y=x2+1,切线方程为y-=2(x-1),切线与两坐标轴的交点分别为(,0),(0,-),所以围成的三角形的面积为=.【答案】(1)3-2(2)重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第31页/共126页同类拓展3(1)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为()(A),0.(B)0,.(C)-,0.(D)0,-.(2)不等式ex-xax的解集为P,且0,2P,则实数a的取值范围是.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第32页/共126页【解析】(1)f(x
24、)=3x2-2px-q,由f(1)=0,f(1)=0得,解得,f(x)=x3-2x2+x.由f(x)=3x2-4x+1=0,得x=或x=1,进而求得当x=时,f(x)取极大值,当x=1时,f(x)取极小值0,故选A.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第33页/共126页(2)因为ex-xax的解集为P,且0,2P,所以对任意x0,2,ex-xax恒成立,当x=0时,不等式成立,故0 x2时,a-1恒成立.令g(x)=-1,则g(x)=,当10,当0 x1时,g(x)0.所以当x=1时,g(x)取得最小值e-1,所以a的取值范围是(-,e-1).【答案】(1)
25、A(2)(-,e-1)重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第34页/共126页二次函数是中学数学重要的函数模型之一,与一元二次方程、一元二次不等式具有密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考中有很多数学试题与三个“二次”有关,既有选择题、填空题,也有解答题,常涉及函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化思想.题型四二次函数重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第35页/共126页例4已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0,b0时,g(x)在2,3上为增函数,故.当a0时,g(x)在2,3上为减函数
26、,故.bf(x)af(x)max.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第38页/共126页同类拓展4已知a0,函数f(x)=x|x-a|+1(xR).(1)当a=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值;(2)当a(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间1,2上的最小值.【解析】(1)x|x-1|+1=x,解得x=-1或x=1.(2)f(x)=重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第39页/共126页当0a1时,x1a,这时,f(x)=x2-ax+1,对称轴x=1,函数y=f(x)在区间1,2上递增,f(x)min=f(1)=2-
27、a;当1a2时,x=a时函数f(x)min=f(a)=1;当2a3时,x2a,这时,f(x)=-x2+ax+1,对称轴x=(1,),f(1)=a,f(2)=2a-3,因为(2a-3)-a=a-30,所以函数f(x)min=f(2)=2a-3.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第40页/共126页题型五利用导数研究函数的性质利用导数研究可导函数的性质是高考的重点及热点,尤其是利用导数解决函数的单调性和极值,通过研究导函数值的符号特征(正或负)来研究单调性,从而研究并求出极值.利用导数研究函数的性质时,常要用好原函数和导函数的图象,同时要注意这两个函数在图象上的
28、联系和研究侧重点的差异.高考对这部分的考查常是解答题,常见题型有:(1)根据函数解析式,求函数的单调区间或极值(最值);(2)根据函数的单调性或极值求解参数问题;(3)求解与函数单调性、极(最)值相关的其它问题,如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第41页/共126页例5(2011年江西)设f(x)=x3+mx2+nx.(1)如果g(x)=f(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)的解析式;(2)如果m+n0,即m2n.不妨设为x1,x2,则|x2-x1|=2(m,nN+)为正整数.故m2时才可能有符合条件的
29、m,n,当m=2时,只有n=3符合要求;当m=3时,只有n=5符合要求;当m4时,没有符合要求的n.综上所述,只有m=2,n=3或m=3,n=5满足上述要求.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第43页/共126页二次函数在高中函数与导数这部分内容中应用十分广泛,基本围绕着它的单调性及最值展开;函数f(x)的单调递增(减)区间长度为正数f(x)=0有2个不同的实数根.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第44页/共126页同类拓展5已知函数f(x)=的图象过点(-1,2),且在x=处取得极值.(1)求实数b,c的值;(2)求f
30、(x)在-1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.【解析】(1)当x1时,f(x)=-3x2+2x+b,由题意得:,即,解得:b=c=0.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第45页/共126页(2)由(1)知:f(x)=当-1x0得0 x;解f(x)0得-1x0或x0时,f(x)在1,e上单调递增,f(x)在1,e上的最大值为a.综上:当a2时,f(x)在-1,e上的最大值为a;当a0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a(a0)元.(1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的
31、年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入,试求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即x多大时),能使这100万农民的人均年收入达到最大?重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第49页/共126页【分析】(1)正确地列出从事传统农业的农民的年总收入建立关系式后即可求出x;(2)建立100万农民的人均年收入关于x的函数关系式,求出函数值最大时自变量x的值.【解析】(1)由题意得(100-x)3000(1+2x%)1003000,即x2-50 x0,解得0 x50.又x0,0 x50.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本
32、与创新设计试题备选第50页/共126页(2)设这100万农民的人均年收入为y元,则y=-x-25(a+1)2+3000+375(a+1)2(0 x50).若当025(a+1)50,即050,即a1,则函数y在(0,50上单调递增,当x=50时,y取最大值.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第51页/共126页故当01时,安排50万人进入企业工作,才能使这100万农民的人均年收入最大.解决函数实际应用问题的关键有两点:一是认真审题,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是正确建立相应的函数模型,最终求解数学问题,使实际
33、问题获解.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第52页/共126页同类拓展6(2011年江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.(1)某广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋
34、势专题训练回归课本与创新设计试题备选第53页/共126页【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=x,h=(30-x),0 x0;当x(20,30)时,V0.所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.此时=,即包装盒的高与底面边长的比值为.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第55页/共126页导数是研究函数的重要工具,由于函数与方程、不等式的紧密联系,高考常考查利用导数来研究方程、不等式的综合题,题型为解答题,通常属中档题或难题.题型七利用导数研究方程的根(函数零点)或不等式综合重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本
35、与创新设计试题备选第56页/共126页例7(2011年辽宁)设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)2x-2.【分析】(1)由切点坐标和切线斜率为2,可得到关于a,b的方程,解之即可;(2)构造函数g(x)=f(x)-(2x-2),利用导数法判断函数g(x)的单调性,则结论可得到证明.【解析】(1)f(x)=1+2ax+.由已知条件得即解得a=-1,b=3.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第57页/共126页(2)f(x)的定义域为(0,+),由(1)知f(x)
36、=x-x2+3lnx.设g(x)=f(x)-(2x-2)=-x-x2+3lnx+2,则g(x)=-1-2x+=-.当0 x0;当x1时,g(x)0时,g(x)0,即f(x)2x-2.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第58页/共126页导数法是求解函数性质常用的方法,要能够熟练的掌握应用导数法来求函数的单调性、最值、极值等问题,具体问题也要能够将所求问题转化为相应的熟悉问题来解答.分类讨论问题是难点所在.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第59页/共126页同类拓展7已知函数f(x)=ax3+bx2+cx-1的导函数为f(
37、x),且不等式f(x)0的解集为x|-2x1.(1)若函数f(x)的极大值为0,求实数a的值;(2)当x满足不等式f(x)+6a(x+1)0时,关于x的方程f(x)-ma+1=0有唯一实数解,求实数m的取值范围.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第60页/共126页【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c,f(x)0的解集为x|-2x1,a0,且方程f(x)=3ax2+2bx+c=0的两根为-2,1.即f(x)=ax3+ax2-6ax-1,f(x)=3ax2+3ax-6a(a0).即函数f(x)在(-2,1)上单调递增;在(-,-2),(1,+)上单调递
38、减.函数f(x)在x=-2处有极小值,在x=1处有极大值.f(1)=0,即a+a-6a-1=0,解得a=-.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第61页/共126页(2)由f(x)+6a(x+1)0,得3ax(x+3)0.a0,得x1.函数u(x)在-3,-2上单调递增,在(-2,0上单调递减.故umax=u(-2)=10,又u(-3)=,u(0)=0.当m=10或m0,)时,直线y=m与函数u(x)(x-3,0)的图象有唯一公共点.m0,)10.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第63页/共126页题型八函数导数与数列不等
39、式等综合问题数列是特殊的函数,不等式与函数紧密相联,高考经常将函数、导数、数列及不等式相结合,一般难度较大,常作为压轴题.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第64页/共126页例8已知函数f(x)=(a,b,c为常数,a0).(1)若c=0时,数列an满足条件:点(n,an)在函数f(x)=的图象上,求an的前n项和Sn;(2)在(1)的条件下,若a3=7,S4=24,p,qN*(pq),证明:Sp+q(S2p+S2q).【分析】(1)由点(n,an)在函数图象上可得数列的通项公式,由通项特征可求出Sn;(2)将第3项与前4项和写出,求出参数值,写出Sn,再
40、利用作差比较法证明不等式.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第65页/共126页【解析】(1)依条件有f(x)=ax+b.因为点(n,an)在函数f(x)=ax+b的图象上,所以an=f(n)=an+b.因为an+1-an=a(n+1)+b-(an+b)=a,所以an是首项为a1=a+b,公差为d=a的等差数列.所以Sn=n(a+b)+a=nb+a.即数列an的前n项和Sn=nb+a.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第66页/共126页(2)依条件有即解得所以an=2n+1,所以Sn=n2+2n.因为2Sp+q-(S2p
41、+S2q)=2(p+q)2+2(p+q)-(4p2+4p)-(4q2+4q)=-2(p-q)2,又pq,所以2Sp+q-(S2p+S2q)0.即Sp+q0,解得0 x9;令导数y=-x2+819.所以函数y=-x3+81x-234在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+)上是减函数,所以在x=9处取得极大值,也是最大值,故选C.分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第73页/共126页(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?这两题的函数背景都是三次函数,且都是求利润最值
42、问题,因此,可以认为它们是完全相似的.尽管这两题都很简单,但高考命题还是会从课本中取材,注重双基,也是高考命题的一个原则,希望能引起师生的注意.创新设计1.设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意xM(MD),有x+lD,且f(x+l)f(x),则称函数f(x)为M上的l高调函数.现给出下列命题:重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第74页/共126页函数f(x)=()x是R上的1高调函数;函数f(x)=sin2x为R上的高调函数;如果定义域为-1,+)的函数f(x)=x2为-1,+)上的m高调函数,那么实数m的取值范围是2,+).其中正确的命
43、题是.(写出所有正确命题的序号)【解析】xR,x+1R.又f(x)=()x在R上是减函数,()x+1()x即f(x+1)f(x).错.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第75页/共126页【答案】xR,x+R.f(x+)=sin2(x+)=sin2x=f(x).正确.f(x)=x2为-1,+)上的m高调函数,f(x+m)f(x)即(x+m)2x2,2mx+m20对于x-1,+)恒成立.或.m2,即正确.正确命题是,.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第76页/共126页2.已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,
44、n)为切点的切线的倾斜角为.(1)求m,n的值;(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)k-1997对于x-1,3恒成立,如果存在,请求出最小的正整数k,如果不存在,请说明理由.【解析】(1)f(x)=3mx2-1,依题意,得f(1)=tan,即3m-1=1,m=.f(1)=n,n=-.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第77页/共126页(2)令f(x)=2x2-1=0,得x=.当-1x0;当-x时,f(x)=2x2-10;当x0.又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(3)=15,因此,当x-1,3时,-f(x)15.要使得不等式f(x)k-
45、1997对于x-1,3恒成立,则k15+1997=2012.所以,存在最小的正整数k=2012,使得不等式f(x)k-1997对于x-1,3恒成立.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第78页/共126页一、选择题1.函数y=的值域为()(A)(-,1).(B)(,1).(C),1).(D)(,+).【答案】C【解析】x2+11,01,故y0,则AB等于()(A)0,1(2,+).(B)(0,12,+).(C)(0,1.(D)0,2.【解析】A=x|0 x1,所以AB=x|0 x1或x2.【答案】B重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计
46、试题备选第80页/共126页3.在平面直角坐标系中,函数f(x)=2x+1与g(x)=21-x图象关于()(A)原点对称.(B)x轴对称.(C)y轴对称.(D)直线y=x对称.【解析】y=2x的图象左移一个单位得y=2x+1的图象,y=2-x的图象右移一个单位得y=21-x的图象,而y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.f(x)与g(x)的图象关于y轴对称.【答案】C重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第81页/共126页4.设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0 x2,则函数f(x)的单调递减区间是()(A)(0,).(B)(,).(C)(,).(
47、D)(,2).【答案】C【解析】f(x)=1+sin(x+),0 x2,x+2+,由f(x)0得sin(x+)-,x+x0,a=-1.故f(-1)=-1+1=-.【解析】f(x)=x2+2ax+(a2-1),重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第89页/共126页11.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4),当x2时,f(x)单调递增,如果x1+x24,且(x1-2)(x2-2)0,则f(x1)+f(x2)的值()(A)恒小于0.(B)恒大于0.(C)可能为0.(D)可正可负.【解析】因为(x1-2)(x2-2)0,若x1x2,则有x12x2,
48、即2x22时,f(x)单调递增且f(-x)=-f(x+4),所以有f(x2)f(4-x1)=-f(x1),f(x1)+f(x2)0;若x2x1,同理有f(x1)+f(x2)0时,函数f(x)在R上是单调增函数;当b0时,函数f(x)在(-,0及0,+)上都是单调增函数且图象是连续的,所以在R上是单调增函数,正确;大致画出函数图象或证明可知正确;如函数f(x)=|x|x-2x-3没有最小值,错误;如f(x)=|x|x-4x-2时,方程f(x)=0有三个实数根,正确.所以正确的是.选D.【答案】D重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第91页/共126页二、填空题1
49、3.(2011年江苏)已知实数a0,函数f(x)=,若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.【解析】a0时,2(1-a)+a=-(1+a)-2a,a=-,不符合;a0,F(x)单调递增,F(x)0不可能恒成立.当a0时,令F(x)=0,得x=或x=-(舍去).当0 x0,当x时,F(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=时,f(x)=x+-2,f(x)=1-,当x2时,f(x)0,f(x)在区间2,+)上为增函数,f(x)在区间2,+)上的最小值为f(2)=.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第96页/共126页(2)在区间2,+)上,f
50、(x)=0恒成立等价于x2-2x+a0恒成立.设函数y=x2-2x+a,x2,+),y=(x-1)2+a-1在区间2,+)上递增,当x=2时,ymin=a,当且仅当a0时,函数f(x)0恒成立,故a0.重点知识回顾主要题型剖析高考命题趋势专题训练回归课本与创新设计试题备选第97页/共126页18.某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3+x万元.设余下工程的总费用