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1、第第4 4章章 刚体的转动刚体的转动日本日本9 9级地震引起的海啸级地震引起的海啸(2011年)此次地震使日本岛移动了此次地震使日本岛移动了2.4米，导致地球上的一天缩短了米，导致地球上的一天缩短了1.8微秒微秒根据角动量守恒，这说明日本岛可能有所下沉，使之更靠近根据角动量守恒，这说明日本岛可能有所下沉，使之更靠近自转轴而使地球加速。自转轴而使地球加速。本本 章章 内内 容容 4.1 4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4.2 4.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律4.3 4.3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律4.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4.1.1 刚体刚体定义定义：
2、在运动过程中，其形状和大小都不发生变化的力学研在运动过程中，其形状和大小都不发生变化的力学研究究对象称为对象称为刚体刚体-理想模型。理想模型。处理方法处理方法：把刚体看成不变质点组，用：把刚体看成不变质点组，用质点或质点组的运动规律加以讨论。质点或质点组的运动规律加以讨论。特点特点：刚体内任意两点之间的距离在运：刚体内任意两点之间的距离在运动或受外力时都保持不变。动或受外力时都保持不变。4.1.2 平动和转动平动和转动定义定义：如果刚体在运动时，刚体上任意两点连成的直线的如果刚体在运动时，刚体上任意两点连成的直线的方位始终保持不变，则刚体的这种运动称为方位始终保持不变，则刚体的这种运动称为刚体
3、的平动刚体的平动。平动特点平动特点：l刚体平动时各质点的轨迹相刚体平动时各质点的轨迹相同。同。l任一时刻刚体上各质点的速任一时刻刚体上各质点的速度和加速度都相同。度和加速度都相同。故可用质故可用质心的运动代表。心的运动代表。定义定义：刚体运动时各质元绕同一条固定的直线作圆周运动称：刚体运动时各质元绕同一条固定的直线作圆周运动称为为定轴转动定轴转动。这条直线叫。这条直线叫固定转轴固定转轴。定轴转动特点：定轴转动特点：l描述各质元的角量（角位移、角速度、角描述各质元的角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。加速度）都相同。l各质元运动的线速度、加速度一般不同。各质元运动的线速度、加速度一般不同。4
4、.1.3 定轴转动定轴转动(1)描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量(2)角量与线量的关系角量与线量的关系(3)角速度矢量角速度矢量转动平面转动平面减速减速加速加速简化简化OO4.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律4.2.1 力对转轴的力矩力对转轴的力矩 大小大小:方向方向:右手定则右手定则PO*l刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O由于内力都是成对出现的，而且每一对内力对转轴的力矩由于内力都是成对出现的，而且每一对内力对转轴的力矩互相抵消，因此互相抵消，因此刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩一定为
5、零矩一定为零。沿同一作用线的大小相等方沿同一作用线的大小相等方向相反的两个作用力对转轴向相反的两个作用力对转轴的合力矩为零的合力矩为零。4.2.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律质元受外力质元受外力 ，内力，内力O转动定律转动定律定义转动惯量定义转动惯量刚体定轴转动的角加速度与它所受刚体定轴转动的角加速度与它所受的的合外力矩合外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动转动惯量惯量成反比成反比.=04.2.3 转动惯量转动惯量转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义：转动惯性的量度转动惯性的量度转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm2l质量离散体质量离散体(1)转动惯量的计算转动惯量的计算(
6、3)计算转动惯量的两个定理计算转动惯量的两个定理l平行轴定理平行轴定理推论：推论：平行轴中对质心的转动惯量最小平行轴中对质心的转动惯量最小。物体绕某一转轴的转动惯量物体绕某一转轴的转动惯量 J 等于绕过质心并与该轴平行的等于绕过质心并与该轴平行的转轴的转动惯量转轴的转动惯量 Jc 加上物体质量加上物体质量m和两平行轴之间距离和两平行轴之间距离d 的的平方的乘积。平方的乘积。J对对oo 轴的转动惯量轴的转动惯量 Jc对通过质心对通过质心C的轴的转动惯量的轴的转动惯量 d两平行轴间的距离两平行轴间的距离 mCoZXYOoo实心圆盘实心圆盘l l垂直轴定理垂直轴定理垂直轴定理垂直轴定理若若平平面面型
7、型物物体体（如如薄薄板板、圆圆盘盘等等）绕绕与与平平面面垂垂直直的的轴轴的的转转动动惯惯量量为为Jz，轴轴与与平平面面的的交交点点为为O，物物体体绕绕平平面面内内通通过过0点点相互垂直的两轴的转动惯量分别为相互垂直的两轴的转动惯量分别为Jx和和Jy，则有：，则有：R m解解：m看作质点看作质点 J=mR2 例例3.质量为质量为m的细圆环，求的细圆环，求J。J=R2dm=mR2dmR R例例2.求小球求小球m的转动惯量。的转动惯量。解解：把环分成无限多个质量为：把环分成无限多个质量为dm的的小段，对每个小段，对每个dm有：有：dJ=R2dm对整个环有对整个环有另解：另解：dJ=r2dm R例例4
8、.求均匀薄圆盘求均匀薄圆盘(质量质量m，半径，半径R)的的J。解：解：把盘分成无限多个环。取其中一个环把盘分成无限多个环。取其中一个环(半径半径r，宽，宽dr，质量，质量 dm)整个盘的转动惯量为整个盘的转动惯量为:其转动惯量为其转动惯量为drrRm4.3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律4.3.1 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量力的时间累积效应力的时间累积效应力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理Z方向：沿轴正方向方向：沿轴正方向矢量式：矢量式：刚体对刚体对Z 轴的角动量：轴的角动量：
9、质元质元 的角动量：的角动量：o o4.3.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理质点质点mi受合力矩受合力矩Mi(包括包括Mi外、Mi内)对定轴转的刚体对定轴转的刚体 ，则合外力矩则合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从，从 到到 内，角速度从内，角速度从 变为变为 ，积分可得：，积分可得：角动量定理微分形式角动量定理微分形式角动量定理积分形式角动量定理积分形式4.4.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 对于某一固定轴，当刚体所受合外力矩为零时，其角动对于某一固定轴，当刚体所受合外力矩为零时，其角动量保持不变。量保持不变。(惯性系惯性系)-角动量守恒定律角动量守恒定律
10、定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理l 守恒条件守恒条件l若若 不变，不变，不变；不变；若若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.讨论讨论若若 ，例例1 如如图图所示，一所示，一竖竖直直悬悬挂的木杆，可挂的木杆，可绕绕杆端杆端O处的水平处的水平固定轴转动固定轴转动.开始时，木杆竖直下垂开始时，木杆竖直下垂.质量质量m1=50g的小球的小球以以v0=30ms-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以v1=10ms-1的速度向反方向弹回的速度向反方向弹回.杆长杆长l=40cm，木杆质量，木杆质量m2=600g.设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.解：解：因为碰撞时间极短，可以认为碰撞过程中因为碰撞时间极短，可以认为碰撞过程中杆一直处在竖直位置杆一直处在竖直位置.对于木杆和小球组成的对于木杆和小球组成的系统，其所受外力是两者的重力以及轴处轴对系统，其所受外力是两者的重力以及轴处轴对杆的支持力，所有这些外力对轴的力矩为零，杆的支持力，所有这些外力对轴的力矩为零，因此因此系统对轴的角动量守恒系统对轴的角动量守恒.