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1、1.7 1.7 多项式函数与多项式的根多项式函数与多项式的根第一章第一章 多项式多项式一、多项式函数1.定义：设对 数 称为当F中的根或零点。2.定义（多项式函数）：设对 作映射f：为F上的多项式函数。时 的值，若则称c为在映射f确定了数域F上的一个函数被称第一章第一章 多项式多项式当F=R时，就是数学分析中所讨论的多项式函数。若 则 二、余式定理和综合除法所得的余式是 。用一次多项式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多项式证：由带余除法：设则 。第一章第一章 多项式多项式问题1、有没有确定带余除法：的简单方法？中 和 设 把 代入中展开后比较方程两边的系数得：第一章第一章 多项式多项式因
2、此，利用与 之间的系数关系可以方便和r，这就是下面的综合除法：第一章第一章 多项式多项式于是得去除例1.7.1：求用的商式和余式。解：由综合除法因此 第一章第一章 多项式多项式利用综合除法求与r时应注意：1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；2、除式要变为例1.7.2：把表成的方幂和。第一章第一章 多项式多项式定理（因式定理）：因式的充要条件是 。证明：设若 即 故 是 的一个因式。若 有一个因式即 故 此即 。由此定理可知，要判断一个数c是不是的根，可以直接代入多项式函数，看 是否等于零；也可以利用综合除法来判断其余数是否为零。多项式有一个第一章第一章 多项式多项式三、多项式的根定义3
3、：若是 的一个k重因式，即有但 则 是 的一个k重根。问题2、若多项式有重根，能否推出有重因式，反之，若有重因式，能否说有重根？由于多项式有无重因式与系数域无关，而 有无重根与系数域有关，故有重根有重因式，但反之不对。第一章第一章 多项式多项式定理（根的个数定理）：数域F上次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。证明（用归纳法）：当时结论显然成立，假设当是 次多项式时结论成立，则当是n次多项式时，设 是 的一个根，则有是n-1次多项式，由归纳知至多只有个根，故至多只有n个根。第一章第一章 多项式多项式证二：对零次多项式结论显然成立，数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不定理：超过n，若在
4、F中有n+1个不同的数使与 的值相等，则 。证明：令设它们的次数都不若 又 把 若是一次数0的多项式，分解成不可约多项式的乘积，这时在数域F中根的个超过n。第一章第一章 多项式多项式由于F中有n+1个不同的数，使 与 的值相等，故有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾，故即 问题3、设是F中n个不同的数，是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项式，使利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式使第一章第一章 多项式多项式作函数 则 这个公式也称为Lagrange插值公式。例1.7.3：求一个次数小于3的多项式使 。解一（待定系数法）：设所求的多项式第一章第一章 多项式多项式由已知条件得线性方程组：解之得解二（利用Lagrange公式）：第一章第一章 多项式多项式利用Lagrange插值公式可得：问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？第一章第一章 多项式多项式四、多项式相等与多项式函数相等的关系1.多项式相等：即对应项的系数相同；2.多项式函数相等：即对 有 定理：中两个多项式和 相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等。证明：若 它们对应项的系数相同，于是对第一章第一章 多项式多项式故这两个多项式函数相等；若对有 令 此时有无穷多个根，故此即 。