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1、大学文科数学 主讲人：陈建凯主讲人：陈建凯如何学习大学数学 1 1文科生为什么要学习大学数学？文科生为什么要学习大学数学？数学是一种语言，一切科学的共同语言数学是一种语言，一切科学的共同语言 严密性、精确性严密性、精确性 数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙 科学素养科学素养 数学是一种工具，一种思维的工具数学是一种工具，一种思维的工具 理性思维理性思维数学是一门艺术，一门创造性艺术数学是一门艺术，一门创造性艺术 美的熏陶美的熏陶 2 2如何学好本课程如何学好本课程（1 1）尽快适应大学的学习）尽快适应大学的学习学习方法学习方法 从被动从被动 主动主动
2、学习节奏学习节奏 从慢从慢 快快 讨论式讨论式（2 2）多读书）多读书 勤思考勤思考 教材教材 参考书参考书 思考总结思考总结 习题巩固习题巩固（3 3）独立作业）独立作业 勇于质疑勇于质疑3 3如何考核如何考核平时：作业、考勤、课堂提问（平时：作业、考勤、课堂提问（30）期末：期末：闭卷考试（闭卷考试（7070）第一章 微积分基础和研究对象第一节主要内容：主要内容：实数与邻域实数与邻域微积分基础-集合、实数和极限对和、乘法、对和、乘法、减法封闭减法封闭有理点在数轴上稠密分布，有理点在数轴上稠密分布，不具有连续性不具有连续性将所学过的数归纳如下：将所学过的数归纳如下：一、实数一、实数(real
3、 number)具有连续性具有连续性对和、乘法对和、乘法封闭，对减封闭，对减法不封闭法不封闭微积分研究的是连续变化的事物在数量微积分研究的是连续变化的事物在数量方面的关系，今后所指的数是实数方面的关系，今后所指的数是实数.二、邻域二、邻域（neighborhood)集合表示法：集合表示法：区间表示法：区间表示法：几何表示法：几何表示法：邻域的表示方法邻域的表示方法：邻域的定义邻域的定义：数轴上与点数轴上与点x0的距离小于的距离小于(0)0)的全体实的全体实 数的集合数的集合,称为点称为点x0的的邻域邻域,记作记作U(x0,),x0称为邻域的中心称为邻域的中心,称为邻域的半径称为邻域的半径.邻域
4、邻域 的几何表示：的几何表示：去心去心邻邻域域(deleted neighborhood）。例例：用邻域符号和区间符号分别表示不等式：用邻域符号和区间符号分别表示不等式 所确定的所确定的 x 的范围的范围.解：解：已知已知 不等式不等式用区间表示是用区间表示是用邻域符号表示是用邻域符号表示是第二节主要内容：主要内容：函数、基本初等函数函数、基本初等函数与复合函数与复合函数微积分的研究对象-函数一、函数一、函数(function)常量常量（constant）：）：保持不变的量保持不变的量.如常数如常数 1、2、50、e、变量变量（variable）：）：可以取不同值的量可以取不同值的量.如如 s
5、inx 中的中的 x ln(1+x)中的中的 x定义（传统定义）定义（传统定义）:如果在变化过程中有两个变如果在变化过程中有两个变量量x,y,x在某个变化范围在某个变化范围 X 内的某一确定的值内的某一确定的值,按照某个对应法则按照某个对应法则 f ,y 都有唯一确定的值与它都有唯一确定的值与它对应对应,那么那么 y 就是就是 x 的的函数函数.记作记作y=f(x)，称，称 x 为自变量为自变量,X 是是 f 的定义域的定义域(domain of definition),全体函数值的集合称作全体函数值的集合称作函数的值域函数的值域.函数的定义函数的定义表明了函数的表明了函数的结构结构.函数是由
6、定义域、函数是由定义域、对应法则、值域组成对应法则、值域组成的的.函数的模型如同一部机函数的模型如同一部机器，把器，把X中任一原材料中任一原材料x输入输入f（x），就可产出实数），就可产出实数y=f（x）.定义域定义域自变量自变量因变量因变量定义域是自变量所能取定义域是自变量所能取的的,使算式有意义的一切使算式有意义的一切实数值实数值.y=f（x）对应规律的表示方法对应规律的表示方法:解析法解析法、图象法、图象法、列表法、列表法 如果两个函数的定义域相同，对应法如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相等的则也相同，那么这两个函数就是相等的.如如 如果两个函数定义域和对应法
7、则如果两个函数定义域和对应法则二者有一个不同，那么这两个函数是不二者有一个不同，那么这两个函数是不同的同的.如如函数的性质：函数的性质：单调性、奇偶性、周期性单调性、奇偶性、周期性有界性：有界性：二、反函数的定义二、反函数的定义 设函数设函数 ,Y 是值域是值域.如果对于如果对于Y 内内的任一的任一 y,D内都有唯一确定的内都有唯一确定的 x 与之对应，使与之对应，使f(x)=y,则在则在Y 上确定了一个函数，这个函数称为上确定了一个函数，这个函数称为函数函数 y=f(x)的反函数的反函数.记作记作 x=f 1(y),y 属于属于 Y.原来的函数原来的函数 y=f(x)称为直接函数称为直接函数
8、.直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 y=x对称对称.反函数存在性定理：反函数存在性定理：单调函数存在反函数，且直单调函数存在反函数，且直接函数与其反函数单调性相同接函数与其反函数单调性相同.三、基本初等函数三、基本初等函数1、幂函数幂函数（1，1）2、指数函数指数函数（0，1）3、对数函数、对数函数（1，0）4、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数 y=sinx，y=cos x 的定义的定义域是（域是（，），值域），值域是是 1，1，以，以2为最小为最小周期，有界函数周期，有界函数正切函数正切函数余切函数余切函数5、反三角函数、反三角函数渐近线渐近线渐
9、近线渐近线 把常数函数、幂函数、指数把常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为 基本初等函数基本初等函数解解:两个函数和的定义域，是这两个函数定义域两个函数和的定义域，是这两个函数定义域两个函数和的定义域，是这两个函数定义域两个函数和的定义域，是这两个函数定义域公共部分公共部分公共部分公共部分.。例例:中间变量中间变量自变量自变量四、复合函数四、复合函数(complex function)基本初等函数基本初等函数 分解复合函数原分解复合函数原 原则原则:观察各层函数是否观察各层函数是否为基本初等函数或多为基本初等函数或多项式函数
10、项式函数.初等函数初等函数:由基本初等由基本初等函数经过有限次四则运函数经过有限次四则运算和复合运算构成的函算和复合运算构成的函数并可用一个式子表示数并可用一个式子表示的函数的函数.指数函数指数函数幂函数幂函数多项式多项式函数函数注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的.2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.中间变量中间变量中间变量中间变量自变量自变量把一个复合函数分成不同层次的函数把一个复合函数分成不同层次的函数,叫做复合叫做复合函数的分解函数的分解.分段函数分段函数:不能用统一的代数式不能用统一的代数式表示的函数表示的函数.如如:须注意须注意:分段函数不是初等函数分段函数不是初等函数.分段函数是一个函数分段函数是一个函数.只是随着自变只是随着自变量量 x 取不同范围的值取不同范围的值,函数的表达式不同函数的表达式不同.综上所论综上所论: