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1、3.2 一维双原子链的振动一维双原子链的振动一、运动方程及其解一、运动方程及其解运动方程：运动方程：试试 解：解：(设设M m)考虑由考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链两种原子等距相间排列的一维双原子链只考虑近邻原子间的弹性相互作用只考虑近邻原子间的弹性相互作用aM m n n n-1 n+1代入方程代入方程:久期方程：久期方程：简约区：简约区：对于不在简约区中的波数对于不在简约区中的波数q，一定一定可在简约区中可在简约区中找到找到唯一唯一一个一个q，使之满足：，使之满足：为倒格矢为倒格矢两个色散关系即有两支格波：（两个色散关系即有两支格波：（：光学波：光学波；：声学波：声学波）二
2、、声学波和光学波的物理图象二、声学波和光学波的物理图象第第n个原胞中个原胞中P、Q两种原子的位移之比两种原子的位移之比R:大于零的实数，反映原胞中大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比两种原子的振幅比 :两原子的振动位相差两原子的振动位相差1.声学波（声学波（acoustic branch）即：即：在在、象限，属于同位相型象限，属于同位相型物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。子基本上无相对振动。q0时时当当q0时，时，原
3、胞内两种原子的振动位相完全相同。原胞内两种原子的振动位相完全相同。这与连续介质的弹性波这与连续介质的弹性波 vqvq 一致。一致。当当q0时时 在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称为声学波或声学支。为声学波或声学支。2.光学波（光学波（optical branch）在在、象限之间，属于反位相型。象限之间，属于反位相型。物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即原胞中的两种原子基本上
4、作相对振动，而即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动。原胞的质心基本保持不动。当当q0时，时，原胞中两种原子振动位相完全相反。，原胞中两种原子振动位相完全相反。离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。对于单声子过程（一级近似）对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格波相，电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同的频互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。率，就会发生共振。光波：光波：c0q，
5、c0为光速为光速=c0q0q(q)+(0)+对于实际晶体，对于实际晶体，(0)在在1013 1014Hz，对应于远，对应于远红外光范围。红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在光在 (0)附近的强烈吸收。附近的强烈吸收。光学波原子光学波原子振动模型振动模型声学波原子声学波原子振动模型振动模型带隙带隙三、周期性边界条件三、周期性边界条件周期性边界条件：周期性边界条件：h=整数，整数，N：晶体链的原胞数：晶体链的原胞数q的分布密度：的分布密度：简约区中简约区中q的取值总数的取值总数晶体的原胞数晶体的原胞数晶格振动的格波总数晶格振动的格波总数2N晶体的
6、自由度数晶体的自由度数推广：若每个原胞中有推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有个原子，一维晶格振动有s个色散关系个色散关系 式（式（s支格波），其中：支格波），其中：1支声学波支声学波,（s-1）支光学波。）支光学波。晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数sN晶体的自由度数。晶体的自由度数。3.5 三维晶格振动三维晶格振动一、三维简单晶格的振动一、三维简单晶格的振动0lRlRlRl RlRl-ll-ll第第个原子的位矢个原子的位矢:回顾回顾-简谐近似简谐近似忽略高阶项，保留至二阶项忽略高阶项，保留至二阶项上式称为简谐近似。上式称为简谐近似。在简谐近似下，系统的势能为在简谐近似下，系统的势
7、能为（取平衡时（取平衡时U00）：(l)和和 (l)是第是第l和第和第l个原子分别沿个原子分别沿 和和 方向的位方向的位移。移。力常数力常数第第l个原子的运动方程：个原子的运动方程：这里考虑了晶体中这里考虑了晶体中所有原子所有原子的相互作用。的相互作用。由晶格的周期性，得由晶格的周期性，得设格波解：设格波解：代入运动方程得：代入运动方程得：，1，2，3其中其中久期方程久期方程可以解得可以解得 与与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波三支声学波：一支纵波，两支横波。推广：对于复式晶格，若每个原胞中有推广：
8、对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由个原子，由 运动方程可以解得运动方程可以解得3s个个 与与q的关系式（即色散的关系式（即色散 关系式），对应于关系式），对应于3s支格波支格波，其中，其中3支为声学波支为声学波 （一支纵波，两支横波），（一支纵波，两支横波），3(s1)支为光学波支为光学波。二、布里渊区二、布里渊区上式对于上式对于任意时刻任意时刻t和和任意的格矢任意的格矢 都成立，有：都成立，有：对于第对于第j支格波，支格波，设有两个波矢设有两个波矢 和和 所描述的所描述的晶晶格振动状态完全相同格振动状态完全相同，有，有由于由于 为倒格矢为倒格矢，h为整数为整数有有 ，（由于，（由于 为
9、任意格矢）为任意格矢）即：即：在在 空间中，空间中，是以倒格矢是以倒格矢 为周期的周期函为周期的周期函数，仍可将波矢数，仍可将波矢 限制在简约区或第一布里渊区中限制在简约区或第一布里渊区中 将将原点取在简约区的中心原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界，那么，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系：面上周期对应的两点间应满足关系：布里渊区边界面方程布里渊区边界面方程0布里渊区的几何作图法：布里渊区的几何作图法：v 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点；个倒格点为原点；布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。布里渊区
10、的边界面是倒格矢的垂直平分面。v 由近到远作由近到远作各倒格矢各倒格矢的的垂直平分面垂直平分面；v 在原点周围围成一个在原点周围围成一个包含原点包含原点在内的在内的最小封闭体积最小封闭体积，即为简约区或第一布里渊区。即为简约区或第一布里渊区。简约区就是倒易空间中的简约区就是倒易空间中的WignerSeitz原胞。原胞。1222222333333 可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积 b。正格子正格子 格常数格常数 倒格子倒格子 格常数格常数简约区简约区scasc由由6个个
11、100面面围成的立方体围成的立方体bccafcc由由12个个110面面围成的围成的正正12面体面体fccabcc由由8个个111面和面和6个个100面围成的面围成的14面体面体体心立方晶格的倒格子与简约区体心立方晶格的倒格子与简约区面心立方晶格的倒格子与简约区面心立方晶格的倒格子与简约区三、周期性边界条件三、周期性边界条件 设设N1、N2和和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3 周期性边界条件：周期性边界条件：第第j支格波：支格波：1,2,3h =整数整数令令h1,h2,h3整数整数 1,2
12、,3在在q空间中，每一个空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：的取值（状态）所占的空间为：VNva晶体体积晶体体积在在 空间中，波矢空间中，波矢 的分布密度：的分布密度：简约区中波矢简约区中波矢 的取值总数的取值总数 晶体的原胞数晶体的原胞数简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值的取值 对应于三个声学波（对应于三个声学波（1个纵波，个纵波，2个横波）个横波）晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数3N晶体的自由度数晶体的自由度数复式晶格：若每个原胞中有复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个个原子，每一个q的取值的取值 对应于对应于3个声学波和个声学波和3(s-1)个光学波个光学波 晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数33(s-1)N=3sN=晶体的自由度数晶体的自由度数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶体的自由度数晶格振动格波的总数晶体的自由度数