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1、吉林省长春九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1（3 分）若关于 x 的方程是 ax23x+20 是一元二次方程，则（）Aa0 Ba0 Ca1 Da0 2（3 分）方程 x（x+2）0 的根是（）Ax2 Bx0 Cx10，x22 Dx10，x22 3（3 分）用配方法解方程 x2+6x10，配方后的方程是（）A（x+3）210 B（x3）210 C（x+3）28 D（x3）28 4（3 分）抛物线 yx22x+5 的对称轴是（）A直线 x2 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x1 5（3 分）抛物线 y2x2向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，
2、所得到的抛物线是（）Ay2（x2）2+1 By2（x1）22 Cy2（x+2）21 Dy2（x2）21 6（3 分）已知点 A（2，a），B（，b），C（，c）都在二次函数 yx2+2x+3 的图象上，那么 a、b、c 的大小是（）Aabc Bbca Cacb Dcba 7（3 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 yax+b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）A B C D 8（3 分）如图，已知矩形 ABCD 的长 AB 为 5，宽 BC 为 4，E 是 BC 边上的一个动点，AEEF，EF 交 CD 于点 F设 BEx，FCy，则点 E 从点
3、B 运动到点 C 时，能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是（）A B C D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）9（3 分）若抛物线 y（2a）x2+3x2 有最大值，则 a 的取值范围是 10（3 分）抛物线 y2（x1）2+8 的顶点坐标是 11（3 分）二次函数 y2x2+mx+8 的图象顶点在 x 轴上，则 m 的值是 12（3 分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y，当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为 米 13（3 分）若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为 x1，则使函数
4、值 y0 成立的 x 的取值范围是 14（3 分）如图，菱形 ABCD 的三个顶点在二次函数 yax22ax+（a0）的图象上，点 A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与 y 轴的交点，则点 D 的坐标为 三、解答题：（本大题共 10 小题，共 78 分）15（6 分）解方程：2x23x10 16（6 分）某地 2016 年为做好“精准扶贫”，投入资金 1280 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018 年投入资金 2880 万元，则从 2016 年到 2018 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？17（6 分）如图，已知二次函数的顶点为（2，1），且图象经过 A（0，3）
5、，图象与 x 轴交于 B、C 两点（1）求该函数的解析式；（2）连结 AB、AC，求ABC 面积 18（7 分）某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的 A处安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为 1m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示 根据设计图纸已知：在图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是 yx2+2x+1（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？19（7 分）长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工
6、程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索 AB 与水平桥面的夹角是 31，拉索 AB 的长 AB152米，主塔处桥面距地面 CD7.9 米，试求出主塔高 BD 的长（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60）20（7 分）如图，抛物线 yax2x与 x 轴正半轴交于点 A（3，0），以 OA 为边在 x 轴上方作正方形 OABC，延长 CB 交抛物线于点 D，再以 BD 为边向上作正方形 BDEF（1）求 a 的值；（2）求点 F 的坐标 21（8 分）甲、乙两名学生在同一小区居住，一天早晨，甲、乙两人同时从家出发去同一所学校上学
7、甲骑自行车匀速行驶乙步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿公路匀速行驶，公交车的速度分别是甲骑自行车速度和乙步行速度的 2 倍和 5 倍，下车后跑步赶到学校，两人同时到达学校（上、下车时间忽略不计）两人各自距家的路程 y（m）与所用的时间 x（min）之间的函数图象如图所示（1）求 a、b 的值；（2）当乙学生乘公交车时，求 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；（3）如果乙学生到学校与甲学生相差 1 分钟，直接写出他跑步的速度 22（9 分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定
8、这种产品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23（10 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ACB90，ACBC2cm，点 M（不与 A、B 重合）从点 A 出发沿 AB 方向以cm/s 的速度向终点 B 运动在运动过程中，过点 M作 MNAB，交射线 BC 于点 N，以线段 MN 为直角边作等腰直角三角形 MN
9、Q，且MNQ90（点 B、Q 位于 MN 两侧）设MNQ 与ABC 重叠部分图形面积为 S（cm2），点M 的运动时间为 t（s）（1）用含 t 的代数式表示线段 MN 的长，MN （2）当点 N 与点 C 重合时，t （3）求 S 与 t 之间的函数关系式 24（12 分）如图，已知抛物线 yax2+x+4 的对称轴是直线 x3，且与 x 轴相交于 A、B两点（B 点在 A 点的右侧），与 y 轴交于 C 点（1）A 点的坐标是 ；B 点坐标是 ；（2）直线 BC 的解析式是：；（3）点 P 是直线 BC 上方的抛物线上的一动点（不与 B、C 重合），是否存在点 P，使PBC 的面积最大若存
10、在，请求出PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点 M 在 x 轴上，点 N 在抛物线上，以 A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 M 点坐标 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1（3 分）若关于 x 的方程是 ax23x+20 是一元二次方程，则（）Aa0 Ba0 Ca1 Da0【解答】解：由 x 的方程 ax23x+20 是一元二次方程，得 a0 故选：D 2（3 分）方程 x（x+2）0 的根是（）Ax2 Bx0 Cx10，x22 Dx10，x22【解答】解：x（x+2）0，x0 或 x+20，解得 x10，x22 故选：C
11、3（3 分）用配方法解方程 x2+6x10，配方后的方程是（）A（x+3）210 B（x3）210 C（x+3）28 D（x3）28【解答】解：x2+6x10，移项得 x2+6x1，方程两边同加上 9 得 x2+6x+910，配方得（x+3）210，故选：A 4（3 分）抛物线 yx22x+5 的对称轴是（）A直线 x2 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x1【解答】解：抛物线 yx22x+5（x1）2+4，该抛物线的对称轴是直线 x1，故选：D 5（3 分）抛物线 y2x2向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得到的抛物线是（）Ay2（x2）2+1 By2（x1）22 Cy2（x
12、+2）21 Dy2（x2）21【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线 y2x2向右平移 2 个单位所得抛物线是 y2（x2）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线 y2（x2）2向下平移 1 个单位所得抛物线是 y2（x2）21 故选：D 6（3 分）已知点 A（2，a），B（，b），C（，c）都在二次函数 yx2+2x+3 的图象上，那么 a、b、c 的大小是（）Aabc Bbca Cacb Dcba【解答】解：当 x2 时，ax2+2x+3（2）2+2（2）+35；当 x时，bx2+2x+3（）2+2+3；当 x时，cx2+2x+3（）2+2+3；所以 acb 故选：C 7（3 分）二
13、次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 yax+b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）A B C D【解答】解：二次函数图象开口方向向上，a0，对称轴为直线 x0，b0，与 y 轴的正半轴相交，c0，yax+b 的图象经过第一三象限，且与 y 轴的负半轴相交，反比例函数 y图象在第一三象限，只有 B 选项图象符合 故选：B 8（3 分）如图，已知矩形 ABCD 的长 AB 为 5，宽 BC 为 4，E 是 BC 边上的一个动点，AEEF，EF 交 CD 于点 F设 BEx，FCy，则点 E 从点 B 运动到点 C 时，能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图
14、象是（）A B C D【解答】解：BC4，BEx，CE4x AEEF，AEB+CEF90，CEF+CFE90，AEBCFE 又BC90，RtAEBRtEFC，即，整理得：y（4xx2）（x2）2+y 与 x 的函数关系式为：y（x2）2+（0 x4）由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x2 故选：A 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）9（3 分）若抛物线 y（2a）x2+3x2 有最大值，则 a 的取值范围是 a2 【解答】解：抛物线 y（2a）x2+3x2 有最大值，2a0，a2，故答案为 a2 10（3 分）抛物线 y2（x1）2+8 的顶
15、点坐标是（1，8）【解答】解：抛物线 y2（x1）2+8 的顶点坐标是（1，8），故答案为：（1，8）11（3 分）二次函数 y2x2+mx+8 的图象顶点在 x 轴上，则 m 的值是 8 【解答】解：二次函数 y2x2+mx+8 的图象顶点在 x 轴上，0，解得：m8，故答案为：8 12（3 分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 米时，这时水面宽度 AB 为 20 米 【解答】解：当 y4 时，4，解得，x110，x210，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 米时，这时水面宽度 AB 为：10（10）20（米）
16、，故答案为：20 13（3 分）若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为 x1，则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是 4x2 【解答】解：如图所示：图象经过点（2，0），且其对称轴为 x1，图象与 x 轴的另一个交点为：（4，0），则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是：4x2 故答案为：4x2 14（3 分）如图，菱形 ABCD 的三个顶点在二次函数 yax22ax+（a0）的图象上，点 A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与 y 轴的交点，则点 D 的坐标为（2，）【解答】解：yax22ax+的对称轴是 x1，与 y 轴的交点坐标是（0，）点 B
17、 的坐标是（0，）菱形 ABCD 的三个顶点在二次函数 yax22ax+（a0）的图象上，点 A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与 y 轴的交点，点 B 与点 D 关于直线 x1 对称，点 D 的坐标为（2，）故答案为：（2，）三、解答题：（本大题共 10 小题，共 78 分）15（6 分）解方程：2x23x10【解答】解：2x23x10，a2，b3，c1，9+817，x，x1，x2 16（6 分）某地 2016 年为做好“精准扶贫”，投入资金 1280 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018 年投入资金 2880 万元，则从 2016 年到 2018 年，该地投入异地安置资金的
18、年平均增长率为多少？【解答】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x，根据题意，得 1280（1+x）22880，解得：x10.5，x22.5（不合题意，应舍去），答：该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%17（6 分）如图，已知二次函数的顶点为（2，1），且图象经过 A（0，3），图象与 x 轴交于 B、C 两点（1）求该函数的解析式；（2）连结 AB、AC，求ABC 面积 【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为 ya（xh）2+k（a0）顶点为（2，1），ya（x2）21 又图象经过 A（0，3）a（02）213，即 a1，该抛物线的解析式为 y（x2）21；（2）当 y0
19、时，（x2）210，解得 x11，x23，C（3，0），B（1，0），BC312，SABCBCOA233 18（7 分）某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的 A处安装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为 1m水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示 根据设计图纸已知：在图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是 yx2+2x+1（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？【解答】解：（1）yx2+2x+1（x1）2+2，当
20、 x1 时，y最大2，答：最大高度是 2 米；（2）当 y0 时，（x1）2+20，解得 x1+1，x2+1，B（+1，0）答：那么水池的半径至少为+1 时，才能使喷出的水流都落在水池内 19（7 分）长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索 AB 与水平桥面的夹角是 31，拉索 AB 的长 AB152米，主塔处桥面距地面 CD7.9 米，试求出主塔高 BD 的长（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60）【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，sinA，BCABsinA152si
21、n311520.5279.04，BDBC+CD79.04+7.986.9486.9（米）答：主塔 BD 的高约为 86.9 米 20（7 分）如图，抛物线 yax2x与 x 轴正半轴交于点 A（3，0），以 OA 为边在 x 轴上方作正方形 OABC，延长 CB 交抛物线于点 D，再以 BD 为边向上作正方形 BDEF（1）求 a 的值；（2）求点 F 的坐标 【解答】解：（1）把 A（3，0）代入 yax2x中，得 a；（2）A（3，0）OA3 四边形 OABC 是正方形 OCOA3 当 y3 时，即 x22x90 解得 x11+，x210（舍去）CD1+在正方形 OABC 中，ABCB 同
22、理 BDBF AFCD1+点 F 的坐标为（3，1+）21（8 分）甲、乙两名学生在同一小区居住，一天早晨，甲、乙两人同时从家出发去同一所学校上学甲骑自行车匀速行驶乙步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿公路匀速行驶，公交车的速度分别是甲骑自行车速度和乙步行速度的 2 倍和 5 倍，下车后跑步赶到学校，两人同时到达学校（上、下车时间忽略不计）两人各自距家的路程 y（m）与所用的时间 x（min）之间的函数图象如图所示（1）求 a、b 的值；（2）当乙学生乘公交车时，求 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；（3）如果乙学生到学校与甲学生相差 1 分钟，直接写出他跑
23、步的速度 【解答】解：（1）甲骑自行车的速度为 10005200m/min 公交车的速度为 400m/min，乙步行的速度为 80 m/min a580400，b（105）400+4002400；（2）当乙学生乘公交车时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，解得，当乙学生乘公交车时，y 与 x 之间的函数关系式是 y400 x1600；（3）当乙先到达学校时，乙跑步速度为：（30002400）（3000200101）150m/min，当甲先到达学校时，乙跑步速度为：（30002400）（300020010+1）100m/min，答：乙跑步的速度为 100 m/min 或 150 m
24、/min 22（9 分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求每天的销售利润 W（元）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数解析式为 ykx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：，解得：，所以 y
25、与 x 的函数解析式为 yx+40（10 x16）；（2）根据题意知，W（x10）y（x10）（x+40）x2+50 x400（x25）2+225，a10，当 x25 时，W 随 x 的增大而增大，10 x16，当 x16 时，W 取得最大值，最大值为 144，答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元 23（10 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ACB90，ACBC2cm，点 M（不与 A、B 重合）从点 A 出发沿 AB 方向以cm/s 的速度向终点 B 运动在运动过程中，过点 M作 MNAB，交射线 BC 于点 N，以线段 MN 为直角边作等腰直角三角形
26、 MNQ，且MNQ90（点 B、Q 位于 MN 两侧）设MNQ 与ABC 重叠部分图形面积为 S（cm2），点M 的运动时间为 t（s）（1）用含 t 的代数式表示线段 MN 的长，MN 2t （2）当点 N 与点 C 重合时，t 1 （3）求 S 与 t 之间的函数关系式 【解答】解：（1）如图 1 中，在 RtABC 中，CACB2cm，ACB90，AB2cm，B45，AMt，BM2t，MNAB，NMB 是等腰直角三角形，MNBM2t 故答案为 2t （2）如图 1 中，作 CHAB 于 H，则 AHBH，当点 N 与 C 重合时，AMAH，t，t1s 时，点 N 与点 C 重合 故答案为
27、 1 （3）如图 2 中，当 0t1 时，重叠部分是EFK SEFKMt2 如图 3 中，当 1t时，重叠部分是四边形 MNFK SSMNQSFQK（2t）2（42tt）2t2+8t4 如图 4 中，当t2 时，重叠部分是MNQ S（2t）2t24t+4 综上所述，S 24（12 分）如图，已知抛物线 yax2+x+4 的对称轴是直线 x3，且与 x 轴相交于 A、B两点（B 点在 A 点的右侧），与 y 轴交于 C 点（1）A 点的坐标是（2，0）；B 点坐标是（8，0）；（2）直线 BC 的解析式是：yx+4；（3）点 P 是直线 BC 上方的抛物线上的一动点（不与 B、C 重合），是否存
28、在点 P，使PBC 的面积最大若存在，请求出PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点 M 在 x 轴上，点 N 在抛物线上，以 A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 M 点坐标 【解答】解：（1）抛物线 yax2+x+4 的对称轴是直线 x3，3，解得：a，抛物线的解析式为 yx2+x+4 当 y0 时，x2+x+40，解得：x12，x28，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（8，0）故答案为（2，0），（8，0）（2）当 x0 时，y4，点 C 的坐标为（0，4）设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0）将 B（8，0）、C（0，4）代入 ykx
29、+b，解得：，直线 BC 的解析式为 yx+4 故答案为 yx+4 （3）假设存在，设点 P 的坐标为（x，x2+x+4），过点 P 作 PDy 轴，交直线 BC于点 D，则点 D 的坐标为（x，x+4），如图所示 PDx2+x+4（x+4）x2+2x，SPBCPDOB8（x2+2x）x2+8x（x4）2+16 10，当 x4 时，PBC 的面积最大，最大面积是 16 0 x8，存在点 P，使PBC 的面积最大，最大面积是 16 （4）如图，当 AC 为平行四边形的边时，点 N 的纵坐标的绝对值为 4，可得 N1（N2）（6，4），M2（4，0），N3（3，4），N4（3+，4），可得 M3（5，0），M4（5+，0），当 AC 为对角线时，可得 M1（8，0），综上所述，满足条件的点 M 的坐标为（8，0），（4，0），（5+，0），（5，0）