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1、2022-2023 学年度第一学期期初检测试卷 高三数学（本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知N113,1,2,3,4,5AxxB，则BAB（）A.1,5 B.1,2,4 C.1,2,5 D.1,2,4,5 2.已知2211:bap，0:baq，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数 21 sin1exfxx的图象大致是（）A.B.C.D.4.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间
2、.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶掇球壶石瓢壶潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）A.368 cm B.3152 cm C.320 10 cm D.3204 cm 5.已知函数()f x的定义域为 R，且满足(2)(2)fxf x ，又(1)f x为偶函数，若(1)1f，则(2)(7)ff（）A.0 B.1 C.2 D.1 6.已知实数a，b，c满足lnlnln0eaabcbc，则a，b，c的大小关系为（）A.bca B.cba C.abc D.bac 7.正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 CD
3、的中点，则异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为（）A.53 B.13 C.23 D.32 8.已知定义在R上的偶函数()yf x的导函数为()yfx，当0 x 时，()()0f xfxx，且(2)3f，则不等式6(21)21fxx的解集为（）A.13,22 B.3,2 C.1 3,2 2 D.1 11 3,2 22 2 二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9.若“2340 xx”是“222()330 xkxkk”的充分不必要条件，则实数k可以是（）A.8 B
4、.5 C.1 D.4 10.已知函数 e,1e,1xxxxfxxx，下列选项正确的是（）A.函数 f x没有零点 B.120,1,1,3xx，使 12f xf x C.函数 f x的值域为1e,D.若关于x的方程 220f xaf x有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是10,2e 11.设函数()yf x的定义域为R，且满足()(2)f xfx，()(2)fxf x，当(1,1x 时，2()1f xx，则下列说法正确的是（）A.(2022)1f B.当4,6x时，()f x的取值范围为1,0 C.(3)yf x为奇函数 D.方程()lg(1)f xx仅有 5 个不同实数解 12.我国有着
5、丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图 1 是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图 2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为 2，若该几何体的所有顶点都在球O的表面上，则（）A.正四棱柱和正四棱锥的高均为12 B.正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为124 2 C.球O的表面积为9 D.正四棱锥的侧面侧棱与其底面所成的角分别为2，则 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知命题 p：2
6、1,2,1xxa ，命题 q：1,1x ，使得210 xa成立，若 p 是真命题，q 是假命题，则实数 a 的取值范围为_.14.如图，边长为 2 的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，将ABE，CEF，ADF分别沿AE，EF，AF折起，使得B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_.15.若函数21()(ln)2f xxxa xx没有极值，则实数a的取值范围为_.16.已知函数 22log,0,44,0,x xf xxxx若函数 g xf xm有四个零点，从小到大依次为 a，b，c，d，则21ab cc d的取值范围为_.四解答题：本
7、题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知3a，设223330,log442Ax xa xaBxxx.（1）若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围；（2）若“xA”是“RxB”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.18.（本小题满分 12 分）已知函数 43 21xxf xa，Ra（1）当12a 时，求函数 f x在0,2x的值域（2）若关于 x 的方程 123xf xa有解，求 a 的取值范围.19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABMN中，PNM是边长为 2 的正三角形，ANNP，ANBM，3A
8、N，1BM，2 2AB，C，D分别是线段AB，NP的中点.（1）求证：平面ANMB 平面NMP；（2）求直线CD与平面ABP所成角的正弦值.20.（本小题满分 12 分）已知函数 3231312f xxkxkx，其中Rk.（1）当3k 时，求函数 f x在0,3内的极值点；（2）若函数 f x在1,2上的最小值为 3，求实数 k 的取值范围.21.（本小题满分 12 分）如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径4AB，母线2 2PH，M 是 PB 的中点，四边形 OBCH 为正方形.（1）设平面POH平面PBCl，证明：lBC；（2）设 D 为 OH 的中点，N 是线段 C
9、D 上的一个点，当 MN 与平面 PAB 所成角最大时，求 MN 的长.22.（本小题满分 12 分）已知函数 xf xexa，其中 e 是自然对数的底数，aR.（1）求函数 fx的单调区间；（2）设 2g xf xax，讨论函数 g x零点的个数，并说明理由.2022-2023 学年度第一学期期初检测试卷 高三数学参考答案 一、单项选择题 1.D 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A 二多项选择题 9.ACD 10.CD 11.BCD 12.BC 三填空题 13.,1 14.6 15.32 2,16.654,4 四解答题 17.解（1）因为2330,3xa xaa，解得：3
10、ax，所以,3Aa.又因为23log442xx，即2450 xx，所以5x 或1x，即,51,B，因为“xA”是“xB”的充分不必要条件，则有A B，所以有,3a,51,，即1a 且3a，所以实数a的取值范围是1,3a.（2）因为,51,B，所以5,1B ，又“xA”是“RxB”的必要不充分条件，则RBA，即5,1,3a，所以实数a的取值范围是,5a.18.解（1）2111,43 2123 21222xxxxaf x ，令2,0,2,1,4xtxt，2131,1,42yttt，而对称轴3t，开口向上，当3t 时min112y，当1t 时max72y，f x的值域是117,22.（2）方程 12
11、3xf xa有解，即43 21123xxxaa 有解，即424 24xxxa有解，4 214 214422221xxxxxxxa有解，令 24122xxg x，则 0,g x，0,a.19.解 （1）如上图，在四边形ABMN中，过B作BEMN交AN于E，在AEB中，得2AE，2,2 2BEAB，则222ABAEBE，得AEBE，,BEMNANNM，又由已知条件,ANNP NMNPN NM NP平面NMP，故AN 平面NMP，又AN 平面,ANMB 平面ANMB 平面NMP.（2）PMN为等腰三角形，DMNP，又因为AN 平面MNP，以D为原点建立空间直角坐标系，如图：可得0,0,0,1,0,0
12、,1,0,0,0,3,0,1,0,3,0,3,1DPNMAB，13,222C，设平面ABP的法向量为,1,3,2,2,0,3nx y zABAP，根据 00n ABn AP，得320230 xyzxz，解得33,23n，13,222DC 设直线CD与平面ABP所成角为，则3143 622sincos,202 3053CD nCD nCD n，故直线CD与平面ABP所成角的正弦值3 6sin20.20.解：（1）由题意得：当3k 时，32691f xxxx，则 23129313fxxxxx，令 0fx得121,3xx 列表如下：x 0 0,1 1 1,3 3 fx 0 0 f x 1 单调递增
13、5 单调递减 1 故 f x在0,3内的极大值点为1x，无极小值点.（3）2331331fxxkxkxxk 当1k 时，1,2,0 xfx 函数 f x在区间 1,2单调递增所以 min3()1113132f xfkk 即53k（舍）；当2k 时，1,2,0 xfx 函数 f x在区间 1,2单调递减所以 min()286132 13f xfkk ，符合题意；当12k时当1,xk时，0,fxf x区间在1,k单调递减当,2xk时，0fx，f x区间在,2k单调递增所以 322min3()13132f xf kkkkk 化简得：32340kk，即21(2)0kk所以1k 或2k（都舍）；注：也可
14、令 3234,12g kkkk则 236320gxkkk k则 3234g kkk在1,2k单调递减所以 02g k，不符合题意；综上所述：实数k取值范围为2k.21.（1）因为四边形OBCH为正方形，BCOH，BC 平面,POH OH 平面POH，BC平面POH.BC 平面PBC，平面POH 平面,PBCllBC .（2）圆锥的母线长为2 2,4,2,2ABOBOP，以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,2,0,2,0,1,0,0,2,2,0,0,1,1PBDCM，设,2,001,1,2,0DNDCONODDN，1,21,1MNONOM，1,0,0OD 为
15、平面PAB的一个法向量，设MN与平面PAB所成的角为，则 2221,21,11,0,01sin(1)(21)1523，令 11,2t，则22211sin512101211375101055tttttt 所以当135t时，即23时，sin最大，亦最大，此时5 1,13 3MN，所以2225135(1)333MNMN.22.解：（1）因为 xf xexa，所以 1xfxexa.由 0fx，得1xa ；由 0fx，得1xa .所以 f x的增区间是1,a，减区间是,1a.（2）22x ax ag xf xaxxexx ex.由 0g x，得0 x 或0 x aex.设 x ah xex，又 00ah
16、e，即0 x 不是 h x的零点，故只需再讨论函数 h x零点的个数.因为 1x ah xe，所以当,xa 时，0,h xh x单调递减；当,xa时，0,h xh x 单调递增.所以当xa时，h x取得最小值 1h aa.当 0h a，即1a 时，无零点；当 0h a，即1a 时，0,h xh x有唯一零点；当 0h a，即1a 时，因为 00ahe，所以 h x在,a上有且只有一个零点.令2xa，则 22ahaea.设 22(1)aahaea a，则 20aae，所以 a在1,上单调递增，所以1,a，都有 120ae，所以 220ahaaea.所以 h x在,a上有且只有一个零点，所以当1a 时，h x有两个零点 综上，当1a 时，g x有一个零点；当1a 时，g x有两个零点；当1a 时，g x有三个零点.