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1、第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年年 12 月测试月测试 理理科科数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1 已知集合2Ax x=，203xBxx=+，则AB=A B2x x C3x x D32x xx 或2 设复数2i5z=（其中i为虚数单位），则z=A5B3C5
2、53 D5 333 已知圆C：()()22321xy+=，直线l过点()1,3且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“0=”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 已知函数()yf x=的图象如图 1 所示，则图 2 对应的函数有可能是（第 4 题图 1）（第 4 题图 2）A()2x f xB()2fxxC()xf xD()2xfx5 在平面直角坐标系中，已知点P在直线:30l xy+=上，且点P在第四象限，点()010Q,以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足CTPQ，则圆C的直径为A3B2 2 C2 3 D3 2 6 已知一个离心率为12
3、，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为12,F F，在椭圆上存在一个点P，使得1260FPF=，设12FPF的内切圆半径为r，则r的值为 A36B23C22D337 若 5 名女生和 2 名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种 A20 B40 C60D80 8 已知双曲线()2222100 xya,bab=的左、右焦点分别为12,F F，点A为双曲线渐近线上的一点，满足1264OAFF=（O为坐标原点），123F AF=，则该双曲线的离心率为A52B62C2 137D2 1479 若()tan13tan20sin80=，则下列可能是的值的是A20 B40
4、 C50 D70 10已知()9logf xx=，()12logg xx=，()16logh xx=，若满足()()()2f sg thst=+，则ts的值为 A13B12C2D3 11平面向量a,b满足3ab=，且4ab=，则a与ab夹角的正弦值的最大值为A14B13C12D2312如图所示，已知正四棱柱1111ABCDABC D的上下底面的边长为3，高为 4，点,M N分别在线段11DC和11BC上，且满足112MCNC=，下底面ABCD的中心为点O，点,P Q分别为线段1AC和MN上的动点，则PQPO+的最小值为 A662B2 6（第 12 题图）第 3 页 共 4 页 第 4 页 共
5、4 页 C332D2 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知数列na的前n项和nS=()2*32nnn+N，则数列na的通项公式为 14已知32xy=，则()()2291 1xy的最大值为 15已知()()43270127132xxaa xa xa x+=+，则236aaa+=16若函数()43222232aaf xxxxax+=+的极小值点为 1，则实数a的取值范围是 三、解答题：三、解答题：本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1
6、721 题题为必考题，每个试题考生都必须作答第为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17（12 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且3 sin4 cosaBbA=（1）求cos2A+的值；（2）若D为AB中点，且3CD=，求ABC面积的最大值 18（12 分）如图所示，已知BCD中，2BCBD=，且120CBD=，现将BCD沿BC翻折到ABC，满足1cos3ABD=（1）求证：ADBC；（2）若E为边CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值19（12 分
7、）已 知 数 列 na的 前n项 和 为()*nSnN，在 数 列 nb中，111ba=，1(1)21nnnanan=，1 2 3+13nSnnbb bb b=（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）设+1(1)nnnnacb=，nT为数列 nc的前n项和，求nT的最值20（12 分）如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线22xy=于A，B两点，连接AB，交y轴于点P（1）求点P的坐标；（2）证明：存在相异于点P的定点T，使得PA TBPB TA=恒成立，请求出点T的坐标，并求出TAB面积的最小值 21（12 分）已知函数()()()13 ln3f xaxaxax=R（1
8、）试讨论()f x的单调性；（2）求使得()0f x 在()0+，上恒成立的整数a的最小值()ln31.1；（3）若对任意()4,3a ，当12,1,4x x 时，均有()()()21ln43ln4maf xf x+成立，求实数m的取值范围（二）选考题：（二）选考题：共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号分作答时请写清题号 22（10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为33cos23sinxy=+=+（为参数），在极坐标系中，点2,4P（1）求曲线C的直角
9、坐标方程，并求出点P与C的位置关系；（2）过P的直线l与曲线C交于,A B两点，求线段AB长度的取值范围23（10 分）选修 45 不等式选讲 已知,a b cR，且222326abc+=（1）求证：11abc+；（2）若不等式22132()xxabc+对一切实数,a b c恒成立，求x的取值范围（第 20 题图）（第 18 题图）第1页 共6页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年年 12 月测试月测试 理科理科数学参考答案数学参考答案 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中
10、，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B C D D C D A C B A 二二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1361222n,nan,n=+144 1539 16()2,+三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考
11、生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17（12 分）（1）由正弦定理得：3sinsin4sincosABBA=2 分 sin0B，4tan3A=4sin5A=，3cos5A=4cossin25AA+=4 分（2）由（1）3cos5A=，在ACD中，2222cosCDACADAC ADA=+22392425ccbb=+6 分 2222392454cb cbbcbc+=+=245952bcbc 8 分 1142245sin9225552ABCSb cAbcbc=当且仅当2cb=时取等号，此时3 52b=，3 5c=12 分18（12 分）（1）取A
12、D中点M，连接BM，CM2BCBD=，120CBD=第2页 共6页 2 3CD=，同理可得2 3ACCD=又BABD=，BMAD，CMAD 2 分BMCMM=，AD面CBM 3 分BC 面CBMADBC 4 分（2）过点D作DFBC交CB的延长线于点F，连接AF过点D作DOAF交AF的延长线于点O 1cos3ABD=2221162cos442 2 233ADABBDAB BDABD=+=+=4 33AD=5 分 在ACD中，E为CD的中点由平行四边形对角线平方和定理得知：()()222222AECDACAD+=+216514122 1233AEAE+=+=6 分 DFBC，由（1）知ADBC，
13、且DFADD=，BC面ADFBC 面ABC，面ABC 面ADF 8 分 面AFD面ABCAF=在ABF中，3cos232AFABBAF=，同理可得3DF=又DOAF，则DO为D到面ABC的距离 9 分由余弦定理得：2222cos23FAADFDFADFA AD+=45sin193FAD=则DO=sinADFAD=4 354 15339=10 分E为DC中点 E到面ABC的距离为12 1529DO=11 分 AE与面ABC所成角的正弦值为2 152 85951513=12 分 第3页 共6页 19（12 分）（1）由已知得，当2n时 112211=(1)(1)(2).2nnnnnnananana
14、naaaa+()()22123.3 1=nnn=+()2nan n=2 分 当1n=时，11a=，也满足上式所以()1nan n=3 分 当2n 时，()111 2 3+1+11 2 3.3333.nnSSnnnnnnbb bbbbnbb bb=，4 分 当1n=时，11b=，符合上式 当2n=时，11233Sb b=，所以23b=，也符合上式，综上，()-131nnbn=nan=，-13nnb=5 分（2）由（1）可得：+111(1)3(3)nnnnnnc=0121123.(3)(3)(3)(3)nnnT=+123111231.3(3)(3)(3)(3)(3)nnnnnT=+两式相减：123
15、1411111.3(3)(3)(3)(3)(3)nnnnT=+11 1()3313()()1(3)4431()3nnnnn=+-1934+1616(3)nnnT+=8 分 当 n 为奇数时，2+1212122212212410333nnnnnnnnnnTTcc+=+=21nT单调递减，1352191.16nTTTT 10 分 当 n 为偶数时，2+222+12222+12+1212+24+1+0333nnnnnnnnnnTTcc+=2nT单调递增，246219.316nTTTTnT的最小值为13，最大值为 1 12 分 20（12 分）（1）设()0,Pm，211,2xA x，222,2xB
16、x，ABl的斜率必存在，设:ABlykxm=+第4页 共6页 与抛物线联立可得：22ykxmxy=+=2222220 xkxmxkxm=+=可知：121222xxkxxm+=2 分 OAOB，22121204x xOA OBx x=+=120 x x，124x x=，则24m=2m=，即()0,2P 4 分（2）由PA TBPB TA=，可知：PATAPBTB=当ABl与x轴平行时，1TAPATBPB=点T在y轴上 6 分 设()0,Tt，PATAPBTB=TP为ATB的角平分线，有2212122200ATBTxxttkkxx+=+=()1212121212110022t xxxxxxtxxx
17、 x+=120 xx+1224tx x=，2t=存在()0,2T，使得：PA TBPB TA=恒成立 9 分 212111S422TABPT xxxx=()2121224xxx x+=()2224 4k+=22 4162 48k+=当且仅当ABx轴时，TAB面积的最小值为 8 12 分21（12 分）（1）由题意知：()0,x+且()()()()22223311 31313axaxxaxafxaxxxx+=+=1 分 当0a 时，10ax+恒成立第5页 共6页()f x在10,3上单调递增，在1,3+上单调递减 2 分 当3a=时()0fx恒成立，即()f x在()0,+上单调递增 3 分 当
18、()3,0a 时()f x在10,3上单调递增，在11,3a上单调递减，在1,a+上单调递增 4 分 当(),3a 时()f x在10,a上单调递增，在1 1,3a上单调递减，在1,3+上单调递增 5 分（2）由（1）知：当0a 时，()f x在x +时单调递增 又因为x +时，()f x+所以0a 不符合题意，所以0a 由（1）知，当0a 时，()f x在10,3上单调递增，在1,3+上单调递减，()()()max113 ln33 ln33033f xfaaaa=7 分 可得3ln3 30.31ln3 12.17a=+所以使得()0f x 在()0+，上恒成立的整数a的最小值为 1 8 分（
19、3）由（1）可知，当()4,3a 时，()f x在1,4上单调递增()()()()()()()2113413 ln4 12313 ln4944f xf xffaaaaa=+()()()21ln43ln4maf xf x+恒成立()3ln4ln494maaa+394maa+10 分 0a，394ma +()4,3a，33714794416a+，374m 12 分（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号题计分作答时请写清题号 22（10 分）第6页 共6页（1
20、）曲线C的直角坐标方程为：()()22329xy+=2 分 由点P2,4可得：点P的直角坐标为()1,1 3 分()()221 31 259+=P在曲线C内部 4 分（2）设圆心D坐标为()3,2，半径3r=DP()()223 12 15=+=6 分 点D到l的距离0,5d 8 分 22 94,6ABd=10 分 23（10 分）（1）由柯西不等式，()()22221132132abcabc+2 分 222326abc+=()2116116abc+=即11abc+4 分（2）由（1）得：213211xx+当12x 时，21 3251 11xxx+=+2x 6 分 当2132x时，1 2323 11xxx+=+8x，舍去 8 分 当23x 时，1 23251 11xxx=125x 综上：)12,2,5x +10 分