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1、 排 列 组 合 讲 解 方 法 汇 总(总 2页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-2 1.排列的定义:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.2.组合的定义:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素,并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.3.排列数公式:!(1)(2).(1)!mnnAn nnnmnm 4.组合数公式:(1)(2).(1)!m!m!mmnnmmAn nnnmnCAnm 排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组
2、合问题.分隔排列-插空法 相邻排列-捆绑法 互斥分类-分类法 先后有序-位置法 反面明了-排除法 方法 1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。例 1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12 张。8 个学生，4 个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法 分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有 7 个空档可插
3、,选其中的 4 个空档,共有47A种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A种.方法 2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.例 2 5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要排在一起,有多少种不同的排法 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.3 解：因为女生要排在一起,所以可以将 3 个女生看成是一个人,与 5 个男生作全排列,有66A种排法,其中女生内部也有33
4、A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A种不同的排法.方法 3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.例 3 在高二年级中的 8 个班,组织一个 12 个人的年级学生分会,每班要求至少 1 人,名额分配方案有多少种 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.解：此题可以转化为:将 12 个相同的白球分成 8 份,有多少种不同的分法问题,因此须把这 12 个白球排成一排,在 11 个空档中放上 7 个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白
5、球分成 8 份,显然有711C种不同的放法,所以名额分配方案有711C种.方法 4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.例 4 袋中有不同的 5 分硬币 23 个,不同的 1 角硬币 10 个,如果从袋中取出 2元钱,有多少种取法 分析：此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.解：把所有的硬币全部取出来,将得到23+10=元,所以比 2 元多元,所以剩下元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角,
6、所以共有311232310CCC种取法.方法 5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.例 5 期中安排考试科目 9 门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序 分析：对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.解：不加任何限制条件,整个排法有99A种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有
7、9912A 。方法 6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.4 例 6 某班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 分析：此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.解：43 人中任抽 5 人的方法有543C种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有540C种,所以正副班长,团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 554340CC种.