因式分解拓展题及解答必考题型.pdf

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1、 因式分解拓展题及解答必考题型 The latest revision on November 22,2020 因式分解拓展题解 板块一：换元法 例 1 分解因式：2222(48)3(48)2xxx xxx【解析】将248xxu看成一个字母，可利用十字相乘得 原式2232()(2)uxuxux ux22(48)(482)xxx xxx 例 2 分解因式：22(52)(53)12xxxx【解析】方法 1：将25xx看作一个整体，设25xxt，则 原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)ttttttxxxx 方法 2：将252xx看作一个整体，设252xxt，则 原式=22(

2、1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t tttttxxxx 方法 3：将253xx看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把25xx看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)xxxxxxxxxx2(51)xx.【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15xxxx【巩固】分解因式：22(1)(2)12xxxx 例 3 证明：四个连续整数的乘积加 1 是整数的平方【解析】设这四个连续整数为：1x、2x、3x、4x 原式22(55)1(55)11xxxx22(55)1 1xx 22(55)xx【巩固】

3、若x，y是整数，求证：4234xyxyxyxyy是一个完全平方数.令2254xxyyu 上式2422222(2)()(55)u uyyuyxxyy 即4222234(55)xyxyxyxyyxxyy 例 4 分解因式2(25)(9)(27)91aaa【解析】原式22(25)(3)(3)(27)91(215)(221)91aaaaaaaa 设2215aax，原式2(6)91691(13)(7)x xxxxx22(228)(28)aaaa【巩固】分解因式22(32)(384)90 xxxx【解析】原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90 xxxxxxxx 原式22(3)(2

4、)90584(12)(7)(2512)(27)(1)yyyyyyxxxx 例 5 分解因式：22224(31)(23)(44)xxxxxx【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44xxxxxx，故可设2231,23xxA xxB，则244xxAB.故原式=24()ABAB2A 222()BABAB 22222(31)(23)(232)xxxxxx .【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)abab abab【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共 4 个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,abx aby，【解析】则原式=222(2)(2)(1)222x

5、y xyxxyyyx 例 6 分解因式：272)3()1(44xx【解析】设1322xxyx，则原式=4442(1)(1)2722(61)272yyyy【巩固】分解因式：4444(4)aa【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2xa 板块二：因式定理 因式定理：如果xa时，多项式1110.nnnna xaxa xa的值为0，那么xa是该多项式的一个因式.有理根：有理根pcq的分子p是常数项0a的因数，分母q是首项系数na的因数.例 7 分解因式：32252xxx【巩固】02a 的因数是1，2，2na 的因数是1，2 因此，原式的有理根只可能是1，2(分母为 1)，12 因为(1)21526f

6、 ，(1)21520f ，于是1是()f x的一个根，从而1x 是()f x的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补 0：可得原式2(232)(1)xxx(2)(21)(1)xxx 点评：观察，如果多项式()f x的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明(1)0f；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明(1)0f.【巩固】分解因式：65432234321xxxxxx 解析：本题有理根只可能为1.1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1是根，所以原式有因式1x，原式5432(1)(221)xxxxxx 容易验证1也是54322

7、21xxxxx的根，5432221xxxxx42(1)(21)xxx22(1)(1)xx，所以65432234321xxxxxx222(1)(1)xx【巩固】分解因式：322392624xx yxyy 解析：322392624xx yxyy(2)(3)(4)xy xy xy 例 8 分解因式：32()()xabc xabbcca xabc【解析】常数项abc的因数为a，b，c，ab，bc，ca，abc 把xa代入原式，得 所以a是原式的根，xa是原式的因式，并且 【巩固】分解因式：32()(32)(23)2()lm xlmn xlmn xmn【解析】如果多项式的系数的和等于0，那么 1 一定是

8、它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0，那么1一定是它的根现在正是这样：所以1x 是原式的因式，并且 23232222321 25222 35 33 22 22 0 xxxxxxxxxxxxxx板块三：待定系数法 如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果 12112112101210nnnnnnnnnnnna xaxaxa xab xbxbxb xb 那么nnab，11nnab，11ab，00ab.例 9 用待定系数法分解因式：51xx【解析】原式的有理根只可能为1，但是这 2 个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式

9、 故52321(1)(1)xxxaxxbxcx 或52321(1)(1)xxxaxxbxcx 故010101abcabacbac ，解得110abc，所以52321(1)(1)xxxxxx 事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】421xx是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积 解析：我们知道42221(1)(1)xxxxxx.421xx不能分解成两个整系数的二次因式的乘积 如果421xx能够分解，那么一定分解为22(1)(1)xaxxbx或22(1)(1)xaxxbx 比较3x与2x的系数可得:021abab (1)(2)由(1)得ba，代入(2)得221a ，即23a 或2

10、1a ，没有整数a能满足这两个方程 所以，421xx不能分解成两个整系数的二次因式的积 (从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)【巩固】631xx能否分解为两个整系数的三次因式的积 解析：设6332321(1)(1)xxxaxbxxcxdx，比较5x，3x及x的系数，得010acadbcbd 由第一个方程与第三个方程可得ca，db,再把它们代入第二个方程中，得1abab矛盾!所以，631xx不可能分解为两个整系数的三次因式的积 例 10 分解因式：43223xxxx【解析】原式的有理根只可能为1，3，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式我

11、们设想43223xxxx可以分为两个整系数的二次因式的乘积由于原式是首 1 的(首项系数为 1)，两个二次因式也应当是首 1 的 于是，设43223xxxx22()()xaxb xcxd 其中整系数abcd、有待我们去确定比较式两边3x，2x，x的系数 及常数项，得1213acbdacbcadbd (2)(3)(4)(5)这样的方程组，一般说来是不容易解的不过，别忘了bd、是整数!根据这一点，从(5)可以得出13bd或13bd ，当然也可能是31bd或31bd 在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有13bd或13bd 这两种情况 将1b，3d，代入(4)，得31ca 将与相减得2

12、2a ，于是1a ，再由得2c 这一组数(1a ，1b，2c，3d)不仅适合、，而且适合 因此43223xxxx22(1)(23)xxxx 将1b ，3d ，代人，得31ca 将与 相加得20a.于是0a，再由 得1c.这一组数(0a，1b ，1c，3d )，虽然适合、，却不适合，因而4322223(1)(3)xxxxxxx.事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要 板块四：轮换式与对称式 对称式：xy、的多项式xy，xy，22xy，33xy，22x yxy，在字母x与y互换时，保持不变这样的多项式称为xy、的对称式 类似地，关于x

13、yz、的多项式xyz，222xyz，xyyzzx，333xyz，222222x yx zy zy xz xz y，xyz，在字母xyz、中任意两字互换时，保持不变 这样的多项式称为xy z、的对称式 轮换式：关于xyz、的多项式xyz，222xyz，xyyzzx，333xyz，222x yy zz x，222xyyzzx，xyz 在将字母xyz、轮换(即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变 这样的多项式称为xyz、的轮换式显然，关于xyz、的对称式一定是xyz、的轮换式 但是，关于xy、，z的轮换式不一定是对称式例如，222x yy zz x就不是对称式 次数低于 3 的轮换式同时也是

14、对称式 两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)例 11：分解因式：222()()()xyzyzxzxy 解析：222()()()xyzyzxzxy是关于xyz、的轮换式 如果把222()()()xyzyzxzxy看作关于x的多项式，那么在xy时，它的值为222()()()0yyzyzyzyy.因此，xy是222()()()xyzyzxzxy的因式 由于222()()()xyzyzxzxy是xyz、的轮换式，可知yz与zx也是它的因式从而它们的积()()()xyyz zx 是222()()()xyzyzxzxy 的因式 由于、都是xyz、的三次多项式

15、，所以两者至多相差一个常数因数k，即有 222()(.)()()()()xyzyzxzxyk xyyz zx 现在我们来确定常数k的值为此，比较的两边2x y的系数：左边系数为 1，右边系数为k因此，1k 于是222()()()xyzyzxzxy()()()xyyz zx 思路 2：利用 yz(yx)(zx).例 12 分解因式：222222()()()xy xyyz yzzx zx【解析】此式是关于x，y，z的四次齐次轮换式，注意到xy时，原式0，故xy是原式的一个因式.同理，yz，zx均是原式的因式，而()()()xyyz zx是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为()k xyz，故

16、原式()()()()k xyz xyyz zx，展开并比较系数可知，1k ，故原式()()()()xyz xyyz zx.思路 2：利用 x2y2(x2z2)+(z2y2).家庭作业 练习 1 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3xxxxx 原式2224(1760)(1660)3xxxxx2224(1660)(1660)3xxxxxx 练习 2 要使1348xxxxm为完全平方式，则常数m的值为_【解析】1348xxxxm22222(54)(524)(5)20(5)96xxxxmxxxxm，则196m 练习 3 分解因式：22(68)(1448)12xxxx【解析】原式22(2)(4)

17、(6)(8)12(1016)(1024)12xxxxxxxx 设21016txx，则 原式(8)12(2)(6)t ttt22(1018)(1022)xxxx 练习 4 分解因式：22222()4()xxyyxy xy【解析】设22xya，xyb，则原式22222()4()()abababxyxy.练习 5 分解因式：32252xxx 练习 6 分解因式：326116xxx 练习 7 用待定系数法分解：541xx【解析】原式的有理根只可能为1，但是这 2 个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式 故542321(1)(1)xxxaxxbxcx 或54232

18、1(1)(1)xxxaxxbxcx 5423254321(1)(1)()(1)(1)()1xxxaxxbxcxxab xabcxacbxac x 故110100abcabacbac ，解得101abc，所以54231(1)(1)xxxxxx 事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.练习 8 分解因式：333()()()a bcb cac ab【巩固】333()()()a bcb cac ab是关于abc、的轮换式它有三次因式()()()ab bc ca由于原式是abc、的四次式，所以还应当有一个一次因式原式是abc、的四次齐次式，所以这个一次因式也是abc、的一次齐次式，即它的常数项是

19、 0(否则，它的常数项与三次式()()()ab bc ca相乘得到一个三次式)这个一次齐次式是abc、的轮换式，形状应当是()k abck是常数 即有333()()()a bcb cac ab()()()()k abc ab bc ca 比较两边3a b的系数，得1k 于是333()()()a bcb cac ab()()()()abc ab bc ca 上面求k的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使()()()()0abc ab bc ca 的数代替abc、从而定出k，例如，令2a,1b,0c,把它代入，得8203(2)k ,即1k ,以上两种确定系数的方法可以结合起来使用 补充题【备选 1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24aaaa【备选 2】分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xyxyxyxy【解析】设xyu，xyv,原式(u+v+1)(u v+1)(x+1)(y+1)(x 1)(y1).【备选 3】分解因式：43265332xxxx【解析】原式的有理数根只可能为：1，2，12，13，23，16 经检验12是一个根，所以21x 是原式的因式，进而可得：