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1、 圆锥曲线知识点全归纳完整精华版 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比 e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当 0e1 时为双曲线。一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于 1 的正常数 e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。标准方程：1.中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：(x2/a2)+(y2/b2)=1?其中 ab0，c0，c2=a2-
2、b2.2.中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆标准方程：(x2/b2)+(y2/a2)=1 其中 ab0，c0，c2=a2-b2.参数方程：X=acosY=bsin(为参数，设横坐标为 acos，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时 c=0，圆的 acos=r)2）双曲线 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于 1 的常数 e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率。标准方程：1.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线标准方程：(x2/a2)-(y2/b2)=1?其中 a0,b0,c2=a2+b2.2.中心在原点,焦点在 y
3、轴上的双曲线标准方程：(y2/a2)-(x2/b2)=1.其中 a0,b0,c2=a2+b2.参数方程：x=asecy=btan(为参数)3）抛物线 标准方程：1.顶点在原点,焦点在 x 轴上开口向右的抛物线标准方程：y2=2px 其中p0 2.顶点在原点,焦点在 x 轴上开口向左的抛物线标准方程：y2=-2px 其中p0 3.顶点在原点,焦点在 y 轴上开口向上的抛物线标准方程：x2=2py 其中p0 4.顶点在原点,焦点在 y 轴上开口向下的抛物线标准方程：x2=-2py 其中p0 参数方程?x=2pt2?y=2pt(t 为参数)t=1/tan(tan 为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）
4、特别地，t 可等于 0 直角坐标?y=ax2+bx+c(开口方向为 y 轴,a0）x=ay2+by+c（开口方向为 x轴,a0)圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为?=ep/(1-ecos)其中 e 表示离心率，p 为焦点到准线的距离。二、焦半径 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。圆锥曲线左右焦点为 F1、F2,其上任意一点为 P(x,y)，则焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex 双曲线 P 在左支，|PF1|=a-ex|PF2|=a-ex P 在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=a+ex P 在下支，|PF1|=a-ey|PF2|=a-ey P 在上支，|
5、PF1|=a+ey|PF2|=a+ey 抛物线|PF|=x+p/2 三、圆锥曲线的切线方程?圆锥曲线上一点 P（x0,y0）的切线方程 以 x0 x 代替 x2,以 y0y 代替 y2;以(x0+x)/2 代替 x,以(y0+y)/2 代替 y?即椭圆:x0 x/a2+y0y/b2=1;双曲线：x0 x/a2-y0y/b2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)四、焦准距 圆锥曲线的焦点到准线的距离 p 叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。椭圆的焦准距:p=(b2)/c?双曲线的焦准距:p=(b2)/c?抛物线的准焦距:p 五、通径 圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。椭圆的通径:(2b2)/a?
6、双曲线的通径:(2b2)/a?抛物线的通径:2p 六、圆锥曲线的性质对比 见下图：七、圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 联立方程法。用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于 x 的一元二次方程和关于 y 的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。2.点差法，或称代点相减法。设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得(x1+x2)(x1-x2)/(a2)+(y1+y2)(y1-y2)/(b2=0 由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）补充：焦点三角形面积公式椭圆=b2tan(a2)=c|y0|双曲线=b2cot（a2)。