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1、 2018 年春季人教版九年级数学下册中考动态问题导学案 第 2 页 中考复习课 中考动态问题导学案【导学目标】1使学生理解并掌握中考试题中常见的动点、动线及图形运动问题。2让学生学会用数形结合、分类讨论等数学思想来构建方程、函数模型，培养学生的数学思维能力。3让学生在合作交流的学习过程中，体验动态问题中的分类讨论思想，体验到成功的乐趣，从而增强学习数学的自信心。【导学重点】动态问题中的分类讨论思想，注意分类讨论周全，不要遗漏。【导学难点】利用相关的知识和方法（如方程、函数、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，构建相应的数学模型进行求解.【导学过程】一、专题介绍 动态问题越来越成为
2、中考的重中之重，也是很多学生较困惑的题型。首先要明确动态问题的题型特点，深刻理解解题要领在哪里，再加上具备扎实的 第 3 页 基础知识，答好动态问题并没有那么难。理解以下四点非常关键：1动非静，易生变，要有充分的分类讨论意识。2运动的过程可以理解为由无数个静止时刻构成，因此所求问题大致有三种形式：极值、定值、特殊值。3尝试动手画图，作出符合要求的基本示意图。4方程求值、函数求值（极值）意识。二、典例剖析 例 1 如图，O 的半径为 2，点 O 到直线 l的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ切O 于点 Q，则 PQ 的最小值为 .【设计意图】考查动态问题中点在特殊时刻或点运动到特
3、殊位置时取最值。【解析过程】步骤一：审题，特殊时刻为“PQ 取最小值时”.步骤二：作图，线段 PQ 的长度与线段 PO 有关，即存在 PQ2=PO2-OQ2，当 PO 最小时（POl），PQ 取最小值，如图.步骤三：求值.利用提示图的特殊时刻性质 PQ2=PO2-OQ2计算求值.答案：5 第 4 页 变式练习：如图，O 是以原点为圆心，2为半径的圆，点 P 是直线6xy上的一点，过点 P 作O 的一条切线 PQ，Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为 .例 2（2019,吉林）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=6cm，BD=8cm，动点 P，Q 分别从点 B
4、，D 同时出发，运动速度均为 1 cm/s，点 P 沿 BCD 运动，到点 D 停止，点 Q 沿 DOB 运动，到点 O 停止 1s 后继续运动，到 B 停止，连接 AP，AQ，PQ设APQ 的面积为 y（cm2）（这里规定：线段是面积 0 的几何图形），点 P 的运动时间为 x（s）(1)填空：AB=cm，AB 与 CD 之间的距离为 cm；(2)当 4x10 时，求 y 与 x 之间的函数解析式；(3)直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与菱形ABCD 一边平行的所有 x 的值【设计意图】本题是动态型综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点，重点考查了分类讨论的数学思
5、想本题第（2）（3）问均需分类讨论，这是解题的难点；另外，试题计算量较大，注意认真计算同时通过中考真 第 5 页 题的学习，让学生体会到动态问中分类讨论的思想。【思路分析】（1）根据勾股定理即可求得 AB，根据面积公式求得 AB 与 CD 之间的距离（2）当 4x10 时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：当 4x5 时，如答图 11 所示，此时点 Q 与点 O 重合，点 P 在线段 BC 上；当 5x9 时，如答图 12 所示，此时点 Q 在线段 OB 上，点 P 在线段 CD 上；当 9x10 时，如答图 13 所示，此时点 Q 与点 B 重合，点 P 在线段 CD 上（3）有
6、两种情形，需要分类讨论，分别计算：若 PQCD，如答图 21 所示；若 PQBC，如答图 22 所示【规范解答】（1）菱形 ABCD 中，AC=6cm，BD=8cm，ACBD，AB=543222222BDAC，第 6 页 设 AB 与 CD 间的距离为 h，ABC的面积 S=21ABh，又ABC 的面积 S=21S菱形ABCD=2121ACBD=212168=12，21ABh=12，h=（2）设CBD=CDB=，则易得：sin=53，cos=54 当 4x5 时，如图 11 所示，此时点Q 与点 O 重合，点 P 在线段 BC 上 PB=x，PC=BCPB=5x 过点 P 作 PHAC 于点
7、H，则PH=PCcos=54（5x）y=21SAPQ=QAPH=21354（5x）=56x+6；当 5x9 时，如图 12 所示，此时点Q 在线段 OB 上，点 P 在线段 CD 上 PC=x5，PD=CDPC=5（x5）=10 x 第 7 页 过点 P 作 PHBD 于点 H，则PH=PDsin=53（10 x）y=SAPQ=S菱形ABCDSABQS四边形BCPQSAPD=S菱形ABCDSABQ（SBCDSPQD）SAPD=21ACBD21BQOA（21BDOC21QDPH）21PDh=216821（9x）3218321（x1）53（10 x）21（10 x）524 当 9x10 时，如图
8、13 所示，此时点Q 与点 B 重合，点 P 在线段 CD 上 y=SAPQ=21ABh=215524=12 综上所述，当 4x10 时，y 与 x 之间的函数解析式为：图 1-1 图 1-2 图 1-3 第 8 页 y=1091295257536103546562xxxxxx（3）有两种情况：若 PQCD，如图 21 所示此时BP=QD=x，则 BQ=8x PQCD，即，x=；若 PQBC，如图 22 所示此时PD=10 x，QD=x1 PQBC，即，x=综上所述，满足条件的 x 的值为 或 三、方法总结 动态问题解题三步骤：1审题 2作图 3求解 四、当堂检测【设计意图】通过 3 道中考真
9、题的演练，让学生学有方向，复习更有针对性。认 真 审题 模糊作图 作 出 特殊 时 刻 的 示意图.利用特殊图形(特殊时刻)性质求解 图 2-2 图 2-1 第 9 页 1（2019,黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 ABCD 中，AD 边的中点处有一动点 P，动点 P 沿 PDCBAP 运动一周，则 P 点的纵坐标 y 与点 P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（）A B C D 2（2019,广西玉林市、防城港市）如图，边长分别为 1 和 2 的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止设小三
10、角形移动的距离为 x，两个三角形重叠面积为y，则 y 关于 x 的函数图象是（）A B C D 3.（2019青岛）已知：如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=12cm，BD=16cm点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，直线 EF 从点 D 出发，沿 DB 方向匀速运动，速度为 1cm/s，第 10 页 EFBD，且与 AD，BD，CD 分别交于点 E，Q，F；当直线 EF 停止运动时，点 P 也停止运动连接 PF，设运动时间为 t（s）（0t8）解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？(2)设四边形
11、APFE 的面积为 y（cm2），求 y 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻 t，使 S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出 t 的值，并求出此时 P，E 两点间的距离；若不存在，请说明理由 解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ABCD，ACBD，OA=OC=21AC=6，OB=OD=21BD=8 在 RtAOB 中，AB=10 EFBD，FQD=COD=90 又FDQ=CDO，DFQDCO =即=8t，DF=45t 四边形 APFD 是平行四边形，AP=DF 第 11 页 即 10t=45t，解这个方程，得 t=当 t=s时，四边形 APFD 是平行四边形（2
12、）如图，过点 C 作 CGAB 于点 G，S菱形ABCD=ABCG=21ACBD，即 10CG=211216，CG=S梯形APFD=21（AP+DF）CG=21（10t+45t）=56t+48 DFQDCO，=即8t=，QF=43t 同理，EQ=43tEF=QF+EQ=23tSEFD=21EFQD=2123tt=43t2 y=（56t+48）43t2=43t2+56t+48（3）若 S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则43t2+56t+48=96，即 5t28t48=0，解这个方程，得 t1=4，t2=（舍去）第 12 页 如图，过点 P 作 PMEF 于点 M，PNBD于点 N，
13、当 t=4 时，PBNABO，=，即=PN=，BN=EM=EQMQ=PM=BDBNDQ=在 RtPME 中，PE=（cm）五、中考指津 全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考查运动中变与不变的量及其位置关系；应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解.六、板书设计 1方法总结 动态问题解题三步骤：第 13 页 1审题 2作图 3求解 2中考指津 全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考查运动中变与不变的量及其位置关系；应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解.认 真 审题 模糊作图 作 出 特殊 时 刻 的 示意图.利用特殊图形(特殊时刻)性质求解