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1、 初 中 八 上 全 等 三 角 形 证 明 方 法 归纳 经 典 全(总 2 0 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-2【第 1 部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若ABC 和ABC是全等的，记作“ABCABC”其
2、中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。（3）全等三角形周长，面积相等。4、寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。图 3 图 1 图 2 3（2）根据已知的对应元素寻找 全等三
3、角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3 种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，三个角对应相等，即AAA；有两边和其中一角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动
4、图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如：过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F 过点 A 作 BC 的垂线，垂足为D 延长 AB 至 C，使 BCAC 在 AB 上截取 AC，使 ACDE 作ABC 的平分线，交 AC 于 D 取 AB 中点 C，连接 CD 交 EF 于 G 点 同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。4 【第 2 部分 中点条件的运用】1、还原中心对称图形（倍长中线法）中心对称
5、与中心对称图形知识：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。中心对称的两条基本性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形 线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对
6、称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。例 1、AD 是ABC 中 BC 边上的中线，若 AB2，AC4，则 AD 的取值范围是_。ACBBCAODABC5 例 2、已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于F，AFEF，求证：ACBE。例 3、如图，D 是ABC 的边 BC 上的点，且 CD=AB，ADB=BAD，AE 是ABD 的中线。求证：AC=2AE 例 4 ABC 中，AD、BE、CF 是三边对应中线。（则 O 为重心）求证：AD、BE、CF 交于点 O。（类倍长中线）；AOBBOCCOASSS 练习 1、在ABC中，D为BC边
7、上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：ABAC ABCD 2、如图，已知四边形ABCD 中，ABCD，M、N 分别为 BC、AD 中点，延长 MN 与AB、CD 延长线交于 E、F，求证BEMCFM ABCDEFEFACDMBOFEDABC6 3、如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点 M 为 BC 的中点，求证：DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K 型）2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）如图，1l2l，C 是线段 AB 的中点，那么过点 C 的任何 直线都可以和二条平行线以及 AB 构造“8 字型”全等 例 1 已知梯形 ABCD，ADBC，点 E 是
8、 AB 的中点，连接 DE、CE。求证：ABCD12DECSS梯 例 2 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，M 是 AD 的中点，CEAB 于点 E，CEM=40，求DME 的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）l2l1CBAEADCBEMABDCMDEBAC7 例 3 已知ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABDACE=90，连接 DE，设M 为 DE 的中点。求证：MBMC；设BADCAE，固定 RtABD，让RtACE 移至图示位置，此时 MBMC 是否成立？请证明你的结论。练习 1、已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90若 BD=BC，F 是
9、 CD的中点，试问：BAF 与BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；2、RtABC 中，BAC=90，M 为 BC 的中点，过 A 点作某直线l，过 B 作BDl于点 D，过 C 作CEl于点 E。（1）求证：MD=ME（2）当直线l与 CB 的延长线相交时，其它条件不变，（1）中的结论是否任然成立？ABCDFlDAlEDAEACDMBEACDMB8 3、如图（1），在正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CGBC）中，点 B、C、G 在同一直线上，M 是 AE 的中点，（1）探究线段 MD、MF 的位置及数量关系，并证明；（2）将图（1）中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转
10、，使正方形 CGEF 的对角线CE 恰好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。（结合前面“8 字型”全等，仔细思考）3、构造中位线 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。（全等法）在ABC中，D、E 分别是 AB、AC 边的中点，证明：DEBC，DE=12BC 证明：延长 DE 至 F
11、 点，使 DE=EF，连接 CF（倍长中线）MDAEFGCBMDAEFGCBFEDBCA9 三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给出 的分散条件集中起来（集散思想）。注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。例 1 在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。求证：四边形 EFGH 是平行四边形。例 2 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC=BD，M、N 分别是AB、CD 的中点，MN 分别交 BD、AC 于点 E、F.你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？练习 1、三角
12、形 ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，BDAD，点D 是垂足，点 E是边 BC 的中点，如果 AB=6，AC=14，求 DE 的长。2、ABCD，BCAD，DEBE，DF=EF，甲从 B 出发，沿着 BA-AD-DF的方向运动，乙 B 出发，沿着 BC-CE-EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从 B 出发，则谁先到达F 点？HGFEABCDFEONMABCDEDABCAFBEDC10 3、等腰 RtABC 与等腰 RtCDE 中，ACB=EDC=90，连 AE、BE，点 M 为BE 的中点，连 DM。（1）当 D 点在 BC 上时，求DMAE的值（2）当CDE绕点 C 顺时针
13、旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明 4、ABC、CEF都为等腰直角三角形，当E、F 在 AC、BC 上，ACB=90，连 BE、AF，点 M、N 分别为 AF、BE 的中点（1）MN 与 AE 的数量关系（2）将CEF绕 C 点顺时针旋转一个锐角，MN 与 AE 的数量关系 MACBEDMACBDENB11 4、与等面积相关的图形转换 在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形 如图，ABC 中，E 为 BC 边的中点，那么显然 ABE 和AEC 有相同的高 AD，底边也相等，故面积相等。例 E、F 是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、C
14、E 交于点 G，则AGCDABCDSS四边形矩形=DEABCGFEABCDMNEACBF12 扩展 如图，等腰 RtACD 与 RtABC 组成一个四边形ABCD，AC=4，对角线 BD把 四边形 ABCD 分成了二部分，求ABDBCDSS的值。【5、等腰三角形中的“三线合一”】“三线合一”是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲密的关系。例 ABC 中，AB=AC，BDAC 于 D，问CBD 和BAC 的关系？分析：CBD 和BAC 分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。例 在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 M 为 BC 中点，MNAC
15、于点 N，则 MN=_ 【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。NBMACDBACDBACDBACADCB13 例 如图 RtABC 中，ACD=90，CD 为斜边 AB 上的中线 求证：CD=12AB（1）利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段 的二个端点的距离相等。取 AC 的中点 E，连接 DE。则 DEBC（中位线性质）ACB=90BCAC，DEAC 则 DE 是线段 AC 的垂直平分线AD=CD（2）全等法，证法略。例 在三角形 ABC 中，AD 是三角形的高，点 D 是垂足，点 E
16、、F、G 分别是 BC、AB、AC 的中点，求证：四边形 EFGD 是等腰梯形。练习 1、在 RtABC 中，A=90，AC=AB，M、N 分别在 AC、AB 上，且AN=BM。O 为斜边 BC 的中点。试判断OMN 的形状，并说明理由。2、ABC 中，A=90，D 是 BC 的中点，DE DF。求证:222BECFEF （集散思想）3、ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，E 在 AB 上，且 BD=DE，点 P、M、N 分别为AD、BE、BC 的中点（1）若BAC=90，则PMN=_ _，并证明（2）若BAC=60，则PMN=_ （3）若BAC=，则PMN=_ EFDCABFDCA
17、BGFEDABCOCABNMFDACBENPMECABDPA14 【中点问题练习题】1、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图 1，在ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，且 CD=CA，点 E、F 分别为BC、AD 的中点，连接 EF 并延长交 AB 于点 G求证：四边形 AGEC 是等邻角四边形；（3）如图 2，若点 D 在ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与 CD 交于点 H，是否存在等邻角四边形，若存在，是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由 2、已
18、知：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点 M 是 CE的中点，连接 BM （1）如图，点 D 在 AB 上，连接 DM，并延长 DM 交 BC 于点 N，可探究得出BD 与 BM 的数量关系为_，写出证明过程。MPENBCADGFDCAEBHGFCAEBD15 （2）如图，点 D 不在 AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。3、在AOB 中，AB=OB=2，COD 中，CD=OC=3，ABO=DCO连接 AD、BC，点 M、N、P 分别为 OA、OD、BC 的中点 若 A、O、C 三点在同一直线上，ABO=60，则PMN 的形状是_
19、，此时ADBC=_ 4、已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均要求证明）PNMDBACONMCBAEDMCBADEGADEGFADE16 全等三角形综合二 知识点：1、
20、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解 例 1、如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AE 平分BAC，交 CD 于 K，交 BC于 E，F 是 BE 上一点，且 BF=CE，求证：FKAB 例 2、如图 1，ABC 中，BAC=90，BA=AC，（1）D 为 AC 的中点，连 BD，过 A 点作 AEBD 于 E 点，交 BC 于 F 点，连 DF，求证：ADB=CDF（2）若 D，M 为 AC 上的三等分点，如图 2，连 BD，过 A 作 AEBD 于点 E，交 BC 于点 F，连 MF，判断 ADB 与CMF 的大小关系并证明 GF
21、BCADE17 例 3、如图，在ABC 中，C=90，M 为 AB 的中点，DMAB，CD 平分ACB，求证：MD=AM 例 4、在ABC 中，ACB 为锐角，动点 D（异于点 B）在射线 BC 上，连接 AD，以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF，连接 CF（1）若 AB=AC，BAC=90那么 如图一，当点 D 在线段 BC 上时，线段 CF 与 BD 之间的位置、大小关系是_（直接写出结论）如图二，当点 D 在线段 BC 的延长上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由 （2）若 ABAC，BAC90点 D 在线段 BC 上，那么当ACB 等于多少度时？线段 CF 与 BD 之间
22、的位置关系仍然成立请画出相应图形，并说明理由 例 5、如图所示，已知 A，B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别以 AC、BC 为直角边向ABC 外作等腰直角CAD 和等腰直角CBE，满足CAD=CBE=90，过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1（1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时，试说明 DD1=AB；18（2）在图中，当 D，E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DD1，EE1，AB 之间的数量关系，并说明理由 例 6、如图 1，已知点 A（a，0），点 B（0，b），且 a、b 满足 （1）求 A、
23、B 两点的坐标；（2）若点 C 是第一象限内一点，且OCB=45，过点 A 作 ADOC 于点 F，求证：FA=FC；（3）如图 2，若点 D 的坐标为（0，1），过点 A 作 AEAD，且 AE=AD，连接BE 交 x 轴于点 G，求 G 点的坐标 巩固：1、如图，已知BAC=90，ADBC 于点 D，1=2，EFBC 交 AC 于点 F试说明 AE=CF 2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC于 F 19（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=5，AC=3，求 AE、BE 的长 3、如图，ABC 中，AC=2AB，AD 平分BA
24、C 交 BC 于 D，E 是 AD 上一点，且EA=EC。求证：EBAB 4、如图，在ABC 中，ACB=90，P 为 AC 上一点，PQAB 于 Q，AMAB 交BP 的延长线于 M，MNAC 于 N，AQ=MN（1）求证：AP=AM；（2）求证：PC=AN 5、如图，ABC 内，BAC=60，ACB=40，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC 的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP 6、将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图（1）方式摆放，其中ACB=DEB=90，A=D=30，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F（1
25、）求证：CF=EF；20（2）若将图（1）中的DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 a，且 0a60，其他条件不变，如图（2）请你直接写出 AF+EF 与 DE 的大小关系：AF+EF_ DE（填“”或“=”或“”）（3）若将图（1）中DBE 的绕点 B 按顺时针方向旋转角，且 60180，其他条件不变，如图（3）请你写出此时 AF、EF 与 DE 之间的关系，并加以证明 7、如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，ABC 的三点坐标分别为 A（0，5），B（-5，0），C（2，0），BDAC 于 D 且交 y 轴于 E，连接 CE（1）求ABC 的面积；（2）求的值及ACE 的面积 8
26、、如图 1，在平面直角坐标系中，点 A（4，4），点 B、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，S 四边形 OBAC=16（1）COA 的值为_；（2）求CAB 的度数；（3）如图 2，点 M、N 分别是 x 轴正半轴及射线 OA 上一点，且 OHMN 的延长线于 H，满足HON=NMO，请探究两条线段 MN、OH 之间的数量关系，并给出证明 21 9、在平面直角坐标系中，点 A（2，0），点 B（0，3）和点 C（）；（1）请写出 OB 的长度：OB=_；（2）如图：若点 D 在 x 轴上，且点 D 的坐标为（-3，0），求证：AOBCOD；（3）若点 D 在第二象限，且AOBCOD，则这时
27、点 D 的坐标是_（直接写答案）10、已知，在ABC 中，CA=CB，CA、CB 的垂直平分线的交点 O 在 AB 上，M、N分别在直线 AC、BC 上，MON=A=45（1）如图 1，若点 M、N 分别在边 AC、BC 上，求证：CN+MN=AM；（2）如图 2，若点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 边的延长线上，试猜想 CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）11、（1）如图 1，以ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形ACFG，连接 EG，试判断ABC 与AEG 面积之间的关系，并说明理由（2）园林小路，曲径通幽，如图 2 所示，小路
28、由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少平方米 22 12、如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE 拼在一起（图 1）ABD不动，（1）若将ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2），证明：MB=MC（2）若将图 1 中的 CE 向上平移，CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接MB、MC（图 3），判断并直接写出 MB、MC 的数量关系（3）在（2）中，若CAE 的大小改变（图 4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC
29、的数量关系还成立吗？说明理由 13、如图，ABC 中，D 是 BC 的中点，过点 D 的直线 MN 交 AC 于 N，交 AC 的平行线 BM 于 M，PDMN，交 AB 于点 P，连接 PM、PN（1）求证：BM=CN；（2）请你判断 BP+CN 与 PN 的在数量上有何关系，并说明你的理由 23 14、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A、B 两点的坐标分别为 A（m，0）、B（0，n），且，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒（1）求 OA、OB 的长；（2）连接 PB，若POB 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围；（3）过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 P，使EOPAOB？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由