线面垂直习题精选.pdf

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1、 线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图 1，在正方体1111ABCDABC D中，M为1CC 的中点，AC交BD于点O，求证：1AO 平面MBD 证明：连结MO，1AM，DB1A A，DBAC，1A AACA，DB平面11A ACC，而1AO 平面11A ACC DB1AO 设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa 在 Rt11AC M中，22194AMa22211AOMOAM，1AOOM OMDB=O，1AO平面MBD 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图 2，P是ABC所

2、在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC 证明：在平面PAC内作ADPC交PC于D 因为平面PAC平面PBC，且两平面交于PC，AD 平面PAC，且ADPC，由面面垂直的性质，得AD平面PBC 又BC 平面PBC，ADBC PA平面ABC，BC 平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC （另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC平面PAC）评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，

3、通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直 判定性质线面垂直 判定性质面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明 3 如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SBSCSD，于EFG，求证：AESB，AGSD 证明：SA平面ABCD，SABCABBC，BC 平面SAB又AE 平面SAB，BCAESC 平面AEFG，SCAEAE 平面SBCAESB同理可证AGSD 评注：本题欲证线

4、线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化 4 如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ACBC，CFAB ADBD，DFAB 又CFDFF，AB 平面CDF CD 平面CDF，CDAB 又CDBE，BEABB，CD 平面ABE，CDAH AHCD，AHBE，CDBEE，AH 平面BCD 评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复

5、，直到证得结论 5 如图，AB是圆的直径，是圆周上一点，PA 平面ABC若AEPC，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC 证明：AB是圆的直径，ACBC PA 平面ABC，BC 平面ABC，PABCBC 平面APC BC 平面PBC，平面APC平面PBC AEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC AE 平面AEF，平面AEF平面PBC 评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系 6.空间四边形 ABCD 中，若 ABCD，BCAD，求证：ACBD A D B O C 证明：过 A 作

6、AO平面 BCD 于 O AB CDCD BO，同理 BCDO O 为ABC 的垂心 于是BD COBD AC 7.证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1C平面 BC1D D1 C1 A1 B1 D C A B 证明：连结 AC BD AC AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影 BD A CA C BCA CBC D11111同理可证平面 8.如图，PA平面 ABCD，ABCD 是矩形，M、N 分别是 AB、PC 的中点，求证：MN AB P N D C A B M .证：取 PD 中点 E，则ENDC/12 P E N D C A B M ENAM/AEMN/又平面平面平面CD

7、 ADPAACCDPADAEPAD CD AECDABAEMNMN AB/9 如图在ABC 中，ADBC，ED=2AE，过 E 作 FGBC，且将AFG 沿 FG 折起，使AED=60，求证:AE平面 ABC 分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解：FGBC，ADBC AEFG AEBC 设 AE=a，则 ED=2a 由余弦定理得：AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60 =3a2 ED2=AD2+AE2 ADAE AE平面 ABC 10 如图,在空间四边形SABC中,SA平面ABC,ABC=90,ANSB于N,AMSC于M。求证:ANBC;SC平面ANM 分析:要证

8、ANBC,转证,BC平面SAB。要证SC平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SCAM,SCAN。要证SCAN,转证AN平面SBC,就可以了。证明:SA平面ABC SABC 又BCAB,且ABSA=A BC平面SAB AN平面SAB ANBC ANBC,ANSB,且SBBC=B AN平面SBC SCC平面SBC ANSC 又AMSC,且AMAN=A SC平面ANM 11 已知如图，P平面 ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60，BPC=90 求证：平面 ABC平面 PBC 分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然 BC

9、中点 D，证明 AD 垂直平 PBC 即可 证明：取 BC 中点 D 连结 AD、PD PA=PB；APB=60 PAB 为正三角形 同理PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTBPC 中，PB=PC=a BC=2a PD=22a 在ABC 中 AD=22BDAB ABCDFEGA =22aAD2+PD2=222222aa=a2=AP2APD 为直角三角形即 ADDP 又ADBC AD平面 PBC 平面 ABC平面 PBC 13 以 AB 为直径的圆在平面内，PA于 A，C 在圆上，连 PB、PC 过 A 作 AEPB 于 E，AFPC 于 F，试判断图中还有几组线面垂直。ABCPEF 解：

10、PCAFBCAFPACAFPACBCBCACABBCPABCPA面面为直径PBPBAEPBAFPBCAF面面 AEF 例 1 如图939，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面 ABC平面 BSC 【证明】SB=SA=SC，ASB=ASC=60AB=SA=AC 取 BC 的中点 O，连 AO、SO，则 AOBC，SOBC，AOS 为二面角的平面角，设 SA=SB=SC=a，又BSC=90，BC=2a，SO=22a，AO2=AC2OC2=a221a2=21a2，SA2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面 ABC平面 BSC【评

11、述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角这也是证两平面垂直的常用方法 例 2如图 940，在三棱锥 SABC 中，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC 图 940（1）求证：ABBC；（2）若设二面角 SBCA 为 45，SA=BC，求二面角 ASCB 的大小（1）【证明】作 AHSB 于 H，平面 SAB平面 SBC平面 SAB平面 SBC=SB，AH平面 SBC，又 SA平面 ABC，SABC，而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB，BCSB，又 SASB=S，BC平面 SABBCAB（2）【解】SA平面 ABC，平面 SAB平面 ABC，又平面 SAB平面 SBC，SBA

12、为二面角 SBCA 的平面角，SBA=45设 SA=AB=BC=a，作 AESC 于 E，连 EH，则 EHSC，AEH 为二面角 ASCB 的平面角，而 AH=22a，AC=2a，SC=3a，AE=36a sinAEH=23，二面角 ASCB 为 60【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法 例 3如图 941，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，PA=AD=a，M、N 分别是 AB、PC 的中点 （1）求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面 MND平面 PCD（1）【解】PA平面 ABCD，CDAD，PDCD，故PDA 为平面 ABCD 与平面

13、PCD 所成二面角的平面角，在 RtPAD 中，PA=AD，PDA=45（2）【证明】取 PD 中点 E，连结 EN，EA，则 EN 21CD AM，四边形 ENMA 是平行四边形，EAMN AEPD，AECD，AE平面 PCD，从而 MN平面 PCD，MN平面 MND，平面 MND平面 PCD【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证 MN平面 PCD 较困难，转化为证明 AE平面 PCD 就较简单了另外，在本题中，当 AB 的长度变化时，可求异面直线 PC 与 AD 所成角的范围 例 4如图 942，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D

14、1、B1C1的中点 图 942（1）求证：平面 MNF平面 ENF（2）求二面角 MEFN 的平面角的正切值（1）【证明】M、N、E 是中点，MCNCNBEB111145MNCENB11 90MNE即 MNEN，又 NF平面 A1C1，11CAMN平面MNNF，从而 MN平面 ENFMN 平面 MNF，平面 MNF平面 ENF（2）【解】过 N 作 NHEF 于 H，连结 MHMN平面 ENF，NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影，由三垂线定理得 MHEF，MHN 是二面角 MEFN 的平面角在 RtMNH 中，求得 MN=22a，NH=33a，tanMHN=26NHMN，即二面角 MEF

15、N 的平面角的正切值为26 例 5在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E、F 分别是 AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF平面 AB1C【证明】如图 943，E、F 分别是 AB1、CB1的中点，图 943EFACAB1=CB1，O 为 AC 的中点B1OAC故 B1OEF在 RtB1BO 中，BB1=3，BO=1 BB1O=30，从而OB1D1=60，又 B1D1=2，B1O1=21OB1=1（O1为 BO 与 EF 的交点）（2）【解】在 RtBB1O 中，BB1=2，BO=1，B1O=3，V柱=Sh=4343=3，111CBABV=3

16、1V柱=1，CCAABV11=V柱111CBABV=31=2 4如图 945，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PA底面 ABCD，E 为 AB 的中点，且 PA=AB 图 945（1）求证：平面 PCE平面 PCD；（2）求点 A 到平面 PCE 的距离（1）【证明】PA平面 ABCD，AD 是 PD 在底面上的射影，又四边形 ABCD 为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面 PAD，PDA 为二面角 PCDB 的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45，取 RtPAD 斜边 PD 的中点 F，则 AFPD，AF 面 PAD CDAF，又 PDCD=DAF平面

17、PCD，取 PC 的中点 G，连 GF、AG、EG，则 GF 21CD 又 AE 21CD，GF AE四边形 AGEF 为平行四边形AFEG，EG平面 PDC 又 EG 平面 PEC，平面 PEC平面 PCD（2）【解】由（1）知 AF平面 PEC，平面 PCD平面 PEC，过 F 作 FHPC 于 H，则 FH平面 PEC FH 为 F 到平面 PEC 的距离，即为 A 到平面 PEC 的距离在PFH 与 PCD 中，P 为公共角，而FHP=CDP=90，PFHPCDPCPFCDFH，设AD=2，PF=2，PC=324822CDPD，FH=362322A 到平面 PEC 的距离为36 5已知

18、直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，对角线 AC=2，BD=23，E、F 分别为棱 CC1、BB1上的点，且满足 EC=BC=2FB 图 946（1）求证：平面 AEF平面 A1ACC1；（2）求异面直线 EF、A1C1所成角的余弦值（1）【证明】菱形对角线 AC=2，BD=23BC=2，EC=2，FB=1，取 AE 中点 M，连结 MF，设 BD 与 AC 交于点 O，MO 21EC FB 平面 AEF平面 ACC1A1（2）在 AA1上取点 N，使 AN=2，连结 NE，则 NE ACA1C1 故NEF 为异面直线 A1C1与 EF 所成的角，连结 NF，在直角梯形 NABF

19、中易求得 NF=5，同理求得 EF=5 在ENF 中，cosNEF=55522543，即 EF 与 A1C1所成角的余弦值为55 【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用 【拓展练习】一、备选题 1如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA平面 ABC（1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）

20、若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面 （1）【证明】C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点，AB 是圆 O 的直径 BCAC；又 PA平面 ABC，BC平面 ABC，BCPA，从而 BC平面 PAC BC 平面 PBC，平面 PAC平面 PBC（2）【解】平面 PAC平面 ABCD；平面 PAC平面 PBC；平面 PAD平面 PBD；平面 PAB平面 ABCD；平面 PAD平面 ABCD 2ABCABC是正三棱柱，底面边长为 a，D，E 分别是 BB，CC上的一点，BD21a，ECa（1）求证：平面 ADE平面 ACCA；（2）求截面A

21、DE 的面积 （1）【证明】分别取 AC、AC 的中点 M、N，连结 MN，则 MNAABB，B、M、N、B 共面，M 为 AC中点，BC=BA，BMAC，又 BMAA且 AAAC=A BM平面 AACC 设 MN 交 AE 于 P，CEAC，PNNA2a 又 DB21a，PNBD PNBD，PNBD 是矩形，于是 PDBN，BNBM，PDBM BM平面 ACCA，PD平面 ACCA，而 PD平面 ADE，平面 ADE平面 ACCA（2）【解】PD平面 ACCA，PDAE，而 PDBM23a，AE2a SADE21AEPD 21246232aaa （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）