第二十三章逻辑.pdf

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1、第二十三章 简单的逻辑推理 一、知识要点及基本方法 1.逻辑推理问题的认识 逻辑推理问题是根据题目的条件，进行分析、推理，作出正 确的判断，从而得出问题的答案的题目。这类问题，题目的条件往往 不是数字、算式或图形，而且一般给出的已知条件也较多，有一定的 隐蔽性和迷惑性。解答这类问题，不是进行许多的计算、分析数量关 系或图形的变换得出答案和结论，没有一定的解题模式。但是，只要 认真研究，细心推理，就能正确地解答这类逻辑推理问题。2.解答逻辑推理问题的基本方法 解答逻辑推理问题的方法一般有两种，一种是直接推理，就 是从已知的条件出发，运用一些简单的逻辑推理逐步推理出正确的答 案。一种是间接推理，就

2、是先假设一个结果，然后利用已知的条件和 客观规律推理出矛盾，从而否认假设。在解答较复杂的逻辑推理问题 时，也可以是以上两种方法交替使用。(1)四条基本规律 同一律：指的是在同一论证过程中，每一个概念和判断 是应具有同一种意义。矛盾律：指的是在同一论证过程中，对同一对象的两个互相 矛盾的判断至少有一个错误的，即两个互相矛盾的判断不能同时成 立。排中律：指的是在同一论证过程中，对同一对象互相否认的 两个判断中，有一个且只有一个是正确。理由充足律：指的是在同一论证过程中，正确的判断必须有 充足的理由。2常用的方法有：假设法、排除法、枚举法、直接推理法、列表法、图示法等，较复杂的题往往多种方法交替使用

3、。二、例题精由 例 1 打靶选手小李和小张各打三次，成绩如下：1、2、4、5、7、9,如果小李的总环数比小张的总环数多 6 环，那么，哪几次是小李 打的？分析解题由条件可以求出小李和小张一共打的环数是 1+2+4+5+7+9=28环，又已知小李的总环数比小张的总环数多 6 环，可以运用“和差”问题的方法求得：小李的总环数为28+6+2=17 环，由于小李打了三次，很容易看出题中只有 1+7+9=17,所以成 绩为 1、7、9 的三次是小李打的。例 2 王雨和丁一出生在同一年，生日相差一天，王雨出生那天的 日数与前一天的日数之和是 55,丁一出生那天的日数与后一天的日 数之和是 30。问：他们的

4、生日分别是几月几日？分析解题 由条件“王雨出生那天的日数与前一天的日数这和是 55”，而出生那天的日数与前一天的日数之间只相差 1,也就是说，两个相 邻的白然数的和应是 55,易知 27+28=55，因此，王雨出生在 28 日。根据条件“王雨和丁一出生在同一年，生日相差一天”和王雨出 生在 28 日，可以知道丁一出生在 27 日或 29 日。如果丁一出生在 27 日，则他出生后一天为 28 日，而 27+28=55,与题中已知条件“丁一出生那天的日数与后一天的日数这和是 30”矛盾。如果丁一出生在 29 日，由条件“丁一出生在那天的日数与后一 天的日数之和是 30”可知，他出生的后一天为 1

5、日，应是某个月的 第一天，从而可知丁一出生那天应是前个月的最后一天，而只有闰年 的 2 月最后一天是 29 日，所以丁一的生日是 2 月 29 日。因为“王雨和丁一出生在同一年，生日相差一天”，所以王雨的 生日是 2 月 28 日。例 3 甲乙丙丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了 4 盘，乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁赛了 1 盘，问小强已经赛了几盘？解题分析 可以画一个简单的图帮助思考，图中用 5 个点表示 5 个人,如果两个人已经赛过一盘，就在相应的两个点之间连一条线，否则就 不连线。解：甲已经赛了 4 盘，所以甲与其他 4 点都连线。丁赛了 1 盘

6、，只应连 1 条线，也就是图中甲、丁的连线。丁不与 其他点相连 乙赛了 3 盘，应连 3 条线，但丁不与乙相连，所以乙与甲丙丁小 强都相连。丙赛了 2 盘，应连 2 条线，即图中甲丙的连线，乙、丙的连线，丙不与小强相连。因此小强只连两条线，即赛了 2 盘。例 4 某工厂为了表扬好人好事核实一件事。厂方找了 A、B、C 三人。A 说：“是 B 做了的。”B 说：“不是我做的。”C 说：“不是我 做的。”这三人中只有一人说了实话。问这件好事是谁做的？解题分析 注意条件：“这三人中只有一人说了实话。”可以假定其中 一个说了实话，然后看是否产生矛盾。如果产生矛盾，就说明这个人 说了假话。解：假定 A

7、说的是实话，那么好事是 B 做的。这时，C 说的也是 实话。与“只有一个人说了实话”矛盾。所以 A 说的不是实话。好 事不是 B 做的。好事不是 B 做的，所以 B 说的是实话。这时 C 说的不是实话因 为只有一个人说实话。因而与 C 说的相反，好事是 C 做的。例 5 一天，六年级数学竞赛刚结束，甲乙丙三位同学就预测名次：甲说：“小明第一，小丽第三。”乙说：“小强第一，小红第四。”丙说：“小红第二，小明第三。”竞赛结果公布后，甲乙丙三人所说的四位同学分别获第一、第 二、第三和第四名，但三位同学的预测，每人只说对了一半。请你猜 一猜，这次竞赛的前四名的排列顺序如何?解题分析 这是一个排序问题，

8、仍然可用假设的方法。解：假设甲预测的“小明第一”是对的，则丙预测的“小明第三”是错的，而“小红第二”是对的，从而乙预测的“小红第四”就是错 的，小强第一是对的。这样出现了两个第一名，矛盾。因此原来的假设不成立。甲预测的“小丽第三”是对的，从而 丙说的“小明第三”是错的，“小红第二”是对的，乙说的“小红第 四”是错的，“小强第一”是对的，因此，小明只能是第四。例 6 在一次射击练习中，甲乙丙三位战士每人打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下：(1)每人四发子弹所命中的环数各不相同；(2)每人四发子弹所命中的环数均为 17 环；(3)乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命 中的环数与丙

9、其中两发一样；(4)甲与丙只有一发环数相同；(5)每人每发子弹的最好成绩不超过 7 环。问：甲与丙命中的相同环数是几？分析解题 由条件每人打了四发子弹全部中靶及125得：17=7+6+3+1=7+5+4+1=7+5+3+2=6+5+4+2,所以中靶情况只有四种。由条件34，我们可以得到下表:命中环数 7 6 5 4 3 2 1 甲 V V V V 乙 V V V V 丙 V V V V 从表中可以看出，有 7 种不同的命中环数，即 1 至 7 环都有人命中过，且没有一种环数三人同时命中。而上述四种中靶情况中，7 环和 5 环 都出现过三次，所以 7 环和 5 环各应去掉一次，也就是说 7+5+

10、3+2 这种情况不存在。这样中靶情况只有三种，即 17+6+3+1、2 7+5+4+1、36+5+4+2,而其中27+5+4+1中各有两个数分别与 13相同。所以27+5+4+1 是乙命中环数的情况;17+6+3+1、36+5+4+2 分别是甲、丙命中环数的情况，可以看出甲与丙命中 的相同环数是在。所以甲与丙命中的相同环数是 6。练习题 1.林红是 1990 年某月 31 日出生的，如果她出生的年数、月数、日数之和的个位数字是 2,那么林红出生在哪个月？2.打靶选手小李和小张各打三次，成绩如下：1、2、4、5、7、9 环，如果小李的总环数是小张的总环数乘以 3,那么，哪几次 是小张打的？3.现

11、有红、黄、绿三种颜色的气球假设干个，李明每次打靶总不 落空。规定：打中红色气球得 1 分，打中黄色气球得 4 分，打 中绿色气球得 13 分。如果李明行 9 分，那么，他打中了几个气 球？分别是什么颜色？4.10 个好朋友彼此住得很远，又没有，只能靠写信互通消息。这 10 个人每人知道一条好消息这 10 个人各白知道的好消息 不同，为让这 10 个人都知道所有好消息，他们至少让邮递员 送几封信？5.小王、小张和小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是 战士。已知：1小李比战士年纪大；2小王和农民不同岁；3农民比小张年纪小。I 可：谁是工人，谁是农民，谁是战士？6.某楼住着 4 个女孩和两个男

12、孩，他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最小的 4 岁，最大的男孩比最小的女孩大 4 岁，最大的 女孩比最小的男孩也大 4 岁，最大的男孩多少岁？7.七名学生参加羽毛球比赛，每两个人都要赛一场，胜者得 2 分,负者得 0 分，比赛结果，第二名和第五名都是两人并列。问：第一名和第四名各得多少分？8.某地质学院三名学生对一种矿石进行分析：甲判断：不是铁，不是铜；乙判断：不是铁，而是锡；丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明，有一个判断完全正确，有一人只说对了一半，另 一个完全说错，谁说对了一半？9.小东、小兰、小英读书的学校是一小、二小、三小，他们各白 爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但谁爱哪

13、项运动，在哪个学校读书还不清楚，只知道：(1)小东不在一小；2小兰不在二小；爱好排球的不在 三小；4爱好游泳的在一小；5爱好游泳的不是小兰。你能帮助弄清楚他们各白读书的学校和爱好的运动项目吗？10.有 A、B、C 三个盒子，一个盒子中装着糖，另外两个盒子中装 着石子。盒子上写着字。A 盒上：“这里装石子”。B 盒上：“这 里装着糖”。C 盒上：“B 盒里装着石子”。只有一个盒子上写的 字正确的。糖装在什么盒中？有趣的智力游戏 智力问题形形色色，大多各有各自的特点。有时貌似复杂，无从下手，然而 一旦“天机道破”，解决它便易如反掌。各类智力问题的难，大多难在一个“巧”字。本书的许多意节，正是致力

14、于探求这类问题的推理技巧。这一节我们将要讲述的是，怎样应用间接推理的方 法，即通过否认肯定，反证归谬、命题变换、反向推理等手段，去解决许多类型 的智力问题。先看一个有趣的“猜帽色”的问题。老师为了区分他的三个得意门生中谁更聪明些，而采用了以下的方法：事 先准备好5顶帽子，其中3顶是白的，2顶是黑的。他先把这些帽子让三个人都 看了看，然后要他们闭上眼睛，乂替每人戴上一顶帽子。实际上老师让每人戴的 都是白帽，而将黑帽藏起来了。最后再让他们张开眼睛，并判断自己头上戴的帽 子是什么颜色。三位学生互相看了看，都犹豫了一会，然后乂几乎同时判定出自己头上戴 着白色的帽。那么，这三位学生是怎样推断出自己的帽色

15、呢？原来他们用的是“分 析否认信息”的方法。谜底是这样的：三个人为什么都犹豫了一会呢？这只能说明他们都没有人看到两顶黑帽，也就是说三人中至多只能有一人戴黑帽。这一点在犹豫的一刹那，三个聪明的学 生当然都意识到了。此时某甲想：“我头上戴的如果是黑帽的话，那么某乙某丙 应当猜出他们自己戴着白帽了，因为黑帽不可能有两人戴。然而乙、丙都在犹豫,可见我是戴白帽的！”与此同时，某乙某丙也都这样想着，因此三人几乎同时脱 口而出，猜着了自己的帽色。这一“猜帽色”的游戏同样可以推广到多个人。我想，此时此刻读者一定 会想象得到，游戏中的白帽与黑帽的数量，必须加以哪些限制。再看一则十分奇特的“撒谎者”的故事：甲说：

16、“乙撒了谎或丙撒了谎 乙说：“甲撒了谎。”丙说：“甲、乙都撒了谎。”问究竟谁撒了谎？谁说真话？看起来这似乎是一个无头公案，因为三个人都无一例外地指责别人在撒谎。然而仔细一看，各人指责的内容和形式都不相同。乙指责“甲撒了谎”是一句关 键的话。因为如假设乙说是真话那么甲便是撒谎者；如假设乙是撒谎者，那么甲 所说的便是真话。可见甲与乙不可能同时撒谎。然而丙却指责甲乙两人都撒了谎，这只能说明丙本身是撒谎者。丙是撒谎者，说明甲说的没有错，从而乙的指责是 莫须有的，因此乙也是撒谎者。在整个故事中只有甲是唯一说真话的人！类似“撒谎者”的智力难题，采用变换命题的方法是很有效的。下面是乂 一则妙趣横生的“撒谎者

17、”故事，留给读者作推理练习。一个英国探险家到非洲某地探险。在宿营地附近有两个土著部落，高个子 部落和矮个子部落。已知两个部落中有一个部落成员总是说真话，另一个部落成 员则总是说假话。有一次，探险家在路上遇到两个土人，一个高个子一个矮个子。探险家问高个子土人：“你是说真话吗？”这个土人答复说：“古姆”，小个子 土人会讲英语，就解释说：他说“是的，但他是个骗子。”试问哪个部落成员说假话？答：高个子 反向推理可能是解决智力难题最常用的一种方法。下面比试身高的趣题,是运用这种间接方法最为典型的例子。甲、乙、丙、丁四人聚在一起，议论各自身体的高矮：甲说：“我肯定最 高。”乙说：“我绝不至于最矮。”丙说：

18、“我虽然比不上甲高，但我也不会落 到最矮。”丁说：“那只有我是最矮的了！”为了确定谁是谁非，他们进行了现场测定。结果四个人中仅一人说错。问 四人的实际高矮如何？如果采用直接推理，则必须分析甲乙丙丁四人说错话的可能。例如甲说错 话，那么甲不是最高，只能是第二、第三或最矮；与此同时，乙所说的则应为事 实，即乙可能是最高、第二或第三；。这种推理过程，无疑能够继续下去。但到达成功的此岸，航程还相当漫长。如果采用反向推理，情况将大为改观，整个逆推的过程简单而漂亮：丁不 可能说错，否则便没有人会是最矮；既然丁说的是对的，那么乙也就同时是对的 了；甲不可能说对，因为假设甲说对，则丙同时也该对。但四人都对与实测结果 违背。于是最高者非乙莫届。由于甲说的是错话，那么丙所说的便是事实，他自 从高不如甲，从而问题答案水落石出：乙最高，甲第二，丙第三，丁最矮。