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1、 第九章 第九章第九章多元函数微分学 (31)一、知识点与考点精讲一、知识点与考点精讲二、典型例题分析与解答二、典型例题分析与解答 第1页/共32页一、知识点与考点精一、知识点与考点精讲讲1.多元函数的概念不存在.(为空间区域).则可断定不相等,(D为平面区域),2.二元函数极限与连续性的概念要求动点(x,y)沿任何方向任何路径趋于定点时均有f(x,y)a.若沿两条不同路径它表示一曲面,且在xoy坐标面的投影区域为D.第2页/共32页4.偏导数的概念与计算法3.有界闭区域上二元连续函数的性质处连续.最值定理、有界性定理、介值定理或则称 z=f(x,y)在点其中若(1)概念:第3页/共32页计算
2、偏导函数计算偏导函数时把 y 当作常数,5.全微分(1)二元函数z=f(x,y)在点在点必要条件:(2)计算法:存在;时把 x 当作常数.充分条件:在点连续.处可微(全微分存在)处处(必要但不充分)(充分但不必要)第4页/共32页(2)全微分形式的不变性全微分形式的不变性:设自变量还是中间变量都有(3)可导函数z=f(x,y)在点只需验证:若等于零,?处的可微性的验证:则z=f(x,y)在点处可微;若不等于零,则z=f(x,y)在点处不可微.6.二元函数连续、可导、可微之间的关系函数连续可导可微偏导连续则不论u与v是第5页/共32页7.多元复合函数偏导数的求法多元复合函数偏导数的求法(链导法链
3、导法):设均为可导函数,则复合函数且其偏导数为:8.隐函数存在定理及隐函数的偏导数隐函数存在定理 1:可导,设函数 F(x,y)在点域内具有连续的偏导数,且则方程F(x,y)=0在点的某邻域内的某邻个单值连续它满足且唯一确定一且具有连续导数的隐函数y=f(x),第6页/共32页9.空间曲线的切线方程与法平面方程设空间曲线 的参数方程为:则 处的对应的曲线上的点隐函数存在定理 2:设函数 F(x,y,z)在点且的某邻域内具有连续的偏导数,则方程F(x,y,z)=0在点的某邻域内数的二元隐函数 z=f(x,y),它满足条件且唯一确定一个单值连续切线方程为:且具有连续偏导第7页/共32页 法平面方程
4、为法平面方程为:此时曲线方程可视为若空间曲线 的方程为切线方程为:法平面方程为:则 处的对应的曲线上的点以x为参数的参数方程第8页/共32页曲面:F(x,y,z)=0 上点法线方程为:处切平面方程为:10.曲面的切平面方程和法线方曲面的切平面方程和法线方程程曲面:z=z(x,y)上点处切平面方程为:法线方程为:第9页/共32页对于二元函数 z=f(x,y),11.二元函数z=f(x,y)极值的概念及求法则称若在某邻域内一切异于的点(x,y)恒有为 f(x,y)在该邻域的一个极大(小)值.函数的极大值与极小值通称函数的极值.函数取得极值的点称为函数的极值点.(1)二元函数取得极值的必要条件:可导
5、函数的极值点必为函数的驻点.驻点即方程组的实根.第10页/共32页但驻点未必是函数的极值点.此外不存在的点也可能成为函数的极值点.(2)二元函数取得极值的充分条件:设函数 z=f(x,y)在点的某邻域内有连续的且令则当时,是 f(x,y)的极值点.二阶偏导数,且当A 0 时是极小值.当A 0,解得:故所给二元函数有极小值注释注释:本题考查二元函数的无条件极值.第24页/共32页在区域上的最大值和最小值.求函数先求 f(x,y)在D内的驻点.由驻点处的函数值为 解解:得 f(x,y)在D内的驻点为考察边界y=0(2 x 2)上函数的最值.此时函数为:例例2.最小值为 f(0,0)=0.最大值为
6、f(2,0)=4,第25页/共32页考查边界考查边界上函数的最值.由知则有令由解得经计算比较知:f(x,y)在D上的最大值为最小值为 注释注释:本题考查二元函数的最值.第26页/共32页设 z=z(x,y)是由方程确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值.解解:方程两边对x求导数得:令得方程两边对y求导数得:将x=3y,z=y代入原方程得:或从而函数z=z(x,y)驻点为(9,3)及(9,3).例例3.第27页/共32页式两边对式两边对x求导数求导数得得:由于 所以 从而点(9,3)是 z=z(x,y)式两边对y求导数得:式两边对y求导数得:极小值为z(9,3)=3.的极小值点,第28页/
7、共32页类似地类似地:由于所以注释注释:本题考查方程决定的二元隐函数的极值点与从而点(9,3)是 z=z(x,y)的极大值点,极大值为z(9,3)=3.极值.解题的关键是求方程确定的隐函数的一阶与二阶偏导数.第29页/共32页例例4.已知曲线 C:求 C 上距离xoy 面最远的点和最近的点.分析分析:点(x,y,z)到xoy 面的距离为|z|.故求曲线 C 上距离xoy面最远点和最近点的坐标,等价于求函数在条件与的约解解:令(目标函数)束下的最大值点和最小值点.第30页/共32页由由得 x=y,从而解得或根据几何意义,曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点.故所求的点依次为(5,5,5)和(1,1,1).注释注释:本题考查求条件极值的拉格朗日乘数法.第31页/共32页感谢您的观看！第32页/共32页