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1、奇函数与偶函数的傅里叶级数第1页，本讲稿共16页展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，称为称为正弦函数正弦函数，只含有余弦函数包括常数项的称为只含有余弦函数包括常数项的称为余弦余弦级数级数.假设以假设以 2 为周期为周期的周期函数的周期函数 f(x)在在 ,内内是奇函数，是奇函数，那么傅里叶级数一定是那么傅里叶级数一定是正弦级数正弦级数.即即此时傅氏系数此时傅氏系数8.4.18.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数奇函数与偶函数的傅里叶级数第2页，本讲稿共16页于是在区间于是在区间()内内 f(x)cosnx 为奇函数为奇函数，而奇函数在对称区间上的积分为零而奇
2、函数在对称区间上的积分为零，所以所以又因又因 f(x)sinnx 在区间在区间()内是偶函数内是偶函数，第3页，本讲稿共16页故有故有 同理可以推出同理可以推出，当函数当函数 f(x)是偶函数时，是偶函数时，其展开其展开式为式为余弦级数余弦级数，即即此时傅里叶系数为此时傅里叶系数为第4页，本讲稿共16页 设周期函数设周期函数 f(x)在其一个周期上的在其一个周期上的表达式表达式例例 4 试将其展开成傅里叶级数试将其展开成傅里叶级数 .解解 函数函数 f(x)的图形如图所示的图形如图所示，f(x)O x第5页，本讲稿共16页 因此我们应因此我们应根据根据(12.6.6)式计算傅里叶系数式计算傅里
3、叶系数.由图形的对称性可知由图形的对称性可知 f(x)是偶函数，是偶函数，第6页，本讲稿共16页即即 故所求的傅里叶级数收敛故所求的傅里叶级数收敛于于 f(x)，又因为又因为 f(x)处处连续处处连续，第7页，本讲稿共16页 (x)称为称为f(x)的的周期延拓函数周期延拓函数.且以且以 2 为为周期的函数，周期的函数，如果如果 (x)满足收敛定理的条件，满足收敛定理的条件，我们设想有一我们设想有一个函数个函数 (x)，设函数设函数 f(x)定义在定义在 0,上，上，它是定义在它是定义在()上上而在而在 0,上，上，(x)=f(x).那么那么 (x)在在()上就可展开为傅里叶级数，上就可展开为傅
4、里叶级数，取其取其 0,上一段，上一段，即为即为 f(x)在在 0,上的傅里叶级数，上的傅里叶级数，8.4.3 8.4.3 函数函数 f(x)在在 0,上展开上展开 为正弦级数与余弦级数为正弦级数与余弦级数第8页，本讲稿共16页在理论上或实际工作中，在理论上或实际工作中，下面的周期延拓是下面的周期延拓是最为常用最为常用:将将 f(x)先延拓到先延拓到(,0)，使延拓后使延拓后的函数成为奇函数的函数成为奇函数，然后再延拓为以然后再延拓为以 2 为周期为周期的函数的函数.这种延拓称为周期奇延拓这种延拓称为周期奇延拓;yx3 2 2 O周期奇延拓周期奇延拓第9页，本讲稿共16页 这种延拓称为周这种延
5、拓称为周期偶延拓期偶延拓.将将 f(x)先延拓到先延拓到(,0)，使延拓后的函数为偶函数，使延拓后的函数为偶函数，然后再延拓为以然后再延拓为以 2 为周期的函数，为周期的函数，周期偶延拓周期偶延拓yx3 2 2 O第10页，本讲稿共16页显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅其傅里叶系数按公式里叶系数按公式(12.6.5)计算计算.即即(因在因在 0,上，上，(x)=f(x).周期偶延拓的结果为余弦级数，周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系其傅里叶系数公式为数公式为第11页，本讲稿共16页例例 5试将试将解解按式按式(12.6.8)计算傅里叶级数，计算傅里叶级数，第12页，本讲稿共16页 且延拓的函数在且延拓的函数在 x=0，处连处连续，续，因此因此(0 x ).第13页，本讲稿共16页展开成正弦级数展开成正弦级数.例例 6 试将函数试将函数0 x 解解 按公式按公式(12.6.7)第14页，本讲稿共16页第15页，本讲稿共16页当当 x=时，时，收敛于收敛于 0.y 2 xo所以所以第16页，本讲稿共16页