CH常微方程数值解解析实用.pptx

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1、主要内容第第3 3章章 抛物型方程的有限差分方法抛物型方程的有限差分方法第第1 1章章 常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题数值解法第第2 2章章 椭圆型方程的有限差分方法椭圆型方程的有限差分方法第第4 4章章 双曲型方程的有限差分方法双曲型方程的有限差分方法第第5 5章章 非线性双曲型守恒律方程的差分方法非线性双曲型守恒律方程的差分方法第第6 6章章 有限元方法简介有限元方法简介第1页/共61页第第1 1章章 常微分方程初值问题的常微分方程初值问题的数值解法数值解法 1.11.1 引言引言 1.2 1.2 欧拉法欧拉法(Euler方法方法)1.3 1.3 梯形法、隐式格式的迭代计算梯

2、形法、隐式格式的迭代计算 1.4 1.4 一般单步法、一般单步法、Runge-Kutta格式格式 1.5 1.5 线性多步法线性多步法 1.6 1.6 误差的事后估计法、步长的自动选择误差的事后估计法、步长的自动选择 1.7 1.7 高阶常微分方程高阶常微分方程(组组)的数值方法的数值方法第2页/共61页 1.1 1.1 引言引言 目标在于给出解在一些离散点上的近似值。目标在于给出解在一些离散点上的近似值。本章研究常微分方程初值问题的主要数值解法，包括基本方法和基本理论问题。本章研究常微分方程初值问题的主要数值解法，包括基本方法和基本理论问题。第3页/共61页1.2 1.2 欧拉法欧拉法(Eu

3、ler方法方法)1.2.1 1.2.1 欧拉方法欧拉方法 考虑常微分方程初值问题注：在后面的讨论中，我们总认为这个初值问题的解存在、唯一且连续依赖于初值条件，即初值问题(1.1)，(1.2)是适定的。第4页/共61页 将解的存在区间 N 等分，得到N 个小区间。任取一个小区间，由原方程 得在区间 上，用 在点 上的值来 代替，得到为步长。其中第5页/共61页图图1.1 0第6页/共61页在上式中分别用和来代替和并由n 的任意性，得到(1.3)这就是欧拉公式。欧拉公式亦可由Taylor 展式得到第7页/共61页在上式中分别用和来代替和则得一般而言，并不要求步长相等，则有(1.4)第8页/共61页

4、0图图1.2几何意义第9页/共61页 例例 1.11.1 以的数值解，并与精确解为步长，用欧拉法求初值问题比较。第10页/共61页 (1)、计算格式本身不能准确描述原来的方程 误差的产生：误差的产生：(2)、计算机本身引入的误差 第11页/共61页 计算机输出的是欧拉方程的近似解 ,而不是精确解 。因此(1.5)可见，为了使计算得到的解 是 的好的近似，我们要求：(1)欧拉方法的精确解 是微分方程精确解 的很好近似。(2)是 好的近似。问题(1)称为格式的收敛性问题。问题(2)称为格式的稳定性问题。第12页/共61页1.2.2 收敛性研究收敛性研究 所谓收敛性问题,就是研究时,要求,。整体截断

5、误差整体截断误差局部截断误差局部截断误差这里(1.6)即ThTh第13页/共61页 定理定理 1.11.1(1.12)其中h。为步长，的局部截断误差，则欧拉方法满足 假定Back第14页/共61页其中 R 为局部截断误差的上界。定理定理 1.21.2 设 f(x,y)关于 y 满足Lipschitz 条件，L为相应的Lipschitz常数，则欧拉方法的整体截断满足(1.13)误差Th1.4第15页/共61页由定理1.1，1.2，可得 定理定理 1.31.3 设 f(x,y)关于 y 满足Lipschitz 条件，L为相应的Lipschitz常数，(1.14)且当h0，并有估计式，则欧拉方法的解

6、一致收敛到初值问题(1.1)，(1.2)的解如果，即，由此有(1.15)即第16页/共61页 欧拉方法的整体截断误差与欧拉方法的整体截断误差与h h 同阶，由同阶，由 的表达式可知，的表达式可知，这说明局部截断，这说明局部截断误差比整体截断误差高一阶。误差比整体截断误差高一阶。我们称欧拉方法为一阶格式。我们称欧拉方法为一阶格式。第17页/共61页1.2.3 1.2.3 稳定性研究稳定性研究 前已指出欧拉方法的稳定性问题是决定欧拉法在利用计算机能否得到精确解的关键问题，只有稳定的算法才可能是有用的算法。第18页/共61页定义1.1如果存在正常数 c 及 ，使对任意初始值与，由计算所得之解满足估计

7、式则称欧拉方法稳定欧拉方法稳定。注意:这里 分别是以 为初值得到的精确值，毫无舍入误差，因此这里稳定性定义式对初值的稳定性，即研究初值误差在计算过程中的传递问题。第19页/共61页 定理定理1.4 1.4 在定理在定理1.21.2的条件下，欧拉方法是稳的条件下，欧拉方法是稳定的。定的。Th1.2 由定理1.2，我们看到如初始误差 ，则整体截断误差的阶完全由局部截断误差的阶决定，事实上，若局部截断误差阶为 ，则整体截断误差阶为 。因此为了提高数值算法的精度，往往从提高局部截断误差的阶入手，这也时构造高精度差分方程数值方法的主要依据。第20页/共61页1.3 梯形法、隐式格式的迭代计算 在欧拉方法

8、的推导过程，用矩形公式近似计算积分若用梯形公式近似计算积分，则第21页/共61页0图图1.3第22页/共61页因此有(1.16)这是一个隐式格式。梯形公式局部截断误差：首先给出后退欧拉公式的局部截断误差：后退欧拉公式第23页/共61页假定 和解 充分光滑，则而欧拉公式的局部截断误差为梯形公式的局部截断误差为第24页/共61页 类似于欧拉法，对梯形法和后退欧拉法也可平行地建立它们的整体截断误差的阶分别为 和 ，以及格式的收敛性和稳定性等定理。第25页/共61页(1.16)如何求解 ，采用迭代法，其格式如下：(1.18)迭代法的收敛性前已指出，梯形法是一个隐式格式(1.19)迭代法收敛的充分条件。

9、第26页/共61页 当 ，有下面的预报-校正格式：也称为改进欧拉公式。(1.20)第27页/共61页当然也可迭代多次：(1.21)当步长 取得适当小，用预报格式(欧拉法)已能算出比较好的近似值，故迭代收敛很快，通常只需迭代二三次就可满足精度要求，如果迭代多次仍不收敛，说明步长过大，必须减少步长 ，再进行计算。梯形法较之欧拉法提高了精度，但增加了迭代次数，因此增加了计算工作量。第28页/共61页 例例 1.21.2 试用预报校正格式(1.20)解初值问题(1.21)取 。从计算结果可以看出，欧拉法精度较低，预报校正格式精度有所改善，大约精确到3为有效数字。第29页/共61页1.4 1.4 一般单

10、步法、一般单步法、格式格式 前面，我们研究了欧拉法和梯形法，它们有一个共同的特点，即在格式中只包括 的值，或者说由 ，仅使用 的值计算出 的值，这种格式称为单步格式，下面研究一般单步法。1.4.1 1.4.1 一种构造单步法的方法一种构造单步法的方法泰勒级数法泰勒级数法 设初值问题第30页/共61页的解 阶可微，将 在 点展开为泰勒级数，有(1.22)由方程可得因此式中，都是相对于变量的偏导数。于是式 第31页/共61页(1.22)可写成 其中舍去 ，可得称 为一般单步法，显然局部截断误差 第32页/共61页所以局部截断误差为 ，在式(1.23)中令 ，即得欧拉法。第33页/共61页 为任意关

11、于 的函数，其对于微分方程 的解 满足 (1.24)且 为使上式成立的最大整数，则称(1.25)为 阶单步法，欧拉法为一阶单步法，泰勒级数法式(1.23)为 阶单步法。定义定义 1.2 1.2 给出单步法1.4.2 1.4.2 一般单步法基本理论一般单步法基本理论第34页/共61页 定义定义 1.31.3 如果，则称单步法 为与初值问题(1.3)相容的。从而由单步法的定义得:因此有如下定义:第35页/共61页 定理定理 1.51.5 如果 对于 ，以及所有实数 满足 条件，则单步法(1.23)稳定。欲使定理成立要证明存在常数 ,对第36页/共61页 定理定理 1.61.6 如果 对于 ，以及所

12、有实数 关于 满足 条件，则 收敛的充要条件是格式相容，即满足 。由相容性可以得到格式的收敛性:第37页/共61页 定理定理 1.71.7 在定理1.5的条件下，如果局部截断误差 为 ，则单步法 的整体截断误差 满足(1.26)特别若 ,则 ，整体截断误差比局部截断误差低一阶。关于单步法的整体截断误差 ，有:第38页/共61页1.4.3 1.4.3 格式格式 从前面讨论可见，构造高阶单步法的关键在于构造 ，使中的局部截断误差阶尽可能高。前面我们利用泰勒级数法构造了一个欧拉法，这时 ，局部截断误差与 同阶，这是一个一阶格式。为了要求 ，利用泰勒级数法得到一个二阶格(1.27)第39页/共61页这

13、时我们有 格式(1.27)计算过程中要求函数 的二个偏导数 在 处的值，比较麻烦，可以预计，利用泰勒级数法推导出的高阶格式需要求更多的偏导数值，计算繁复。那么是否可以避免计算偏导数，而得到高阶单步格式的 呢？分析梯形法的预报校正格式(1.20)第40页/共61页 二级二阶 方法。一般而言，二级二阶 格式可以写成(1.28)适当选择参数 ，使局部截断误差 第41页/共61页由 因此要求满足(1.29)第42页/共61页 (1)取 ，则 ,即得二级二阶 法(1.30)(1.31)这是一个含有四个参数、三个方程的方程组,因此由一个自由参数，解答不唯一。改进欧拉公式变形欧拉公式 (2)令 ，由此得算式

14、为 第43页/共61页 (3)取 ，则有(1.32)根据同样的思想,可以构造更高阶精度的Runge-Kutta 方法。(1.33)三级三阶 Runge-Kutta法一般可以写成：第44页/共61页(1.34)故要求，必须有第45页/共61页(1)令 ，则 ，故有 三级三阶算法(1.36)(2)令 ，解得 ，故有 三级三阶 算法第46页/共61页(1.37)式(1.36)，(1.37)是三级三阶 格式。格式的局部截断误差为 。第47页/共61页可以设计四级四阶 格式(1.38)第48页/共61页 为了达到四级四阶格式，可得13个参数满足11个方程第49页/共61页(1)经典四级四阶 格式取定 ，

15、则得：(1.39)这是最为著名的经典四级四阶 格式。格式的局部截断误差为 。第50页/共61页1.5 1.5 线性多步法线性多步法 前面利用欧拉法或梯形法求未知函数在 的近似值 ，基本思想是在积分表达式中被积函数 ，用水平直线或连接 两点的直线 代替。然而为了近似 中的曲线 也可用多点插值曲线，如我们利用 插值可得经过 的曲线 为第51页/共61页(1.50)用它近似 中的 ，则得到积分近似值像欧拉格式一样，我们可得近似求解格式如下：(1.51)第52页/共61页与欧拉格式 不同之处在于增加了包括 ,的两项,即由计算 ，与欧拉格式仅由前面一点 计算 的这种单步法不同，格式(1.51)称为多步法

16、。现在，设已给出常微分方程初值问题的解 在 处的近似值 ，或者说给出表头第53页/共61页研究如何由表头给出 处的近似值 。根据(1.52)和 ，利用表头的值和 插值法求出 的近似表达式，再利用(1.52)就得到 的近似值。具体操作如下：用 表示用 处 的值构造出的 的 插值多项式，用 表示相应的插值余项，即从而第54页/共61页舍去余项 ，并用 代替 ，则可得 的近似值的表达式(1.53)为 中 的值用 代替，为局部截断误差。上述格式中，被插值点 不包括在插值基点所决定的最大区间 内，故称为外插公式。由常微分方程，根据 ，得插值公式为 ，由于插值基点为等距，令 ，利用牛顿后插公式，有第55页/共61页 引进记号则因此(1.54)式中式(1.54)就是著名的 外插公式,计算得表1.5。第56页/共61页因此有(1.55)(1.56)(1.57)(1.58)第57页/共61页 一般而言，根据(1.59)则其中(1.60)的值见表1.6。外插格式的局部截断误差为第58页/共61页则(1.61)因此，外插格式的局部截断阶为 。外插法是个显示格式。类似于梯形格式的推导一样，我们也可以用 插值 ，得到内插格式。像外插格式的推导一样，可推得 内插格式为(1.62)式中第59页/共61页 举例：(1.63)(1.64)第60页/共61页感谢您的欣赏！第61页/共61页