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1、测量误差的基本知识测量误差的基本知识本章主要内容 评定真误差精度的指标评定真误差精度的指标3 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用4 等精度独立观测量的最可等精度独立观测量的最可靠值与精度评定靠值与精度评定5不等精度独立观测量的最不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定可靠值与精度评定6 测量误差的概念测量误差的概念1 偶然误差的特性偶然误差的特性2第1页/共46页6.1 6.1 测量误差的概念测量误差的概念一一 观测值及观测误差观测值及观测误差u误差存在的现象误差存在的现象:观测值与理论值不符观测值与理论值不符。例例1 1：三角形闭合差：三角形闭合差：=(=(1 12 23 3)18018
2、00 0 例例2 2：闭合水准路线高差闭合差闭合水准路线高差闭合差 ：f fh hhh0 0u测量误差：测量误差：观测值观测值与相应与相应真值真值之差。之差。观测值观测值：测量所获得的数值。测量所获得的数值。u真误差真误差()()关系式：关系式：(真误差真误差)=)=L L(观测值观测值)X X(真值真值)第2页/共46页 测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等
3、精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。二二 测量误差的来源测量误差的来源第3页/共46页二二 测量误差的来源测量误差的来源测量误差产生的原因很多，但概括起来主要有以下三个方面：1、仪器条件：仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。2、观测者的自身条件：由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。3、外界条件：主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在观测结果中是不允
4、许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。第4页/共46页三三 研究测量误差的目的研究测量误差的目的 由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。研究误差理论所解决的问题：在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值；如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法）。第5页/共46页四四 测量误差的分类及处理方法测量误差的分类及处理方法先作两个前提假设：观测条件相同。对某一量进行一系列的直接观测。
5、先先看两个实例：看两个实例：例例1 1：用名义长度为：用名义长度为3030米而实际长度为米而实际长度为30.0430.04米的钢尺量米的钢尺量距距。丈量。丈量结果见下结果见下表：表：尺段数尺段数尺段数尺段数 一一一一二二二二三三三三四四四四五五五五 N N N N观测值观测值观测值观测值 30 30 30 306060606090909090120120120120150150150150 30 n 30 n 30 n 30 n真实长度真实长度真实长度真实长度30.0430.0430.0430.0460.0860.0860.0860.0890.1290.1290.1290.12120.1612
6、0.16120.16120.16150.20150.20150.20150.20 30.04n 30.04n 30.04n 30.04n真误差真误差真误差真误差-0.04-0.04-0.04-0.04-0.08-0.08-0.08-0.08-0.12-0.12-0.12-0.12-0.16-0.16-0.16-0.16-0.20-0.20-0.20-0.20-0.04 n-0.04 n-0.04 n-0.04 n可以看出：误差符号始终不变，具有规律性。误差大小与所量直线成正比，具有累积性。误差对观测结果的危害性很大。第6页/共46页7例2：在厘米分划的水准尺上估读毫米时，有时估读过大，有时估过
7、小，每次估读也不可能绝对相等，其影响大小，纯属偶然。大气折光使望远镜中目标成像不稳定，则瞄准目标有时偏左、有时偏右。可以看出：可以看出：从从个个别别误误差差来来考考察察，其其符符号号、数数值值始始终终变变化化，无无任任何何规规律律性。性。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。多次重复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。第7页/共46页测量误差的分类测量误差的分类测量误差按其性质可分为:u系统误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号、大小上表现出系统性，或在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差成为系统误差。u偶然误差：在相同的观测条件
8、下对某一量进行一系列的观测，所产生的误差大小不等、符号不同，表面上看没有明显的规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定得统计规律，这种误差成为偶然误差，又称随机误差。u粗差：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差。第8页/共46页测量误差的处理原则测量误差的处理原则在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生。系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽可能地加以改正、抵消或削弱。消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法：检校仪器：使系统误差降低到最小程度。加改正数：钢尺量距尺长改正。采用合理的观测方法：水准前后视距相等、测角盘左盘右。消除或削弱偶然误差的有效方法：消除或削
9、弱偶然误差的有效方法：适当提高仪器等级。进行多余观测，求最或是值。第9页/共46页6.26.2 偶然误差的特性偶然误差的特性举例:在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。真误差真误差 =观测值观测值真值真值第10页/共46页偶然误差的统计规律误差误差区间区间+个数个数K频率频率K/n(K/n)/d个数个数K频率频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.
10、200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和和1810.5051770.495第11页/共46页偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n)、误差区间d无限缩小(d0)时，各矩形
11、的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。频率分布直方图频率分布直方图第12页/共46页特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。从偶然误差的统计规律，可以归纳出偶然误差的四个特性：(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(聚中性)；若 则(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性)：第13页/共46页6.3 6.3 评定精度的指标评定
12、精度的指标 测量工作中，观测质量是有优劣的，也就是精度有高有低。所谓精度就是指误差分布的密集或离散的程度。为了衡量观测精度的高低，需要建立衡量精度的统一标准。在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度中误差相对误差极限误差第14页/共46页一、中误差:观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i-X中误差：真误差平方和的平均值的平方根第15页/共46页P123表5-2第16页/共46页 m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离
13、散，其精度较低。m1=2.7是第一组观测值的中误差；m2=3.6是第二组观测值的中误差。第17页/共46页二二 相对误差（相对中误差）相对误差（相对中误差）相对误差观测误差与观测值之比。相对中误差观测值中误差的绝对值与观测值之比 用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。K2K1，所以距离S2精度较高。例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。解：第18页/共46页三三 极限误差极限误差极限误差：在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差
14、或容许误差。通常以2倍或3倍中误差作为容许的误差极限，称为“限差”。如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。误差出现在K倍中误差区间内的概率为：根据误差分布的密度函数，误差出现在区间d内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得：P(|m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 第19页/共46页6.4 6.4 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用u对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等)，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。但在实
15、际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高i，则h=Dtan，这时，高差h就是观测值D和的函数，等等。u本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。第20页/共46页1、线性函数的误差传播定律及其应用设线性函数为其中，为系数，为独立观测量，其中误差分别为:则函数Z的中误差为：第21页/共4
16、6页设对某量进行了n次等精度观测，观测值分别为，l1,l2,ln，其算术平均值为：1）.等精度独立观测量算术平均值的中误差每个观测量的中误差均为m,则第22页/共46页2）.水准测量路线高差的中误差独立观测了n站高差h1,h2hn，路线高差之和为：h=h1+h2+hn设每站高差观测的中误差为，则h的中误差为：为每公里观测高差的中误差第23页/共46页设设 的真误差为的真误差为 ，则使，则使 产生的真误差为产生的真误差为 ,将式取全微分将式取全微分 非线性函数误差传播定律公式推导因为误差xi及z都很小:2、非线性函数的误差传播定律及其应用第24页/共46页可写成：第25页/共46页求任意函数中误
17、差的方法和步骤2 2、对函数进行全微分：、对函数进行全微分：3 3、写出中误差的关系式：、写出中误差的关系式：1、列出独立观测值的函数式：第26页/共46页几种简单函数的中误差计算式线性函数l倍数函数：设有函数Z=Kx 式中x为直接观测值，其中误差为mx；为常数；Z为观测值x的函数。若对x作n次同精度观测则有：m22mx2或mmx 上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观测值中误差的K倍。l和、差函数：设有函数Z=xy 式中，x、y为两个相互独立的观测值，均作了n次观测，其中误差分别为mx和my。用同样的方法可推导出:误差传播定律误差传播定律第27页/共46页误差传播定律误差传播定律几种简单
18、函数的中误差计算式线性函数一般线性函数：设有函数Z=K1x1K1x1Knxn式中，K1、K1Kn为常数；x1、x2xn为独立观测值，其相应的中误差分别为m1、m2mn。根据倍数函数与和差函数的中误差公式，可列出求一般线性函数中误差的公式为：第28页/共46页误差传播定律误差传播定律上式是误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特例，所以该式具有普遍意义。几种简单函数的中误差计算式非线性函数设有非线性函数Z=f(x1，x2xn）式中，x1，x2 xn为独立观测值，其相应的中误差分别为m1、m2mn。则有：第29页/共46页误差传播定律误差传播定律u例题1:丈量倾斜距离s50.00m，中误差
19、ms5cm，倾斜角度150000，其中误差m 30，求相应水平距离和中误差。第30页/共46页思考题（课堂练习）思考题（课堂练习）三角形内角和的中误差为6,则一内角的中误差为多少？观测BM1至BM2间的高差时，共设25个测站，每测站观测高差中误差均为3mm，问：（1）两水准点间高差中误差是多少？（2）若使其高差中误差不大于12mm，应设置几个测站?第31页/共46页6.56.5等精度独立观测量的最可靠值与精度评等精度独立观测量的最可靠值与精度评定定算术平均值n在相同的观测条件下，对某量进行多次重复观测，根据偶然误差特性，可取其算术平均值作为最终观测结果。n设对某量进行了n次等精度观测，观测值分
20、别为，l1,l2,ln，其算术平均值为：第32页/共46页算术平均值n设观测量的真值为 ，观测值为li，则观测值的真误差为：将上式内各式两边相加，并除以将上式内各式两边相加，并除以n，得，得根据偶然误差的特性，当观测次数根据偶然误差的特性，当观测次数n n无限增大时，则有无限增大时，则有算算术术平平均均值值较较观观测测值值更更接接近近于于真真值值。将将最最接接近近于于真真值值的的算算术术平均值称为平均值称为最或然值或最可靠值。最或然值或最可靠值。即即第33页/共46页观测值的改正数观测量的观测值与算术平均值之差，称为观测值改正数，也叫似真误差，用v表示。即：将上式内各式两边相加，得将上式内各式
21、两边相加，得将将代入上式，得代入上式，得 对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。第34页/共46页观测值的精度评定观测值的精度评定由观测值的改正数计算观测值中误差由于上列左右两式分别相减:公式两边分别平方并求和：=0第35页/共46页由观测值的改正数计算观测值中误差第36页/共46页由观测值的改正数计算观测值中误差所以又所以第37页/共46页观测值的精度评定观测值的精度评定u按观测值的改正值计算观测值的中误差：v算术平均值的中误差：第38页/共46页观测值的精度评定观测值的精度评定例题1：对于某一水平角，在同样条件下用J6光学经纬仪进行6次观测，求其算
22、术平均值及观测值的中误差。计算在下表中进行。在计算算术平均值时，由于各个观测值相互比较接近，因此令各观测值共同部分为l0，差异部分为li，即：li=l0+li（i=1，2，.，n）则算术平均值的实用计算公式为：第39页/共46页观测值的精度评定观测值的精度评定序号序号观测值观测值lili改正值改正值vivi2计算计算x,m及及mx 178 26 4242-749278 26 3636-11378 26 2424+11121478 26 4545-10100578 26 3030+525678 26 3333+24l0=78 26 002100300第40页/共46页观测值的精度评定观测值的精度
23、评定测次测次 观测值观测值/m 观测值观测值改正数改正数v/m m vv 计计 算算 123456平均平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046v例题2：某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。第41页/共46页小结小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则似真误差二、中误差二、中误差第42页/共46页6.66.6不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定权的定义设观测量的中误差为，其权为：为任意正实数单位权中误差单位权中误差令令 则第43页/共46页加权平均值及其中误差n设对某量进行了n次不等精度观测，观测值分别为，l1,l2,ln，其相应的中误差分别为m1、m2mn，其权为w1、w2wn，则加权平均值为：由误差传播定律第44页/共46页单位权中误差n对权为w1、w2wn，的不等精度观测量l1,l2,ln，构造虚拟观测量其中由误差传播定律：第45页/共46页谢谢大家观赏！第46页/共46页