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1、20 二月 2023一、课前准备：复习1:向向量量的的合合成成（思考：为什么限定？）第1页/共32页20 二月 2023想想一一想想？探究：探究：与与的关系的关系是这一平面内的任一向量是这一平面内的任一向量已知已知是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线向量，不共线向量，如：如：第2页/共32页20 二月 2023学生活动：O OM MN NC C即即向向量量的的分分解解AB第3页/共32页20 二月 2023知识点一知识点一 平面向量基本定理平面向量基本定理存存在在性性唯唯一一性性1.如果如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量使使一对实数一对
2、实数有且只有有且只有把不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底第4页/共32页20 二月 2023（有无数组）（有无数组）BAOMOMAB第5页/共32页abABDCFE第6页/共32页知识点二、向量的夹角与垂直知识点二、向量的夹角与垂直:OAB两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ，,则则叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角夹角的范围：夹角的范围：与与 反向反向OAB记作与与 垂直，垂直，OAB注意注意:两向量必须两向量必须是是同起点同起点的的 与与 同向同向OAB特别的：特别的：第7页/共32页例例2.在等边三角形中，求在等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角；(2
3、)AB与与BC的夹角。的夹角。ABC第8页/共32页平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示第9页/共32页G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2 a2,使a=1a1+2 a2G与与F1,F2有什么关系有什么关系?第10页/共32页把一个向量分解为两个互相 垂直的向量,叫做把向量 正正交交分分解解若两个不共线向量互相垂直时a1a12 a2F1F2G正交分解正交分解第11页/共32页 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的
4、每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。第12页/共32页ayOxxiyjji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标第13页/共32页i=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)第14页/共32页yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?ab能说出向量b的坐标吗?b=(
5、x,y)第15页/共32页yxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOji设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。第16页/共32页向量的坐标与点的坐标关系向量 P（x，y）一 一 对 应第17页/共32页练习练习:在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.解：第18页/共32页例1.用基底 i,j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3
6、4AB12-2-1xy453第19页/共32页平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：第20页/共32页（二）平面向量的坐标运算：（二）平面向量的坐标运算：结论结论1 1：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差量相应坐标的和与差.结论结论2 2：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标乘原来向量的相应坐标.第21页/共32页 已知已知 ，求，求 的坐标的坐标.OxyB(x2,y2)A(x1,y1)结结论论3 3:一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于表表示示此此向向量量的的有有向向线段终点
7、的坐标减去始点的坐标。线段终点的坐标减去始点的坐标。第22页/共32页第23页/共32页OyxABCD例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.第24页/共32页变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由 得D1=(2,2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为DACB时，得D3=(6,0)D3第25页/共32页第26页/共32页随堂练习随堂练习坐标是坐标是A A、(3,2)B(3,2
8、)B、(2,3)C(2,3)C、(-3,-2)D(-3,-2)D、(-2,-3)(-2,-3)BA A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B标标坐标为坐标为A A、(x-2,y+1)B(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y)D(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C第27页/共32页BB标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、(m-i,n-j)B(m-i,n-j)B、(i-
9、m,j-n)(i-m,j-n)C C、(m+i,n+j)D(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A第28页/共32页小结小结平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使a=1 e1+2 e2第29页/共32页(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1,2是被 a,e1、e2唯一确定的数量。a=1 e1+2 e2小结小结第30页/共32页课堂总结课堂总结:1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题:“向量向量”的思想的思想第31页/共32页谢谢大家观赏！第32页/共32页