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1、4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像问题问题引航引航1.1.二次函数的平移二次函数的平移规规律有哪些律有哪些?它它们们各自的特各自的特点又有哪些点又有哪些?2.2.二次函数的解析式有几种形式二次函数的解析式有几种形式?如何如何选择选择?1.1.二次函数二次函数y=f(x)y=f(x)的平移的平移规规律律(1)(1)左右平移：左右平移：(x+k)(x+k)2 2 (x-k)(x-k)2 2 左加右减左加右减(2)(2)上下平移：上下平移：x x2 2+k+kx x2 2-k k上加下减上加下减a a2.2.参数参数“a,h,ka,h,k”对对二次函数二次函数y=a(x+h)y=a(x+h)
2、2 2+k(a0)+k(a0)的的图图像的影响像的影响(1)a(1)a的符号和的符号和绝对值绝对值大小分大小分别别决定了二次函数决定了二次函数图图像的像的_和和_._.(2)h(2)h决定了二次函数决定了二次函数图图像的左、右平移像的左、右平移,而且而且“h h正正_,h_,h负负_”.(3)k(3)k决定了二次函数决定了二次函数图图像的上、下平移像的上、下平移,而且而且“k k正正_,k_,k负负_”.开口方开口方向向大小大小左移左移右移右移上移上移下移下移1.1.判一判：判一判：(正确的打正确的打“”,错误错误的打的打“”)(1)(1)函数函数y=xy=x2 2+2x+2x的的图图像可由像
3、可由y=xy=x2 2的的图图像像经过经过平移得到平移得到.(.()(2)y=x(2)y=x2 2向左平移向左平移1 1个个单单位后位后变为变为y=xy=x2 2+1.(+1.()(3)(3)函数函数y=xy=x2 2+bx+1+bx+1的顶点坐标为的顶点坐标为 ()()2.2.做一做：做一做：(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)y=x(1)y=x2 2 _ _._.(2)(2)二次函数二次函数y=3xy=3x2 2的的图图像开口比像开口比y=xy=x2 2的的图图像开口像开口(填填“大大”或或“小小”).).(3)(3)二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x-3+2x
4、-3的的图图像与像与x x轴轴的交点坐的交点坐标为标为.【解析解析】1.(1)1.(1)正确正确.y=x.y=x2 2 y=(x+1)y=(x+1)2 2=x=x2 2+2x+1+2x+1 y=x y=x2 2+2x.+2x.(2)(2)错误错误.y=x.y=x2 2 y=(x+1)y=(x+1)2 2.(3)(3)错误错误.应为应为答案：答案：(1)(2)(1)(2)(3)(3)2.(1)y=x2.(1)y=x2 2 y=xy=x2 2+1 y=(x-1)+1 y=(x-1)2 2+1.+1.答案：答案：y=xy=x2 2+1+1y=(x-1)y=(x-1)2 2+1+1(2)(2)二次函数
5、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的开口大小由的开口大小由|a|a|决定决定,|a|,|a|越大越大,开口越开口越小小.答案：答案：小小(3)(3)令令y=0y=0得得x x1 1=-3,x=-3,x2 2=1.=1.答案：答案：(-3,0),(1,0)(-3,0),(1,0)【要点探究要点探究】知知识识点点 二次函数的二次函数的图图像、解析式及其像、解析式及其变换变换1.1.三种二次函数解析式的特征及其使用范三种二次函数解析式的特征及其使用范围围(1)(1)一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为为常数常数,a0).,a0).当已知
6、抛物当已知抛物线线上任意三点上任意三点时时,通常将函数的解析式通常将函数的解析式设为设为一般式一般式,然后列出三元一次方程然后列出三元一次方程组组并求解并求解.(2)(2)顶顶点式：点式：y=a(x+h)y=a(x+h)2 2+k(a,h,k+k(a,h,k为为常数常数,a0).,a0).当已知抛物当已知抛物线线的的顶顶点坐点坐标标和抛物和抛物线线上另一点上另一点时时,通常将函数的通常将函数的解析式解析式设为顶设为顶点式点式.(3)(3)两根式：两根式：y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a,x)(a,x1 1,x,x2 2是常数是常数,a0).,a0).当已知抛物
7、当已知抛物线线与与x x轴轴的交点或交点的横坐的交点或交点的横坐标时标时,通常将函数的解通常将函数的解析式析式设为设为两根式两根式.2.2.二次函数的图像变换规律二次函数的图像变换规律(1)(1)左右平移：只改变左右平移：只改变x,x,如如y=2xy=2x2 2 y=2(x+1)y=2(x+1)2 2.规律：左加右减规律：左加右减(2)(2)上下平移：只改变上下平移：只改变y,y,如如y=2xy=2x2 2 y=2xy=2x2 2+1.+1.规律：上加下减规律：上加下减(3)(3)纵向伸缩：只改变纵向伸缩：只改变y,y,如如y=xy=x2 2+1 y=2(x+1 y=2(x2 2+1).+1)
8、.(4)(4)横向伸缩：只改变横向伸缩：只改变x,x,如如y=f(x)=axy=f(x)=ax2 2+bx+c+bx+c【微思考微思考】(1)(1)二次函数的三种解析式在一个问题中可以任意选择吗？二次函数的三种解析式在一个问题中可以任意选择吗？提示：提示：不可以，一般应根据条件合理选择三种中的一种使用不可以，一般应根据条件合理选择三种中的一种使用.(2)(2)一般式与顶点式之间可以互化吗一般式与顶点式之间可以互化吗?提示：提示：可以可以.【即时练即时练】1.1.当当m=_m=_时，函数时，函数 是二次函数是二次函数.【解析解析】由题意得由题意得解得解得m=6m=6或或m=3m=3且且m3,m3
9、,所以所以m=6,m=6,所以当所以当m=6m=6时，函数时，函数 是二次函数是二次函数.答案：答案：6 62.y=2x2.y=2x2 2经过怎样的变换可以得到经过怎样的变换可以得到y=2xy=2x2 2+4x+3.+4x+3.【解析解析】y=2xy=2x2 2 y=2(x+1)y=2(x+1)2 2=2x=2x2 2+4x+2+4x+2y=2xy=2x2 2+4x+3.+4x+3.【题型示范题型示范】类型一类型一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014西安高一检测西安高一检测)已知二次函数已知二次函数f(x)f(x)的顶点坐标为的顶点坐标为(1
10、(1，-3)-3)，且图像过点，且图像过点(2(2，0)0)，则，则f(x)=_.f(x)=_.(2)(2)已知二次函数已知二次函数f(x)f(x)满足满足f(2)=-1,f(-1)=-1,f(2)=-1,f(-1)=-1,且且 试求此二次函数的解析式试求此二次函数的解析式.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中有顶点和另外一点，应选哪种解析式中有顶点和另外一点，应选哪种解析式？2.2.题题(2)(2)中可采用解析式的哪种形式求解？中可采用解析式的哪种形式求解？【探究提示探究提示】1.1.已知顶点和另一点，可设顶点式已知顶点和另一点，可设顶点式.2.2.本题相当于知三点，可设一般式或根
11、据题目中点的特征，设本题相当于知三点，可设一般式或根据题目中点的特征，设顶点式顶点式.【自主解答自主解答】(1)(1)设设f(x)=a(x-1)f(x)=a(x-1)2 2-3(a0),-3(a0),因为因为a(2-1)a(2-1)2 2-3=0,-3=0,所以所以a=3,a=3,所以所以f(x)=3(x-1)f(x)=3(x-1)2 2-3.-3.答案：答案：3(x-1)3(x-1)2 2-3-3(2)(2)方法一：设方法一：设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a0),+bx+c(a0),因为因为f(-1)=-1,f(2)=-1,f(-1)=-1,f(2)=-1,所以所以 解之得
12、解之得所以所以f(x)=-4xf(x)=-4x2 2+4x+7.+4x+7.方法二：因为方法二：因为f(-1)=-1,f(2)=-1,f(-1)=-1,f(2)=-1,所以二次函数所以二次函数y=f(x)y=f(x)的对称的对称轴为轴为 所以可设所以可设 因为因为f(-1)=-1,f(-1)=-1,所以所以a=-4,a=-4,即即【延伸探究延伸探究】将题将题(2)(2)中的中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”f(2)=-1,f(-1)=-1”改为改为“f(2)=0,ff(2)=0,f(-1)=0”(-1)=0”，其余条件不变，求，其余条件不变，求f(x)f(x)的解析式的解析式.【解析解析
13、】由题意设函数的解析式为由题意设函数的解析式为f(x)=a(x+1)(x-2).f(x)=a(x+1)(x-2).又又则则 解得解得则则【方法技巧方法技巧】求二次函数解析式的方法及其一般步骤求二次函数解析式的方法及其一般步骤(1)(1)方法：待定系数法方法：待定系数法.(2)(2)步骤：步骤：【变式训练变式训练】根据下列条件，求二次函数根据下列条件，求二次函数y yf(x)f(x)的解析式的解析式(1)(1)图像过点图像过点(1,1)(1,1)，(0,2)(0,2)，(3,5).(3,5).(2)(2)图像过点图像过点(2,0)(2,0)，(4,0)(4,0)，(0,3)(0,3)【解析解析】
14、(1)(1)设函数解析式为设函数解析式为y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,由题设知由题设知所以函数解析式为所以函数解析式为y=xy=x2 22x+2.2x+2.(2)(2)设函数解析式为设函数解析式为y=a(xy=a(x2)(x2)(x4).4).整理得整理得y=axy=ax2 26ax+8a,6ax+8a,又图像过点又图像过点(0(0，3)3)，所以，所以8a=38a=3，所以，所以所以函数解析式为所以函数解析式为【补偿训练补偿训练】已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(xR)+bx+c(xR)的部分的部分对应值对应值如如下表：下表：求求该该函数的解析式函数的
15、解析式.【解题指南解题指南】本题关键是借助表格找出关键点本题关键是借助表格找出关键点,借助待定系数借助待定系数法求解法求解.x x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3y y6 60 0-4-4-6-6-6-6-4-4 0 0【解析解析】方法一：由表可知该函数与方法一：由表可知该函数与x x轴有两交点轴有两交点(-2(-2，0)0)，(3(3，0)0)，故该函数可设为，故该函数可设为y=a(x+2)(xy=a(x+2)(x3)3)，又函数过，又函数过(0(0，-6)-6)点，点，所以所以6a=6a=6,a=16,a=1，所以该函数的解析式为，所以该函数的解析式为y=(x+2)(xy=
16、(x+2)(x3)3)，即即y=xy=x2 2x x6.6.方法二：因为该函数过方法二：因为该函数过(0(0，-6)-6)点，故点，故y=axy=ax2 2+bx+bx6,6,又过点又过点(-1,-4),(1,-6),(-1,-4),(1,-6),故故所以所以a=1,b=a=1,b=1,1,所以该函数的解析式为所以该函数的解析式为y=xy=x2 2x x6.6.类型二类型二 二次函数的图像及其应用二次函数的图像及其应用【典例典例2 2】(1)(1)已知已知f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c中，中，a0,f(2)=f(-1),a0,f(2)=f(-1),则则的大小关系为的大小
17、关系为_._.(2)(2014(2)(2014太原高一检测太原高一检测)已知已知作出该函数的图像，并指出其单调区间；作出该函数的图像，并指出其单调区间；求求f(f(-3)f(f(-3)的值的值.xx为何值时，为何值时，y0,y=0,y0,y=0,y0?y0或或y0y0y0对应图像在对应图像在x x轴上方部分；轴上方部分；y0y0,f(2)=f(-1),a0,f(2)=f(-1),所以此函所以此函数的对称轴为数的对称轴为 开口向上，结合图像特征知开口向上，结合图像特征知答案：答案：(2)(2)如图：如图：增区间为增区间为(-,-2),(-1,+),(-,-2),(-1,+),减区间为减区间为(-
18、2,-1).(-2,-1).f(-3)=-3+2=-1,f(-3)=-3+2=-1,所以所以f(f(-3)=f(-1)=-1.f(f(-3)=f(-1)=-1.当当x-2x-2或或-2x0-2x0时，时，y0;y0 x0时，时，y0.y0.【延伸探究延伸探究】本本题题(2)(2)中中,若若f(a)=a,f(a)=a,则则a=a=.【解析解析】当当a-2a-2时时,f(a)=a+2=a,f(a)=a+2=a无解无解.当当-2a1-2a0(a0)+bx+c0(a0)的解的解;同样二次函数同样二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图像在的图像在x x轴下方的部分对应轴下
19、方的部分对应的的x x的取值范围的取值范围不等式不等式axax2 2+bx+c0(a0)+bx+cba,cba,且且a+b+c=0,a+b+c=0,则则它它的的图图像可以是像可以是()【解析解析】选选A.A.因为因为cba,cba,且且a+b+c=0,a+b+c=0,得得c0,c0,且且a0,a0,f(0)=c0,所以函数所以函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图像开口向下的图像开口向下,与与y y轴的交点在轴的交点在y y轴的正半轴上轴的正半轴上,排除排除B,C,D.B,C,D.【易错误区易错误区】因因对对二次函数二次函数图图像的平移像的平移规规律把握不准致律把握不准致误误【典例
20、典例】(2014(2014渭南高一渭南高一检测检测)已知把二次函数已知把二次函数y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的的图图像向左平移像向左平移2 2个个单单位位长长度度,再向上平移再向上平移3 3个个单单位位长长度度,得到的二次得到的二次函数函数为为y=xy=x2 2-2x+1,-2x+1,则该则该二次函数的解析式二次函数的解析式为为 .【解析解析】方法一：因为方法一：因为y=xy=x2 2+bx+c=+bx+c=所以将所以将y yx x2 2bxbxc c的图像向左平移的图像向左平移2 2个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移3 3个单位个单位长度，得解析式为长度，得解析式为因为因
21、为y=xy=x2 22x+1=(x2x+1=(x1)1)2 2,比较对应项系数可得比较对应项系数可得解得解得 所以所求函数解析式为所以所求函数解析式为y yx x2 26x6x6.6.方法二：因为方法二：因为y=xy=x2 2-2x+1=(x-1)-2x+1=(x-1)2 2,所以将所以将y=(x-1)y=(x-1)2 2的图像向右平的图像向右平移移2 2个单位长度个单位长度,再向下平移再向下平移3 3个单位长度得解析式为个单位长度得解析式为y=(x-1-y=(x-1-2)2)2 2-3=x-3=x2 2-6x+6,-6x+6,即二次函数即二次函数y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的解析式
22、为的解析式为y=xy=x2 2-6x+6.-6x+6.答案：答案：y=xy=x2 2-6x+6-6x+6【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析y=xy=x2 2+2x-2+2x-2对平移规律不清楚，误认为阴影处是对平移规律不清楚，误认为阴影处是【防范措施防范措施】1.1.准确把握二次函数图像的平移规律准确把握二次函数图像的平移规律任意二次函数任意二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)都可转化为都可转化为y=a(x+h)y=a(x+h)2 2+k(a0)+k(a0)的形式的形式,都可由都可由y=axy=ax2 2(a0)(a0)的图像经过适当平移得到的图像经过适
23、当平移得到,其规律为其规律为“左加右减左加右减”“”“上加下减上加下减”.如本例方法一中用了如本例方法一中用了“左加左加”和和“上加上加”.2.2.区分开图像的平移方向区分开图像的平移方向正向平移与逆向平移方向相反正向平移与逆向平移方向相反,平移规律相同平移规律相同.如本例方法一是如本例方法一是正向平移正向平移,方法二是逆向平移方法二是逆向平移.【类题试类题试解解】二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图图像向右平移像向右平移2 2个个单单位位长长度度,再向下平移再向下平移3 3个个单单位位长长度度,得到的二次函数得到的二次函数为为y=xy=x2 2-6x+2,-6x+2,则该则该二二次函数的解析式次函数的解析式为为.【解析解析】因为因为y=xy=x2 2-6x+2=(x-3)-6x+2=(x-3)2 2-7,-7,所以将所以将y=(x-3)y=(x-3)2 2-7-7的图像向左平移的图像向左平移2 2个单位长度个单位长度,再向上平移再向上平移3 3个个单位长度得解析式为单位长度得解析式为y=(x-3+2)y=(x-3+2)2 2-7+3=x-7+3=x2 2-2x-3,-2x-3,即二次函数即二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的解析式为的解析式为y=xy=x2 2-2x-3.-2x-3.答案：答案：y=xy=x2 2-2x-3-2x-3