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1、1.5.2 二项式系数的二项式系数的性质及应用性质及应用一一.复习回顾复习回顾1.(a+b)1.(a+b)n n的二项展开式是的二项展开式是_._.2.2.通项公式是通项公式是 _._.T Tr+1r+1=3.3.第第r+1r+1项的二项式系数是什么？项的二项式系数是什么？一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:二、新课二、新课二项展开式中的二项式系数指的是哪些？二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？共有多少个？下面我们来研究二项式系数的有关性质。下面我们来研究二项式系数的有关性质。我们先通过观察我们先通过观察n n为特殊值时，二项式系数有为特殊值时，二项式系数有什么特
2、点？什么特点？1 1“杨辉三角杨辉三角”的来历及规律的来历及规律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示：1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7 7个孤立点个孤立点二项式系数的性质二项式系数的性质2二项式系数的性质二项式系数的性质（
3、1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴图象的对称轴：（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 二项式系数的性质二项式系数的性质（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 由由：二项式系数是逐渐增大的。二项式系数是逐渐增大的。可知，当可知，当 时，时，二项式系数的性质二项式系数的性质由对称性可知：它的后半部分是逐渐减小的；由对称性可知：它的后半部分是逐渐减小的；且中间项取得最大值。且中间项取得最大值。（2
4、 2）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当当n n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。二项式系数的性质二项式系数的性质（3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于：数的和等于：同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：这是组合总数公式这是组合总数公式 二项式系数的性质二项式系数的性质
5、 一般地，一般地，展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：（1 1）（2 2）（3 3）当）当 时，时，（4 4）当当 时，时，（对称性）（对称性）二项式系数的性质二项式系数的性质 例例1 1 证明在证明在 的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和 例例2 2 用二项式定理证明：用二项式定理证明：能被能被10001000整除。整除。例例3 3 的展开式中第的展开式中第6 6项与第项与第7 7项的系数相等，求展开式中二项式系数项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。最大的项和系
6、数最大的项。变式引申：变式引申：1 1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.A.第第4 4项项 B.B.第第4 4、5 5项项 C.C.第第5 5项项 D.D.第第3 3、4 4项项2 2、若若 展开式中的第展开式中的第6 6项的系数最大，则不含项的系数最大，则不含x x的项等于的项等于()()A.210 B.120 C.461 D.416A.210 B.120 C.461 D.416例例4 4 已知已知(1-2x)(1-2x)7 7=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a7 7x x7 7 ,则则(1)a(1)a1 1+a+a2
7、 2+a+a3 3+a+a7 7=_=_(2)a(2)a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7=_=_(3)a(3)a0 0+a+a2 2+a+a4 4+a+a6 6=_=_(4)a(4)a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+-a+-a7 7=_=_赋值法赋值法变式：若已知变式：若已知 (1+2x)200=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a200(x-1)200求求a1+a3+a5+a7+a199的值。的值。余数是余数是1 1，所以是所以是星期六星期六例例5、今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后的这天后的这一天是星期几？一天是星期几？1.二项展开式中的二项
8、式系数都是一些特殊二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握的组合数，它有三条性质，要理解和掌握;小小 结结2.2.要注意要注意“系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别，的区别，不能混淆不能混淆;只有二项式系数最大的才是中间只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项项，而系数最大的不一定是中间项;3.3.尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“取特值取特值”法，它是解法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。决有关二项展开式系数的问题的重要手段。练习：课本练习：课本 P35 P35 练习练习 1-51-5作业：作业：1.1.课本课本 P35 P35 习题习题 2 2，5 5，7 72.2.课课练课课练 第第1111课时课时 杨辉三角杨辉三角九九章章算算术术杨杨辉辉杨辉三角杨辉三角详详解解九九章章算算法法中中记记载载的的表表