误差理论与数据处理资料.pptx

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1、第五章第五章误差理论与数据处理5.1 误差理论5.2 误差传播定律及应用5.3 权及权倒数传播定律5.4 数据处理理论基础第1页/共88页5.1 误差理论第2页/共88页 前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器(经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进行操作，要在某种环境中工作，这些因素都会使采集到的数据不准确，即数据中有误差。例如：1）、距离测量误差 2）、角度测量误差 3）、高差测量误差 5.1 误差理论第3页/共88页ABD D往往D D返返理论上：理论上：D D往往=D D返返实测中：实测中：D D往往 D D返返1）距离测量误差测量上一般要求:D往-D返/D0 系统误差二、误差的种类即当直

2、线距离超过一个尺段时，需进行直线定线.LAB第13页/共88页 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。1.系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。例如：3）、水准仪I角对测量高差的影响 二、误差的种类第14页/共88页iABSASB水准管轴视准轴b1bi水准仪I角对测量高差的影响-系统误差SA=SB时，hAB=0aa1 总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.第15页/共88页 测量误差根据其性质不同,可分为系

3、统误差、偶然误差、粗差。2.偶然误差：在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。例如：1)、距离测量二、误差的种类D9.59.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4 5 6 7 N No o第16页/共88页1.71.61.5 1591中丝读数：1592 1593例如:2）、读数误差(水准测量)第17页/共88页 总结:偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统

4、计理论处理，可以求得参数的最佳估值.例如:3）、照准误差例如:4）、整平误差第18页/共88页 测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。3.粗差（错误）：由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。例如：已知点有误，往返高差相差悬殊。二、误差的种类 通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差通常，测量中需要进行多余观测。应当剔除观测值中的粗差，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，利用系统误差的规律性将系统误差消除或减弱到可以忽略不计，使观测值主要含有偶然误差，从而利用数理统计方法求得观测值使观测值主要含有偶

5、然误差，从而利用数理统计方法求得观测值的最可靠值。的最可靠值。总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。第19页/共88页 通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测次数足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值-超限数为零；有限性2、绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大 -小误差大概率：集中性 3、绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等 -正负相等；对称性 4、当观测次数无穷增多时，偶然误差的 算术平均值为零 -平均理论。抵偿性三、偶然误差的特性其中第20页/共88页【例】在相同的观测条

6、件下，观测了217217个三角形的全部内角。n三角形内角和真误差:A A+B+B+C+C-180-180n i=1,2,3.217 i=1,2,3.217 第21页/共88页 -27-24-21-18-15-12-9 -6-3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27(vi/n)(vi/n)/3每一误差区间上方的长方形面积，代表误差出现在该区间的相对个数直方图误差分布曲线第22页/共88页正态分布曲线的特性：1、是偶函数。这就是偶然误差的第三特性。对称性2、愈小，愈大。有最大值 当=0=0时横轴是曲线的渐近线，这就是偶然误差的第一、二特性曲线有两个拐点，横坐标为：当 愈小时，曲线愈陡

7、峭，误差分布比较集中当 愈大时，曲线愈平缓，误差分布比较分散第23页/共88页参数 的大小反映了一组观测值误差分布的密集和离散程度。称为方差 称为标准差（方根差或均方根差）四、衡量精度的指标精度指的是一组观测值误差分布的密集或分散的程度。1、标准差和中误差1）标准差第24页/共88页四、衡量精度的指标2）、中误差:标准差的一个估值。在相同观测条件下进行一组观测，得出的每个观测值都称为同精度的观测值。即每个观测值的真差不同，但中误差是相同的。例：2002级的某班的3个小组，在相同观测条件下进行四等水准测量。第1个小组测得闭合差为+2mm,第2个小组测得闭合差为-6mm,第三个小组测得闭合差为0。

8、试判断哪一组观测精度高？精度相同第25页/共88页 小，精度高 大，精度低观测条件观测条件误差分布误差分布观测值精度观测值精度四、衡量精度的指标中误差第26页/共88页四、衡量精度的指标2、容许误差（限差）通常取标准差的两倍（或三倍）作为观测值的容许误差。实际中常用中误差代替标准差。即 即大于2倍中误差的真误差，出现的可能性为5%即大于3倍中误差的真误差，出现的可能性为0.3%第27页/共88页四、衡量精度的指标精度不相同3、相对误差通常是用来衡量和距离有关的观测量的精度的好坏。例:测量两条直线，一条100m，另一条50m，其中误差均为 10mm试问两条直线的观测精度相同吗？哪条直线的观测精度

9、高？100m的直线的观测精度高相对中误差，相对真误差和相对极限误差。第28页/共88页5.2误差传播定律及应用第29页/共88页一、误差传播定律*问题的提出：*在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评定观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为误差传播定律。第30页/共88页1、倍数的函数 设有函数z=kx z:观测值的函数，x为观测值，k为常数(1)真误差的关系式为：若对x观测了n次则：(2)将上式平方得：(3)求和，并除以n(4)转换为中误差

10、关系式观测值与常数乘积的中误差，等 于观测值中误差乘以常数第31页/共88页2、和或差的函数 设有函数z=xy z:观测值的函数，x、y为独立观测值(1)真误差的关系式为：若对x、y观测了n次则：(2)将上式平方得：(3)求和，并除以n(4)转换为中误差关系式两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和。由于x,y为独立观测值，因此n趋近无穷时，xy/n=0第32页/共88页2、和或差的函数 n个观测值代数和的中误差，等于n个观测值中误差的平方和。n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。第33页/共88页2、和或差的函数 水准测量中观测高差的中误差，与距离S的平方根

11、成正比。水准测量中观测高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。第34页/共88页3、线性函数 应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得第35页/共88页4、一般函数（非线性函数）设有函数z=f()为独立观测值(1)求偏导真误差的关系式为：(2)转换为中误差关系式：第36页/共88页4、一般函数（非线性函数）例一：设有函数z=Ssin解：注意单位的统一第37页/共88页4、一般函数（非线性函数）例二：设有函数：Z=X+Y ，Y=3X解：注：由于X和Y不是独立观测值第38页/共88页总结 应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：1、列出函数式2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观

12、测值真误差的关系式4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式3、独立性的判断注意单位的统一第39页/共88页 误差传播定的几个主要公式：函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数返回第40页/共88页设未知量的真值为X，观测值的真误差为将上式相加称为算术平均值，是未知量的最或然值算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍二、误差传播定律及应用=n L1 x因为n L2 n Ln 1、算术平均值及其中误差 第41页/共88页二、误差传播定律及应用1、算术平均值及其中误差 第42页/共88页例：对某段距离同精度测量了4次试

13、求该段距离的最或然值及其中误差解：二、误差传播定律及应用1、算术平均值及其中误差 第43页/共88页二、误差传播定律及应用2、双观测值及其中误差 对同一个量所进行的两次观测称为双观测对。有一组量x1，x2，。Xn，对该量各观测两次，L1，L2，。Ln L1，L2，。Ln di=0-（Li-Li”）第44页/共88页二、误差传播定律及应用2、双观测值及其中误差 第45页/共88页5.3权及权倒数传播定律第46页/共88页一广义算术平均值一广义算术平均值如果对某个未知量进行n n次同精度观测，则其最或然值即为n n次观测量的算术平均值：第47页/共88页一广义算术平均值一广义算术平均值第48页/共

14、88页在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组第二组 算术平均值分别为一广义算术平均值第49页/共88页其中误差分别为：一广义算术平均值第50页/共88页全部同精度观测值的最或然值为：一广义算术平均值第51页/共88页在值的大小体现了中比重的大小，称为的权。令一广义算术平均值第52页/共88页若有不同精度观测值其权分别为该量的最或然值可扩充为：称之为广义算术平均值。第53页/共88页当各观测值精度相同时第54页/共88页二、权定权的基本公式：称为中误差，为单位权观测值，当观测值称为单位权，单位权中误差。第55页/共88页 可见，用中误差衡量精度是绝对的，而用权衡量精度是相对的，即权是衡量精度

15、的相对标准。二、权第56页/共88页权的特性1 反映了观测值的相互精度关系。3 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系。值的 大小，对X值毫无影响。2二、权第57页/共88页4 若同类量的观测值，此时，权无单位。若是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。二、权第58页/共88页例：已知L1,L2,L3,的中误差分别为：设2516,1,916321=p pP设二、权第59页/共88页1 水准路线观测高差的权例：常用定权公式第60页/共88页当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。四条水准路线分别观测了3,4,6,5 测站：二、权第61页/共

16、88页令c=3,令c=4,二、权第62页/共88页 水准路线的长分别为设每公里水准测量观测的中误差为二、权第63页/共88页当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的权与路线长度成反比。二、权第64页/共88页二、权第65页/共88页当S=C=10公里 的水准路线的观测高差为单位权观测。第66页/共88页每测站观测高差精度相同时：每公里观测高差精度相同时：二、权第67页/共88页例 对某角作三组同精度观测：第一组测4测回，算术平均值为 第二组测6测回，算术平均值为 第三组测8测回，算术平均值为2 不同个数的同精度观测值求得的算术平均 值的权。二、权第68页/共88页由不同个数的同精度观测值求

17、得的算术平均值，其权与观测值个数成正比。二、权第69页/共88页令二、权第70页/共88页 水准测量中，当每测站高差中误差相同时，则各条水准路线高差观测值的权与测站成反比v 水准测量中，当每公里高差中误差相同时，则 各条水准路线高差观测值的权与路线长度成反比总结二、权第71页/共88页角度测量中，当每测回角度观测中误差相同时，各角度观测值的权与其测回数成正比v 距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各段距离观测值的权与其长度成反比。二、权第72页/共88页三 权倒数传播定律第73页/共88页内容总结 广义算术平均值：定权的基本公式：权 权的特点 常用定权公式：第74页/共88页5.4 数据

18、处理理论基础第75页/共88页一、数据处理的任务和原则*1、数据处理的任务*任何一种测量,其观测结果都会存在误差(主要考虑偶然误差)的影响,由于这种误差的影响,使得对同一量进行多次观测所得的结果都不会相同,也不等于理论数值。*测量数据处理的任务：*“消除差异”，求出观测量的最或然值（平差值）*评定精度第76页/共88页一、数据处理的任务和原则*2、数据处理的原则*存在矛盾如何消除，采用什么样的原则消除才是合理的，这就是数据处理的原则，即最小二乘原理。*VV=V12+V22+V32+Vn2=min*PVV=P1V12+P2V22+P3 V32+Pn Vn2=min*L=L+V*平差值 观测值 改

19、正数第77页/共88页二、直接平差 根据对同一个量的多次观测结果，确定最或然值并评定精度的过程，称为直接平差。1.算术平均值 设 L1,L2,Ln 为一组独立观测值，根据最小二乘准则，其最或然值 x 必须满足：vv=(x-L1)2+(x-L2)2+(x-Ln)2=min 求vv 对 x 的一阶和二阶导数：第78页/共88页二、直接平差 这说明，在等精度观测条件下，未知量的最或然值就是算术平均值。或者说，算术平均值是满足最小二乘准则条件下，等精度观测值的最或然值。第79页/共88页二、直接平差用改正数计算观测值中误差的公式，称为白塞尔公式第80页/共88页二、直接平差2、加权平均值、加权平均值

20、一列观测值L1，L2，Ln,，其精度值分别为m1,m2,mn，选定一个精度值m,并同时选定一组正数p1,p2,pn，使得下列诸式同时成立：根据最小二乘准则，应使pvv=min，即：pvv=p1(x-L1)2+p2(x-L2)2+pn(x-Ln)2=min第81页/共88页二、直接平差 这就是不等精度观测时未知量的最或然值，也就是说，不等精度观测值的最或然值是加权平均值。第82页/共88页二、直接平差用改正数计算观测值中误差的公式，称为白塞尔公式第83页/共88页三、两种基本平差方法1 间接平差基本思想：1）、选取与观测量有一定关系的未知量作为参数；2）、建立观测量与参数之间的线性函数关系；3）

21、、按最小二乘原理求出参数的最或是数值；4）、求观测量的最或然数值（平差值）并评定精度。参数选择：可以直接观测量；可以为非直接观测量参数满足条件：参数之间相互独立，个数等于必要观测个数 平面上：点的坐标（x，y）2个 高程上：H 1个 第84页/共88页三、两种基本平差方法1 间接平差平面控制网：待定点的二维坐标三维控制网：待定点的三维坐标高程控制网：待定点的高程参数的选取h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B第85页/共88页2 条件平差基本思想：1）、选取全部观测量的最或是数值作为参数；2）、建立参数之间的数学关系；3）、按最小二乘原理求出参数的最或是数值；并评定精度。待定参数个数等于观测总数；条件方程个数为n-t条件类型：图形条件 方位角条件 极条件 圆周条件边长条件 坐标条件 三、两种基本平差方法第86页/共88页第87页/共88页感谢您的观看！第88页/共88页