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1、第第3 3章章 排队论及其应用排队论及其应用 通信网规划设计和优化遵循的原则：通信网规划设计和优化遵循的原则：能够满足各项性能指标要求又节省费用的设计或优化方能够满足各项性能指标要求又节省费用的设计或优化方案。案。对设计人员的要求：对设计人员的要求：掌握相应的理论基础知识和网络分析掌握相应的理论基础知识和网络分析的计算方法，以便对通信网的性能进行分析与指标计算，的计算方法，以便对通信网的性能进行分析与指标计算，为设计和优化提供理论数据。为设计和优化提供理论数据。应用的数学理论：应用的数学理论：排队论。它起源于最早的电话系统，可排队论。它起源于最早的电话系统，可应用于很多领域，目前通信网仍是其中
2、一个重要的应用应用于很多领域，目前通信网仍是其中一个重要的应用领域。领域。1第1页/共212页 本本 章章 学学 习习 要要 求求重重点点掌掌握握和和理理解解排排队队论论的的基基本本概概念念、M/M/m(n)排排队队系系统统的模型分析方法，了解它们在网络中的实际应用。的模型分析方法，了解它们在网络中的实际应用。掌掌握握通通信信网网业业务务量量的的基基本本概概念念，理理解解、掌掌握握和和运运用用Erlang B公公式式和和Erlang C公公式式及及其其在在业业务务分分析析中中的的具具体体应应用用；能能够够运运用用这这些些知知识识分分析析和和计计算算实实际际网网络络的的性性能能指指标。标。掌握随
3、机接入系统的工作原理及其业务分析方法。掌握随机接入系统的工作原理及其业务分析方法。2第2页/共212页第第3 3章章 排队论及其应排队论及其应用用3.1 排队论基础排队论基础3.2 M/M/m(n)排队系统排队系统3.3 通信业务量分析通信业务量分析3.4 随机接入系统业务量分析随机接入系统业务量分析3第3页/共212页3.1 3.1 排队论基排队论基础础3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标4第4页/共212页3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念排
4、队论（排队论（Queuing Theory）是一个独立的数学分支，有时也把它归到运筹是一个独立的数学分支，有时也把它归到运筹学中。学中。排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象的拥挤现象(排队、等待排队、等待)的科学，也称为随机服的科学，也称为随机服务系统理论或拥塞理论（务系统理论或拥塞理论（Congestion Theory）。）。它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，它是在研究各种排队系统概率规律性的基础上，解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。解决有关排队系统的最优设计和最优控制问题。5第5页/共212页3.1.1 3.1.1 基
5、本概念基本概念排队论的起源：排队论的起源：排队论起源于排队论起源于20世纪初世纪初。当时，美国贝尔（。当时，美国贝尔（Bell）电话公司发明了）电话公司发明了自动电话以后，如何合理配置电话线路的数量，以尽可能地减少自动电话以后，如何合理配置电话线路的数量，以尽可能地减少用户重复呼叫次数问题。用户重复呼叫次数问题。1909年，丹麦工程师爱尔兰（年，丹麦工程师爱尔兰（A.K.Erlang）发表了具有重要历史地）发表了具有重要历史地位的论文位的论文“概率论和电话交换概率论和电话交换”，从而求解了上述问题。，从而求解了上述问题。1917年，年，A.K.Erlang又提出了有关通信业务的拥塞理论，用统计
6、又提出了有关通信业务的拥塞理论，用统计平衡概念分析了通信业务量问题，形成了概率论的一个新分支。平衡概念分析了通信业务量问题，形成了概率论的一个新分支。后经后经C.Palm等人的发展，由近代概率论观点出发进行研究，奠定等人的发展，由近代概率论观点出发进行研究，奠定了话务量理论的数学基础。经过通信、计算机和应用数学三个领了话务量理论的数学基础。经过通信、计算机和应用数学三个领域的研究学者的努力，排队论得到了迅速的发展和应用。域的研究学者的努力，排队论得到了迅速的发展和应用。6第6页/共212页3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念应用：应用：网络的设计和优化方法；网络的设计和优化方法；移动通信系
7、统中的切换呼叫的处理方法；移动通信系统中的切换呼叫的处理方法；随机接入系统的流量分析方法；随机接入系统的流量分析方法；业务流的数学模型及其排队分析方法等。业务流的数学模型及其排队分析方法等。经典排队论经典排队论把相继到达把相继到达“顾客顾客”的到达时间间隔和服务时间都相互独立的到达时间间隔和服务时间都相互独立的排队论内容称为经典（或古典）排队论。的排队论内容称为经典（或古典）排队论。经典排队论仍是新的排队论的基础，而且通信领域的许多问经典排队论仍是新的排队论的基础，而且通信领域的许多问题可以用它来解决。题可以用它来解决。7第7页/共212页3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念1排队的概念通
8、信网中的排队现象：通信网中的排队现象：无形的排队：如打电话无形的排队：如打电话有形的排队：如数据分组的传送有形的排队：如数据分组的传送顾客顾客:把要求服务的一方统称为把要求服务的一方统称为“顾客顾客”，如电话用户产生的呼叫和待，如电话用户产生的呼叫和待传送的分组信息。传送的分组信息。服务机构服务机构:把提供服务的一方统称为服务机构，如电话交换设备、信息把提供服务的一方统称为服务机构，如电话交换设备、信息传输网络等。传输网络等。服务窗口或服务员服务窗口或服务员:把服务机构内的具体设施统称为把服务机构内的具体设施统称为“服务窗口服务窗口”或或“服务员服务员”，如中继线路、信道等。，如中继线路、信道
9、等。排队系统（随机服务系统）排队系统（随机服务系统）:由要求随机性服务的顾客和服务机构两方由要求随机性服务的顾客和服务机构两方面构成的系统称为随机服务系统或排队系统。面构成的系统称为随机服务系统或排队系统。8第8页/共212页3.1.1 3.1.1 基本概基本概念念产生排队的原因：产生排队的原因：顾客需求的随机性和服务设施的有限性。顾客需求的随机性和服务设施的有限性。应用的理论：应用的理论：概率论和随机过程理论概率论和随机过程理论研究目的：研究目的：研究排队系统内服务机构与顾客需求之间的关研究排队系统内服务机构与顾客需求之间的关系，以便合理地设计和控制排队系统，使之既能满足一系，以便合理地设计
10、和控制排队系统，使之既能满足一定的服务质量要求又能节省服务机构的费用。定的服务质量要求又能节省服务机构的费用。9第9页/共212页3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念2 2排队系统的组成排队系统的组成 一个排队系统由三个基本部分组成：一个排队系统由三个基本部分组成：n输入过程输入过程n排队规则排队规则n服务机构服务机构排队系统排队系统排队排队规则规则服务服务机构机构顾客到顾客到达达 服务完毕离服务完毕离去去 图图3.1 3.1 排队系统的基本组成排队系统的基本组成10第10页/共212页3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念（1 1）输入过程）输入过程 描述顾客按怎样的规律到达排队系统，
11、包括以下三方描述顾客按怎样的规律到达排队系统，包括以下三方面：面：顾客总体数：顾客总体数：指顾客的来源（简称顾客源）数量，顾客指顾客的来源（简称顾客源）数量，顾客源数可以是无限的，也可以是有限的。源数可以是无限的，也可以是有限的。顾客到达方式：顾客到达方式：描述顾客是怎样到达系统的，是成批描述顾客是怎样到达系统的，是成批（集体）到达（每批数量是随机的还是确定性的）还是（集体）到达（每批数量是随机的还是确定性的）还是单个到达。单个到达。顾客流的概率分布（或顾客到达的时间间隔分布）顾客流的概率分布（或顾客到达的时间间隔分布）：所：所谓顾客流，就是顾客在随机时刻一个个（一批批）到达谓顾客流，就是顾客
12、在随机时刻一个个（一批批）到达排队系统的序列。排队系统的序列。11第11页/共212页3.1.1 3.1.1 基本概基本概念念（2 2）排队规则）排队规则排队规则包括：排队规则包括：排队系统类型排队系统类型服务规则服务规则排队系统类型：排队系统类型：排队系统一般分为：排队系统一般分为：拒绝系统拒绝系统非拒绝系统非拒绝系统表明服务机构是否允许顾客排队等待服务。表明服务机构是否允许顾客排队等待服务。12第12页/共212页3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念拒绝系统：拒绝系统：又称拒绝方式、截止型系统。又称拒绝方式、截止型系统。n：系统允许排队的队长（也称截止队长）。：系统允许排队的队长（也称
13、截止队长）。m：窗口数。：窗口数。分为两种情况：分为两种情况：即时拒绝系统：即时拒绝系统：n=m的系统。此时，顾客到达后或立的系统。此时，顾客到达后或立即被拒绝，或立即被服务，不存在排队等待服务的情况。即被拒绝，或立即被服务，不存在排队等待服务的情况。电话网就是即时拒绝系统。电话网就是即时拒绝系统。延时拒绝系统：延时拒绝系统：m 0是常数，则称是常数，则称X 服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。其均值为其均值为 (3.7)(3.7)方差为方差为 (3 3.8 8）30第30页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流（2）指数分布 一般，若随
14、机变量一般，若随机变量t 取具有概率密度函数为取具有概率密度函数为 (3.9)(3.9)其中其中 0为常数，则称为常数，则称 t 服从参数为服从参数为 的指数分布，其分布函的指数分布，其分布函数数F(t)为为其均值为其均值为 (3.11)(3.11)方差为方差为 (3.(3.1212）(3.10(3.10）31第31页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流2最简单流随机事件流：随机事件流：通常把随机时刻出现的事件组成的序列称为随机事件流，例通常把随机时刻出现的事件组成的序列称为随机事件流，例如用如用N(t)表示（表示（0，t）时间内要求服务的顾客人
15、数就是一个）时间内要求服务的顾客人数就是一个随机事件流。随机事件流。（1 1）最简单流）最简单流定义：如果一个事件流定义：如果一个事件流N(t),t 0，这里以输入流为例，这里以输入流为例，满足下述三个条件则称该输入为最简单流：满足下述三个条件则称该输入为最简单流：平稳性平稳性 无后效性无后效性 疏稀性疏稀性32第32页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流 平稳性平稳性平稳性平稳性 在时间间隔在时间间隔 t 内，到达内，到达 k 个顾客的概率只与个顾客的概率只与 t 有关，而有关，而与这间隔的起始时刻无关。与这间隔的起始时刻无关。即以任何时刻即以
16、任何时刻 t0 为起点，为起点，（t0,t0+t）时间内出现的顾客数只与时间长度）时间内出现的顾客数只与时间长度 t 有关而有关而与起点与起点 t0 无关。无关。N(t)：（：（t0,t0+t）内出现的顾客数）内出现的顾客数 ：N(t)=k 的概率，则的概率，则 k=0,1,2,33第33页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流无后效性无后效性 顾客到达时刻相互独立，即顾客各自独立地随机到达系统。顾客到达时刻相互独立，即顾客各自独立地随机到达系统。此假设使顾客数此假设使顾客数 k 的随机过程具有马尔柯夫性。即在（的随机过程具有马尔柯夫性。即在（t0
17、 ,t0+t）时间）时间内出现内出现 k 个顾客与个顾客与 t0 以前到达的顾客数无关。以前到达的顾客数无关。稀疏性稀疏性 在无限小时间间隔在无限小时间间隔t内，到达两个或两个以上顾客的概率可认为是零，内，到达两个或两个以上顾客的概率可认为是零，且在有限时间区间内到达的顾客数是有限的。即在充分小的时间区间且在有限时间区间内到达的顾客数是有限的。即在充分小的时间区间t内，发生两个或两个以上事件的概率是比内，发生两个或两个以上事件的概率是比t高阶的无穷小量，即高阶的无穷小量，即t 0时时,有有 34第34页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流在上述三
18、个条件下，可以推出在上述三个条件下，可以推出(3.13)(3.13)在时间在时间t t内有内有k k个顾客到达的均值个顾客到达的均值：(3.14)(3.14)(3.15)(3.15)注意注意:Pk(t)是在时间是在时间t内有内有k个顾客到达的概率个顾客到达的概率;或是一个排队系统中在时间或是一个排队系统中在时间t内有内有k个顾客在等待或正在处个顾客在等待或正在处理的概率理的概率;或是总的或是总的C 条信道中有条信道中有k条信道被占用概率。条信道被占用概率。(3.16)(3.16)35第35页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流（2 2）泊松过程的
19、顾客到达时间间隔分布）泊松过程的顾客到达时间间隔分布顾客到达时间间隔分布：顾客到达时间间隔分布：顾客到达的时间间隔小于顾客到达的时间间隔小于 t 的概率，即的概率，即t内有顾客的概率分布。内有顾客的概率分布。两相邻顾客到达的时间间隔是一连续型随机变量，用两相邻顾客到达的时间间隔是一连续型随机变量，用 T 表示。在时间表示。在时间 t 内没有顾客到达的概率为内没有顾客到达的概率为(3.17)(3.17)其概率密度函数：其概率密度函数：(3.18)(3.18)则则T T 的分布函数为的分布函数为36第36页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流顾客到达
20、的平均时间间隔为顾客到达的平均时间间隔为顾客到达的平均时间间隔为顾客到达的平均时间间隔为(3.19)(3.19)n一个随机过程为一个随机过程为“泊松到达过程泊松到达过程”或或“到达到达时间间隔为指数分布时间间隔为指数分布”实际上是一回事。实际上是一回事。37第37页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流（3 3）服务时间分布）服务时间分布服务时间：服务时间：也叫占用时间，指一个顾客接受服务时实际占用一个也叫占用时间，指一个顾客接受服务时实际占用一个窗口的时间，也就是服务结束的间隔时间，用窗口的时间，也就是服务结束的间隔时间，用 表示。表示。在电话呼
21、叫中，就是一个呼叫的平均持续时间。在电话呼叫中，就是一个呼叫的平均持续时间。服务过程：服务过程：也就是顾客离去的过程。当一个服务完毕的顾客离开也就是顾客离去的过程。当一个服务完毕的顾客离开系统时，下一个顾客立即得到服务系统时，下一个顾客立即得到服务,服务完毕后离去，服务完毕后离去，二者离去的间隔时间二者离去的间隔时间 即为服务时间。即为服务时间。38第38页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流 若顾客的离去过程也满足最简单流条件，则离去过程若顾客的离去过程也满足最简单流条件，则离去过程（即服务过程）也为泊松过程，即有（即服务过程）也为泊松过程，即
22、有（3.203.20）离去时间间隔分布（服务时间间隔分布）为指数分布，即离去时间间隔分布（服务时间间隔分布）为指数分布，即服务时间间隔的概率密度函数为：服务时间间隔的概率密度函数为：(3.21)(3.21)完成服务的平均时间：完成服务的平均时间：(3.22)(3.22)39第39页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流 例例例例3.13.1 设电话呼叫按设电话呼叫按设电话呼叫按设电话呼叫按3030次次次次/h/h的泊松过程进行，的泊松过程进行，的泊松过程进行，的泊松过程进行，求：求：求：求：5 5分钟间隔内，分钟间隔内，分钟间隔内，分钟间隔内，不呼
23、叫的概率；不呼叫的概率；不呼叫的概率；不呼叫的概率；呼叫呼叫呼叫呼叫3 3次的次的次的次的概率。概率。概率。概率。解：解：按题意，按题意，=30次次/h=0.5次次/min，t=5min,k=0及及k=3（2 2）5 5分钟内呼叫分钟内呼叫3 3次的概率为次的概率为（1）5分钟不呼叫的概率为40第40页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流一般来说，大量的稀有事件流，如果每一事件流在总事件流中起的作用一般来说，大量的稀有事件流，如果每一事件流在总事件流中起的作用很小，而且相互独立，则总的合成流可以认为是最简单流。很小，而且相互独立，则总的合成流可以
24、认为是最简单流。大量研究表明，将电话呼叫当做最简单流处理，得到的分析结果是正确大量研究表明，将电话呼叫当做最简单流处理，得到的分析结果是正确的。的。41第41页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流 3生灭过程生灭过程 生灭过程是用来描述输入过程为最简单流、服生灭过程是用来描述输入过程为最简单流、服务时间为指数分布的这一类最简单的排队模型，务时间为指数分布的这一类最简单的排队模型，即即M/M/m(n,N)过程。过程。生灭过程定义生灭过程定义 设有某个系统，具有状态集设有某个系统，具有状态集S=0，1，2，若系统的状态随时间若系统的状态随时间 t 变
25、化的过程变化的过程N(t)；t 0满足以下条件，则称为一个生灭过程。满足以下条件，则称为一个生灭过程。42第42页/共212页3.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流 设在时刻设在时刻 t 系统处于状态系统处于状态 k 的条件下，再经过长为的条件下，再经过长为t(t0)的时间，即当的时间，即当 t t+t 时，有时，有 转移到转移到k+1(0k +)状态的转移概率为状态的转移概率为k t+o(t)转移到转移到k 1(1 k +)状态的转移概率为状态的转移概率为 k t+o(t)转移到转移到S
26、 k 1,k,k+1 状态的转移概率为状态的转移概率为 o(t)其中其中k 0,k 0，且均为与时间，且均为与时间 t 无关的固定常数。无关的固定常数。若S仅包含有限个元素S=0，1，2,，n，同时也满足以上条件，则称为有限状态生灭过程。43第43页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流概率分布概率分布 在在 t 时刻处于时刻处于 k 状态的概率分布状态的概率分布Pk，求求tt+t，k 1，k，k+1 k 时的时的设系统在设系统在 t+t 时刻处于时刻处于k 状态，根据上述生灭过程的定义，状态，根据上述生灭过程的定义，这一事件可分解为如下四个互不相
27、容的事件之和。这一事件可分解为如下四个互不相容的事件之和。44第44页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流 图图3.3 3.3 t t内状态转移示意图内状态转移示意图 (t t 0)0)45第45页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单有关的概率模型及最简单流流系统在系统在t(t+t)，kk 状态，则在状态，则在t内，其转移概率为内，其转移概率为 即即系统在系统在t(t+t)，（，（k-1）k 状态，则在状态，则在t内，其转移概内，其转移概率为率为 即即系统系统 t（t+t），（），（k+1）k状态，则在状态，则在t内，其转移
28、概内，其转移概率为率为 即即46第46页/共212页3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流系统在系统在t（t+t），其它的状态），其它的状态(即不是即不是k-1、k、k+1状态状态)k 状态，其转移概率为状态，其转移概率为o(t)。由全概率公式，得生灭过程的系统稳定状态方程（简由全概率公式，得生灭过程的系统稳定状态方程（简称系统方程）：称系统方程）：(3.25(3.25)图图3.4 3.4 生灭过程的状态转移图生灭过程的状态转移图即有：系统即有：系统“进入某状态的概率等于离开该状态的概率进入某状态的概率等于离开该状态的概率”。47第47页/共212页3.1.2
29、 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流由由由由(3.26(3.26)其中，其中，得生灭过程在得生灭过程在 t t 时的稳定状态概率时的稳定状态概率48第48页/共212页3.1 3.1 排队论基础排队论基础3.1.1 3.1.1 基本概念基本概念3.1.2 3.1.2 有关的概率模型及最简单流有关的概率模型及最简单流3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标49第49页/共212页3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标最优化问题一般涉及两种类型：最
30、优化问题一般涉及两种类型：最优化问题一般涉及两种类型：最优化问题一般涉及两种类型：排队系统的最优设计（静态优化）：排队系统的最优设计（静态优化）：排队系统的最优设计（静态优化）：排队系统的最优设计（静态优化）：例如，固话网中的中继例如，固话网中的中继例如，固话网中的中继例如，固话网中的中继电路群数目的确定，分组交换网中的存储空间容量的配置，电路群数目的确定，分组交换网中的存储空间容量的配置，电路群数目的确定，分组交换网中的存储空间容量的配置，电路群数目的确定，分组交换网中的存储空间容量的配置，等等。等等。等等。等等。排队系统的最优控制（动态优化）：排队系统的最优控制（动态优化）：排队系统的最优
31、控制（动态优化）：排队系统的最优控制（动态优化）：例如，固话网中的中继例如，固话网中的中继例如，固话网中的中继例如，固话网中的中继电路群数目的增加与否、无线信道中的信道分配策略等。电路群数目的增加与否、无线信道中的信道分配策略等。电路群数目的增加与否、无线信道中的信道分配策略等。电路群数目的增加与否、无线信道中的信道分配策略等。排队系统的性能指标描述了排队的概率规律性。通过排队系统的性能指标描述了排队的概率规律性。通过排队系统的性能指标描述了排队的概率规律性。通过排队系统的性能指标描述了排队的概率规律性。通过计算一些性能指标，研究排队系统的最优化问题。计算一些性能指标，研究排队系统的最优化问题
32、。计算一些性能指标，研究排队系统的最优化问题。计算一些性能指标，研究排队系统的最优化问题。50第50页/共212页3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标排队长度排队长度 k等待时间等待时间Wq和系统逗留时间和系统逗留时间Ws系统效率系统效率 空闲概率空闲概率P0和拒绝概率和拒绝概率Pn排队系统的性能指标51第51页/共212页3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标1排队长度 k 简称队长，是某观察时刻系统内滞留的顾客数，包括正简称队长，是某观察时刻系统内滞留的顾客数，包括正在被服务的顾客。在被服务的顾客。k 是非负的离散型随机变量。是
33、非负的离散型随机变量。通常用来描述队长通常用来描述队长 k 的指标有两个：的指标有两个：k k的概率分布的概率分布P Pk k：通常采用系统稳定状态下与时间无关的：通常采用系统稳定状态下与时间无关的P Pk k 。k的统计平均值LsLs和平均等待队长L Lq。知道了队长分布，就可以确定队长超过某个数量的概率，知道了队长分布，就可以确定队长超过某个数量的概率，从而能为设计排队空间的大小提供依据。从而能为设计排队空间的大小提供依据。52第52页/共212页3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标平均队长平均队长Ls：k的统计平均值。的统计平均值。平均等待队长平均等待队长
34、Lq：系统内排队等待的平均顾客数。系统内排队等待的平均顾客数。：正在接受服务的平均顾客数（或平均占用窗口数）。：正在接受服务的平均顾客数（或平均占用窗口数）。有下式成立：有下式成立：(3.27)(3.27)（非拒绝系统）（非拒绝系统）(3.28)(3.28)（拒绝系统）（拒绝系统）(3.29)(3.29)（非拒绝系统）（非拒绝系统）(3.30)(3.30)（拒绝系统）（拒绝系统）(3.31)(3.31)其中，其中，或或或或53第53页/共212页3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标2 2等待时间
35、和系统逗留时间等待时间和系统逗留时间等待时间等待时间 从顾客到达排队系统的时刻算起，到它开始接受服务的从顾客到达排队系统的时刻算起，到它开始接受服务的时刻为止的这段时间。时刻为止的这段时间。平均等待时间平均等待时间Wq：等待时间的统计平均值。等待时间的统计平均值。系统逗留时间系统逗留时间 从顾客到达系统时刻算起，到它接受服务完毕离开系统从顾客到达系统时刻算起，到它接受服务完毕离开系统时刻为止的这段时间。时刻为止的这段时间。平均系统逗留时间（或系统时间）平均系统逗留时间（或系统时间）Ws：系统逗留时间的系统逗留时间的统计平均值。统计平均值。54第54页/共212页3.1.3 3.1.3 排队系统
36、的主要性能指标排队系统的主要性能指标服务时间服务时间服务时间服务时间 是一个顾客被服务的时间，即顾客从开始被服务起到离是一个顾客被服务的时间，即顾客从开始被服务起到离开系统的时间间隔。开系统的时间间隔。平均服务时间平均服务时间平均服务时间平均服务时间 ：的统计平均值。的统计平均值。的统计平均值。的统计平均值。(3.32)(3.32)(3.33(3.33)(3.34)(3.34)一个有效到达率为一个有效到达率为 e的排队系统，在平均的意义上，有的排队系统，在平均的意义上，有 (3.35)(3.35)(3.36)(3.36)Little公式公式适用于任何排队系统。适用于任何排队系统。55第55页/
37、共212页3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标3系统效率 设某时刻有设某时刻有r 个窗口被占用，若共有个窗口被占用，若共有m 个窗口，则个窗口，则 r/m 就是窗口占用率。它的统计平均值为平均窗口占用率，就是窗口占用率。它的统计平均值为平均窗口占用率，就是系统效率，即就是系统效率，即(3.37)(3.37)越大，服务资源的利用率就越高。越大，服务资源的利用率就越高。56第56页/共212页3.1.3 3.1.3 排队系统的主要性能指标排队系统的主要性能指标4 4空闲概率空闲概率P P0 0和拒绝概率和拒绝概率P Pn nP0：为系统内无顾客的情况，即系统空闲状态
38、概率。通过P0 可知系统的忙闲情况。拒绝概率Pn（或Pc）：为系统内顾客已满、拒绝新到顾客进入系统的状态概率，也称为阻塞概率（或损失概率）。57第57页/共212页第第3 3章章 排队论及其应排队论及其应用用3.1 3.1 排队论基础排队论基础3.2 3.2 M/M/m(n)排队系统排队系统3.3 3.3 通信业务量分析通信业务量分析3.4 3.4 随机接入系统业务量分析随机接入系统业务量分析58第58页/共212页3.2 M/M/m/(n)排队系排队系统统3.2.1 3.2.1 M/M/1排队系统排队系统3.2.2 3.2.2 M/M/m(n)排队系统排队系统59第59页/共212页3.2.
39、1 3.2.1 M/M/1排队系统排队系统最简单的排队系统模型是最简单的排队系统模型是M/M/1单窗口非拒绝系统。单窗口非拒绝系统。该系统的顾客到达为泊松流，设到达率为该系统的顾客到达为泊松流，设到达率为 ；服务时间为指数分布，设平均服务率为服务时间为指数分布，设平均服务率为 。图图3.5 3.5 M/M/1排队系统的状态转移图排队系统的状态转移图60第60页/共212页3.2.1 M/M/1排队系统排队系统 1 1求解求解 （3.383.38）（3.393.39）图图3.6 3.6 M/M/1排队系统的状态概率分布排队系统的状态概率分布（=0.5=0.5）61第61页/共212页3.2.13
40、.2.13.2.13.2.1 M/M/1 M/M/1排队系统排队系统排队系统排队系统 2M/M/1排队系统的主要性能指标 （1 1）平均队长平均队长Ls和平均等待队长和平均等待队长Lq(3.40)(3.40)平均占用窗口数平均占用窗口数（3.413.41）(3.42)(3.42)62第62页/共212页3.2.13.2.13.2.13.2.1 M/M/1M/M/1排队系统排队系统排队系统排队系统 图3.7 M/M/1排队系统中平均队长L Ls s随随 变化的关系63第63页/共212页3.2.13.2.13.2.13.2.1 M/M/1M/M/1排队系统排队系统排队系统排队系统（2 2）顾客平
41、均等待时间）顾客平均等待时间W q和系统时间和系统时间W s（3）系统效率 (3.43)(3.43)(3.44)(3.44)(3.45)(3.45)64第64页/共212页3.2.13.2.13.2.13.2.1 M/M/1 M/M/1排队系统排队系统排队系统排队系统例例3.23.2 在某数据传输系统中，有一个数据交换节点。信息在某数据传输系统中，有一个数据交换节点。信息包按泊松流到达此节点。已知平均每小时到达包按泊松流到达此节点。已知平均每小时到达2020个信息个信息包，此节点的处理时间服从指数分布，平均处理每个信包，此节点的处理时间服从指数分布，平均处理每个信息包需要息包需要2.52.5分
42、钟，试求该节点的有关性能指标。分钟，试求该节点的有关性能指标。解解：根据题意可知，这是一个：根据题意可知，这是一个M/M/1系统，且已知系统，且已知 故有故有 65第65页/共212页3.2.13.2.13.2.13.2.1 M/M/1 M/M/1排队系统排队系统排队系统排队系统 Ls ：系统内信息包逗留平均数为 Lq ：系统内信息包排队等待平均数为 Ws ：每一信息包在系统内平均逗留时间为66第66页/共212页3.2.13.2.13.2.13.2.1 M/M/1M/M/1排队系统排队系统排队系统排队系统 Wq ：每一信息包在系统内平均排队等待时间为 （P P0 0)：结论：结论：M/M/1
43、M/M/1系统的主要参数均取决于排队强度系统的主要参数均取决于排队强度 。作为。作为M/M/1M/M/1系统的稳定参数，必须使系统的稳定参数，必须使 1k)，或用户数非常多时，准随机呼叫可，或用户数非常多时，准随机呼叫可近似当做纯随机呼叫处理。近似当做纯随机呼叫处理。N越大，这种近似越大，这种近似越合理。越合理。88第88页/共212页3.3.1 3.3.1 通信业务量基本理论通信业务量基本理论（3）呼叫合成发生的情况 设有两个相互独立的呼叫源，各自按呼叫发生率设有两个相互独立的呼叫源，各自按呼叫发生率设有两个相互独立的呼叫源，各自按呼叫发生率设有两个相互独立的呼叫源，各自按呼叫发生率 1 1
44、、2 2呈泊松分布，其呼叫发生概率分别为呈泊松分布，其呼叫发生概率分别为呈泊松分布，其呼叫发生概率分别为呈泊松分布，其呼叫发生概率分别为则合成呼叫发生数为则合成呼叫发生数为 k k 的概率为的概率为 (3.60)(3.60)89第89页/共212页3.3.1 3.3.1 通信业务量基本理论通信业务量基本理论结论：结论：两个分别按两个分别按 1、2 的泊松分布的合成等于呼叫发生率的泊松分布的合成等于呼叫发生率为（为（1+2）的泊松分布。）的泊松分布。推广：推广：若有个各自任意速率为若有个各自任意速率为 1，2，m的独立泊松流，的独立泊松流，则复合流本身也为泊松过程，其速率参数为则复合流本身也为泊
45、松过程，其速率参数为 （3.613.61）这个特性极为有用，在通信网中有许多信息源结合在一起，这个特性极为有用，在通信网中有许多信息源结合在一起，每个信源以一种泊松速率产生呼叫或分组，这时，就是一种每个信源以一种泊松速率产生呼叫或分组，这时，就是一种泊松过程合成现象。泊松过程合成现象。90第90页/共212页3.3.1 3.3.1 通信业务量基本理论通信业务量基本理论特点：特点：波动性：波动性：一天中的数据流量随时间不断地变化。一天中的数据流量随时间不断地变化。波动的随机性：波动的随机性：不同天不同天观测的结果都不同观测的结果都不同。波动的周期性：波动的周期性：每每一天观测一天观测的结果都的结
46、果都遵从某种相同的规遵从某种相同的规律。律。图图3.10 3.10 某市上网流量曲线某市上网流量曲线912 2业务量和呼叫量业务量和呼叫量（1 1）流量的特性：）流量的特性：通信网中的流量受到各种因素的影响，信通信网中的流量受到各种因素的影响，信息流量处在经常的变化之中，以话务量变化为例说明。息流量处在经常的变化之中，以话务量变化为例说明。第91页/共212页3.3.1 3.3.1 通信业务量基本理论通信业务量基本理论流量的波动性和波动的随机性与周期性是研究通信网内业务流量各种问题的出发点。各种不同的业务，都有各自的流量特性。92第92页/共212页3.3.1 3.3.1 通信业务量基本理论通
47、信业务量基本理论（2）业务量和呼叫量的定义 业务量业务量 是在指定观察时间内各个线路（或信道）可能被占用的时是在指定观察时间内各个线路（或信道）可能被占用的时间之和，即占用的总时间。这些时间可以是重叠的或不重间之和，即占用的总时间。这些时间可以是重叠的或不重叠的。叠的。若某线路有若某线路有m条信道，第条信道，第i条信道被占用条信道被占用Qi秒，则秒，则m条信道或条信道或该线路上的业务量该线路上的业务量Q为为(3.62(3.62)业务量的量纲是时间。若一个信道代表一个电话话路，业务量的量纲是时间。若一个信道代表一个电话话路，则业务量或话务量的单位是则业务量或话务量的单位是秒秒话路话路。93第93
48、页/共212页3.3.1 3.3.1 通信业务量基本理论通信业务量基本理论 业务量具有两方面的含义：业务量具有两方面的含义：反映了信息源所发生的用户需求业务量，这时，反映了信息源所发生的用户需求业务量，这时，Q可能大于可能大于mT；反映了通过反映了通过m条信道的实际的通信业务量，此时，条信道的实际的通信业务量，此时，Q一定不一定不大于大于mT。呼叫量呼叫量业务量的强度业务量的强度通常称为呼叫量。它可定义为线路（或信道）通常称为呼叫量。它可定义为线路（或信道）可能占用的时间与观察时间之比，即呼叫量为可能占用的时间与观察时间之比，即呼叫量为(3.63)(3.63)是没有量纲的，通常使用“小时呼”或
49、“爱尔兰（erl）”表示它的单位。通常取T为一小时。94第94页/共212页3.3.1 3.3.1 通信业务量基本理论通信业务量基本理论一个一个erl表示一小时一个完全被占用的信道的呼叫量（即单表示一小时一个完全被占用的信道的呼叫量（即单位小时或单位分钟的呼叫时长）。位小时或单位分钟的呼叫时长）。根据定义，呼叫量也可表示为根据定义，呼叫量也可表示为 （3.3.6464）呼叫量的含义：呼叫量的含义：反映了信息源产生的用户需求呼叫量，它可以大于反映了信息源产生的用户需求呼叫量，它可以大于m；反映了实际通过反映了实际通过m条信道的呼叫量，它一定不大于条信道的呼叫量，它一定不大于m。当。当用户需求呼叫
50、量大于用户需求呼叫量大于m时，多余的呼叫将被拒绝。时，多余的呼叫将被拒绝。作为通信网设计的原始数据，一般采用用户需求呼叫量。在作为通信网设计的原始数据，一般采用用户需求呼叫量。在测定呼叫量时，应认为信道数测定呼叫量时，应认为信道数m足够大。足够大。95第95页/共212页3.3.1 3.3.1 通信业务量基本理论通信业务量基本理论用户需求呼叫量分为两种：用户需求呼叫量分为两种：日呼叫量日呼叫量：一天中最忙的一小时内的呼叫量称为日呼叫：一天中最忙的一小时内的呼叫量称为日呼叫量，也就是一天中最大的小时呼叫量。量，也就是一天中最大的小时呼叫量。年呼叫量年呼叫量：一年内取三十天，取这些天的呼叫量的平均