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1、第1章振动第1页，本讲稿共74页1985年9月19日，震源位于墨西哥西海岸的一场地震的地震波给400Km以外的墨西哥城造成了可怕而且分布很广的破坏。为什么地震波能为什么地震波能在墨西哥城造成如此在墨西哥城造成如此广泛的破坏，而在地广泛的破坏，而在地震波经过的路途上却震波经过的路途上却破坏相对较小呢？破坏相对较小呢？第2页，本讲稿共74页广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：
2、物体在一定位置附近作来回往复的运动。振动广泛存在振动广泛存在,基本规律相同。基本规律相同。声障，超声波声障，超声波第3页，本讲稿共74页本章学习要点本章学习要点1 1.掌握描述谐振动的各物理量的物理意义以掌握描述谐振动的各物理量的物理意义以及它们之间的关系。及它们之间的关系。2 2.掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题。3.掌握谐振动的基本特征。能建立弹簧振子和掌握谐振动的基本特征。能建立弹簧振子和掌握谐振动的基本特征。能建立弹簧振子和掌握谐振动的基本特征。能建立弹簧振子和单摆谐振动的微分方程，能根据初始条件写出单摆谐振动的微分方程，能根据初始条件写出单摆
3、谐振动的微分方程，能根据初始条件写出单摆谐振动的微分方程，能根据初始条件写出一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。一维谐振动的运动方程，并理解其物理意义。4.理解谐振动合成的规律。理解谐振动合成的规律。第4页，本讲稿共74页1.简谐运动简谐运动2.振幅周期频率相位振幅周期频率相位3.弹簧单摆复摆弹簧单摆复摆4.旋转矢量旋转矢量5.两同方向谐振动的合成两同方向谐振动的合成本章小结、习题课本章小结、习题课第5页，本讲稿共74页第一节第一节第一节第一节简谐运动简谐运动第6页，本讲稿共74页最简单最基本的线性振动。最简单
4、最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移置的位移x（或角位移（或角位移）随时间）随时间t按余弦（或正弦）规按余弦（或正弦）规律变化的振动。律变化的振动。第7页，本讲稿共74页第二节第二节第二节第二节谐振动的振幅谐振动的振幅 周期周期 频率和相频率和相位位第8页，本讲稿共74页第三节第三节第三节第三节弹簧、单摆弹簧、单摆复摆复摆第9页，本讲稿共74页1.圆频率圆频率一、弹簧振子一、弹簧振子2.周期周期3.频率频率 弹簧振子竖直悬挂或置于光滑斜面上弹簧振子竖直悬挂或置于光滑斜面上,只要只要0点点取在平衡位置上取在平衡
5、位置上,则则、T、v、x(t)、等都不变等都不变.第10页，本讲稿共74页二、单摆二、单摆 质量集中于小球上，质量集中于小球上，不计悬线质量。不计悬线质量。取逆时针为取逆时针为 张角正张角正向，以悬点为轴，只有向，以悬点为轴，只有重力产生力矩重力产生力矩。“”表示力矩与表示力矩与 张角方向相反。张角方向相反。第11页，本讲稿共74页当当时时第12页，本讲稿共74页令令谐振动微分方程谐振动微分方程第13页，本讲稿共74页周期周期频率频率与质量无关。与质量无关。圆频率圆频率第14页，本讲稿共74页三、复摆三、复摆 质量为质量为 m 的任意物体，绕的任意物体，绕 o 点作小角度点作小角度摆动，质心摆
6、动，质心 c 到轴的距离为到轴的距离为 lc。第15页，本讲稿共74页圆频率圆频率周期周期频率频率实验测量实验测量J：T,m,lc J第16页，本讲稿共74页例：例：均匀细杆长为均匀细杆长为l、质量为、质量为m，绕一端作小角度摆，绕一端作小角度摆动，求周期动，求周期T。解：解：由由第17页，本讲稿共74页第四节第四节第四节第四节旋转矢量旋转矢量第18页，本讲稿共74页一、旋转矢量一、旋转矢量将物理模型转变成数学模型。将物理模型转变成数学模型。矢量矢量 A 以角速度以角速度 逆时针逆时针作匀速圆周运动，作匀速圆周运动，研究端点研究端点 M 在在 x 轴上投轴上投影点的运动，影点的运动，初相初相第
7、19页，本讲稿共74页二、物理模型与数学模型比较二、物理模型与数学模型比较A谐振动谐振动旋转矢量旋转矢量t+T振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率谐振动周期谐振动周期半径半径初始角坐标初始角坐标角坐标角坐标角速度角速度圆周运动周期圆周运动周期第20页，本讲稿共74页三三、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相、用旋转矢量表示弹簧、单摆运动初相1.初始条件初始条件第21页，本讲稿共74页2.初始条件初始条件取取第22页，本讲稿共74页3.初始条件初始条件第23页，本讲稿共74页4.初始条件初始条件取取第24页，本讲稿共74页5.6.第25页，本讲稿共74页第五节第五节第五节第五节同方向谐振同方向谐振同
8、方向谐振同方向谐振动的合成动的合成动的合成动的合成第26页，本讲稿共74页一、两同方向、同频率、一、两同方向、同频率、有恒定相位差的谐振动合成有恒定相位差的谐振动合成 质点同时参与两个振动，研究两质点同时参与两个振动，研究两个个同方向同频率的振动合成同方向同频率的振动合成。振动合成振动合成分振动分振动合成后仍为谐振动，角速度不变。合成后仍为谐振动，角速度不变。第27页，本讲稿共74页1.利用旋转矢量法求合振动利用旋转矢量法求合振动合成后仍为谐振动，角合成后仍为谐振动，角速度不变。速度不变。第28页，本讲稿共74页(1).当当时（同相）时（同相）,合振动振幅最大。合振动振幅最大。二、注意几点二、
9、注意几点第29页，本讲稿共74页(2).当当时（反相）时（反相）,合振动振幅最小。合振动振幅最小。若若合振动初相随振幅大者。合振动初相随振幅大者。第30页，本讲稿共74页2.和差化积求合振动和差化积求合振动适用于：两个分振动适用于：两个分振动等振幅等振幅时。时。分振动分振动合振动合振动例例:3.由分振动曲线求合振动由分振动曲线求合振动第31页，本讲稿共74页例：例：两同方向、同频率谐振动合成，两同方向、同频率谐振动合成，求：合成谐振动方程求：合成谐振动方程解：解：合成后合成后 不变，不变，第32页，本讲稿共74页合振动方程合振动方程第33页，本讲稿共74页三、多个同方向、同频率谐振动合成三、多
10、个同方向、同频率谐振动合成 将多个旋转矢量合将多个旋转矢量合成，求得合矢量，然后成，求得合矢量，然后再把合矢量投影在再把合矢量投影在 ox 轴上轴上，求得合成后的谐，求得合成后的谐振动方程。振动方程。第34页，本讲稿共74页合成后仍为谐振动。合成后仍为谐振动。A和和可由矢量求和方可由矢量求和方法求解。法求解。第35页，本讲稿共74页四、两同方向、不同频率谐振动合成四、两同方向、不同频率谐振动合成 这种振动的合成一般比较复杂，这里这种振动的合成一般比较复杂，这里只讨论只讨论两谐振动的频率两谐振动的频率1、2比较大；比较大；两谐振动的频率相差比较小。两谐振动的频率相差比较小。振动合成后，振幅出现时
11、而加强，时振动合成后，振幅出现时而加强，时而减弱的现象而减弱的现象-“拍拍”。第36页，本讲稿共74页设设合成后合成后第37页，本讲稿共74页随随t变化缓慢变化缓慢随随t变化较快变化较快合振动不是谐振动。合振动不是谐振动。第38页，本讲稿共74页T拍拍A(t)第39页，本讲稿共74页振幅振幅讨论讨论1.振幅是周期变化的，振幅是周期变化的，很小，振幅很小，振幅A（t）随时间）随时间t缓慢地变化缓慢地变化-“拍拍”现象，最大值为现象，最大值为 2A。2.合振幅变化频率合振幅变化频率-“拍频拍频”。第40页，本讲稿共74页拍的周期拍的周期T拍拍拍频拍频拍的应用：双簧管、乐器定音、光拍的应用：双簧管、
12、乐器定音、光/电外差技术电外差技术2.合振幅变化频率合振幅变化频率“拍频拍频”。1.合振动振幅出现时而加强，时而减弱的现象合振动振幅出现时而加强，时而减弱的现象“拍拍”.T拍拍单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|第41页，本讲稿共74页3820将质量为0.2kg的物体，系于劲度系数k=19N/m的竖直悬挂的弹簧的下端假定在弹簧不变形的位置将物体由静止释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为_，振幅为_1.55Hz0.103m第42页，本讲稿共74页3256图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同(a)、(
13、b)、(c)三个振动系统的2（为固有角频率）值之比为(A)211(B)124(C)221(D)112B第43页，本讲稿共74页弹簧的串、并连弹簧的串、并连第44页，本讲稿共74页3557一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为x轴的原点已知周期为T，振幅为A(1)若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为 x=_(2)若t=0时质点处于处且向x轴负方向运动，则振动方程为 x=_第45页，本讲稿共74页3562图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为(A)(B)(C)(D)0 xt O A/2-Ax1x2B第46页，本讲稿共74页5190
14、一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为,其合成运动的运动方程为x=_0第47页，本讲稿共74页3839两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A1=0.05m和A2=0.07m，它们合成为一个振幅为A=0.09m的简谐振动则这两个分振动的相位差为_rad1.47第48页，本讲稿共74页3838一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为 (SI)则其合成振动的振幅为_，初相为_ 110-2m/6第49页，本讲稿共74页本章小结本章小结本章小结本章小结与习题课与习题课与习题课与习题课第50页，本讲稿共74页一、谐振动的基本规律一、谐振动的基本规律1.受力特征：物体受回
15、复力作用受力特征：物体受回复力作用2.运动规律：运动规律：二、描写谐振动的几个物理量二、描写谐振动的几个物理量第51页，本讲稿共74页1.振幅振幅2.初相初相3.圆频率圆频率弹簧弹簧单摆单摆第52页，本讲稿共74页4.周期周期弹簧弹簧单摆单摆5.频率频率弹簧弹簧单摆单摆三、旋转矢量三、旋转矢量用数学模型代替物理模型。用数学模型代替物理模型。第53页，本讲稿共74页四、谐振动系统的能量四、谐振动系统的能量1.动能动能2.势能势能3.机械能机械能五、谐振动合成五、谐振动合成1.两同方向同频率谐振动合成两同方向同频率谐振动合成第54页，本讲稿共74页振动合成振动合成分振动分振动当当时时当当时时第55
16、页，本讲稿共74页3271一简谐振子的振动曲线如图所示，则以余弦函数表示的振动方程为_第56页，本讲稿共74页5311一质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是(A)T/4(B)(C)T(D)2T(E)4TB第57页，本讲稿共74页5504一物体作简谐振动，振动方程为则该物体在t=0时刻的动能与t=T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为：(A)1:4(B)1:2(C)1:1(D)2:1(E)4:1D第58页，本讲稿共74页一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的(A)7/16.(B)9/16.(C)11/16.(D)13/16.
17、(E)15/16.5182一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的(A)1/4.(B)1/2.(C).(D)3/4.(E).ED第59页，本讲稿共74页3033一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A=_；=_；f=_10cm(/6)rad/s/3第60页，本讲稿共74页3270一简谐振动曲线如图所示则振动周期是(A)2.62s(B)2.40s(C)2.20s(D)2.00sB第61页，本讲稿共74页3031已知一质点沿轴作简谐振动其振动方程为 与之对应的振动曲线是A(D)-A-AoytoytA(A)oytoyt(B)(C)AAB第62页，
18、本讲稿共74页3390一质点作简谐振动，速度最大值vm=5cm/s，振幅A=2cm若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0，则振动表达式为_第63页，本讲稿共74页3817一简谐振动的表达式为 ，已知t=0时的初位移为0.04m，初速度为0.09m/s，则振幅A=_，初相f=_-0.205（或-36.9）0.05m第64页，本讲稿共74页5312一质点在x轴上作简谐振动，振辐A=4cm，周期T=2s，其平衡位置取作坐标原点若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为(A)1s(B)(2/3)s(C)(4/3)s(D)2sB第65页，本讲稿共
19、74页1.一质点在一质点在 x 轴上作谐振动，选取该质点向右轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过运动通过 A 点时作为计时起点点时作为计时起点(t=0)，经过经过 2 秒后质点第一次经过秒后质点第一次经过 B 点，再经过点，再经过 2 秒后质秒后质点第二次经过点第二次经过 B 点，若已知该质点在点，若已知该质点在 A、B 两两点具有相同的速率，且点具有相同的速率，且AB=10 cm。求。求:(1)质点的振动方程质点的振动方程；(2)质点质点 在在A点处的速率。点处的速率。解：解：由旋转矢量图由旋转矢量图和和 vA=vB 可知可知 T/2=4s第66页，本讲稿共74页(1)以以AB的中点为坐标原
20、点的中点为坐标原点,x 轴指向右方轴指向右方.t=0时时,t=2s时时,由上两式可解得由上两式可解得第67页，本讲稿共74页t=0时时,(SI)(SI)因为在因为在A点质点的速度点质点的速度大于零大于零,所以所以或或运动方程运动方程第68页，本讲稿共74页3818两个弹簧振子的周期都是0.4s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为_第69页，本讲稿共74页2.一轻弹簧在一轻弹簧在60 N的拉力下伸长的拉力下伸长30 cm现把现把质量为质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止静止，
21、再把物体向下拉，再把物体向下拉10 cm，然，然 后由静止释后由静止释放并开始计时求放并开始计时求 (1)物体的振动方程；物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的时弹簧对物体的拉力；拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方到上方5 cm处所需要的最短时间处所需要的最短时间 第70页，本讲稿共74页解：解：k=f/x=200 N/m，rad/s(1)选平衡位置为原点，选平衡位置为原点，x轴指向下方（如图所示）轴指向下方（如图所示）t=0时，时，x0=10=Acosf f，v0=0=-A sinf f 解
22、以上二式得解以上二式得 A=10 cm，f f=0 振动方程振动方程x=0.1 cos(7.07t)(SI)(2)物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力时，弹簧对物体的拉力 f=m(g-a)，而，而a=-2x=2.5 m/s2 f=4(9.82.5)N=29.2 N 第71页，本讲稿共74页(3)设设t1时刻物体在平衡位置，此时时刻物体在平衡位置，此时x=0，即，即 0=Acos t1或或cos t1=0 此时物体向上运动，此时物体向上运动，v 0 t1=p p/2，t1=p p/2 =0.222 s再设再设t2时物体在平衡位置上方时物体在平衡位置上方5 cm处，此时处，此时x=-5，即，即 -5=Acos t2，cos t2=1/2 v 0，t2=2p p/3，t2=2 p p/3 =0.296 s D Dt=t2-t1=(0.2960.222)s0.074 s 第72页，本讲稿共74页3.一质量为一质量为0.20 kg的质点作简谐振动，其的质点作简谐振动，其振动方程为振动方程为 (SI)求：求：(1)质点的初速度；质点的初速度；(2)质点在正向最大位移一半处所受的质点在正向最大位移一半处所受的力力 第73页，本讲稿共74页解：解：(1)(SI)t0=0,v0=3.0 m/s(2)时，时，F=-1.5 N第74页，本讲稿共74页